(LUẬN văn THẠC sĩ) không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết galois

Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các không gian tôpô và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số.. Tóm lại, những ghi chú này nhằm khơi gợi nhữn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tôi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực hiện Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến

Tôi xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong khoa Tin và Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Toán-Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu

Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót Mong Quý Thầy Cô góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ 3

1.2 Không gian phủ 5

1.3 Cái nâng 6

1.4 Phân loại không gian phủ 7

1.5 Nhóm con của 1 11

1.6 Phép biến đổi phủ 12

Chương 2 PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN 17

2.1 Tích tự do 17

2.2 Cấu trúc của không gian phủ 19

Chương 3 MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS 29

3.1 Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện hằng 29

3.2 Phát triển nhóm cơ bản 32

3.3 Đa tạp Riemann phẳng 34

3.4 Tinh thể 2-D và 3-D 46

3.5 Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ 54

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

MỞ ĐẦU

Tôpô đại số là một môn học đặc thù của ngành tôpô - hình học Sử dụng các kiến thức của tôpô để giải các bài toán đại số và ngược lại, trong đó một trong các công cụ chủ lực là nhóm cơ bản Nhóm cơ bản được xem như là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các nhóm Từ đó ta chuyển được một bài toán tôpô về một bài toán lý thuyết nhóm Ngược lại nhờ tôpô đại số mà ta giải được nhiều bài toán thú vị về lý thuyết nhóm Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh được nhóm con của một nhóm tự do là một nhóm tự do

Để tính được nhóm cơ bản một không gian tôpô có thể có nhiều cách, trong đó cách thông dụng nhất là dùng ánh xạ phủ Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu về tác động nhóm bới nhóm cảm sinh của nhóm cơ bản

Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các không gian tôpô và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số Điểm quan trọng của lý thuyết Galois là sự tương quan giữa các nhóm đối xứng của các

mở rộng trường và bản thân các mở rộng trường, cung cấp cho ta một mối liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm Các phủ của không gian tôpô cũng được trang bị cách định nghĩa tương tự Ở đây, một phủ của không gian

tôpô X thực chất là một không gian tôpô cùng với một ánh xạ Y → X sao cho Y

và X “đồng dạng” địa phương Lí thuyết Galois về các phủ sẽ đóng vai trò kết

nối giữa sự đối xứng của các phủ và các nhóm cơ bản, đóng vai trò như nhóm Galois

Hơn nữa vai trò của lí thuyết Galois về các phủ là một phép so sánh đơn thuần và đặc biệt khi xem xét các đường cong, ta có thể thành lập một mối liên kết trực tiếp giữa các phủ và các mở rộng trường trong ( )z về Riemann Nếu xét trường hợp của phủ của mặt cầu với ba điểm cực biên thì ta sẽ tìm được

mối tương quan giữa các đường cong đại số định nghĩa trên trường số và phủ tôpô

Những khám phá này cung cấp cho ta một phương pháp mã hóa các thông tin của nhóm Galois các số hữu tỉ theo dữ liệu tổ hợp Tóm lại, những ghi chú này nhằm khơi gợi những mối liên kết đầy mới mẻ giữa tôpô cổ điển và giải tích phức với những sự phát triển mới mẻ trong hình học đại số và số học và từ

đó cho ta một góc nhìn khác với nhóm Galois của

Nội dung của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN

Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHÓM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của Tôpô đại số liên quan đến nhóm cơ bản, không gian phủ, phân loại không gian phủ, nhóm con của 1 và phép biến đổi phủ

 của  Khi đó tích  là con đường  nối với 

Một con đường mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là con đường đóng

Ta chọn một điểm xX và gọi nó là điểm cơ sở Tập hợp tất cả các con

đường đóng với điểm gốc x được kí hiệu là  (X x, )

Cho một con đường đóng   ( , )X x ta định nghĩa 1

bởi 1( )t (1t)

Trên  (X x, )ta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu   , nếu 

và  là hai tương đương đồng luân tương đối I, nghĩa là có một ánh xạ liên

đương [ ]  của con đường đóng  kí hiệu là [1]

Con đường đóng   1

là đồng luân tương đối I , đến con đường đóng cố định x t: x mà chúng đồng nhất của nhóm

Đồng luân được xác định bởi:

1

2( , )

Mỗi phần tử của 1( , )X x kí hiệu là [ ]  , [ ]  , …

Trên 1( , )X x ta trang bị một phép nhân [ ][ ]    [  ]

Nếu không gian co rút được thì nhóm cơ bản của nó là tầm thường

Nếu f : ( , )X x  ( , )Y y là một tương đương đồng luân thì f# là một đẳng cấu

Quả cầu n

S là đơn liên với n 1 vì mỗi con đường đóng là đồng luân

tương đối I đến con đường đóng cố định Trong phần này ta chỉ ra rằng

1.2 Không gian phủ

1.2.1 Định nghĩa

Một không gian phủ của một không gian X là một không gian X cùng với một một ánh xạ p X: X thỏa điều kiện sau đây:

Với  x X tồn tại một lân cận U x của X để p1(U x) là hợp rời của các tập

mở trong X sao cho p là đồng phôi từ 1

exp : S xác định bởi exp( )t e2it

Lấy điểm x tùy ý trên đường tròn Ta có x e 2 it với t

, ;

t k

U  e   k    Lấy x'  sao cho t 2 x'

thỏa mãn tính chất nâng đồng luân Lấy : EM là một chùm phân thớ với phân thớ mẩu F và đa tạp cơ sở M Lấy X là một đơn hình phức hữu hạn và

(X n  [0;1]) (X n [0;t j]) Cho c là một n-đơn hình của X để

có một sự mở rộng F, theo giả thuyết quy nạp có cách dựng cho

'( , ) ( ( , ), '( ( , )))

vì  ( , )x t   (c [ ] (t j  c [ ,t t j j1]) nên F'( ( , )))  x t được định nghĩa

Sự mở rộng đáp ứng được yêu cầu

1.3 Cái nâng

1.3.1 Định nghĩa Cho một phủ p X: X Cái nâng của ánh xạ

:

f Y  X là ánh xạ f Y:  X sao cho f  p f

Lý thuyết của không gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng sau:

1.3.4 Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là liên thông đường địa phương nếu nó liên thông đường với mỗi điểm xX và một tập mở U

chứa x thì có một tập mở V U chứa x sao cho V là liên thông đường

1.3.5 Mệnh đề (Tiêu chuẩn cái nâng)

Cho p:X x, 0 ( ,X x0) là một không gian phủ và f : ( ,Y y0)( , )X x0 là một ánh xạ, với Y là liên thông đường và liên thông đường địa phương Khi

đó tồn tại cái nâng f : ( ,Y y0)  ( ,X x0 ) của f nếu và chỉ nếu

 

* ( ( , 1 0 )) * 1 ,

1.3.6 Mệnh đề (Tính chất cái nâng duy nhất)

Cho một không gian phủ p X: X và một ánh xạ f Y:  X với hai cái nâng f f1, 2:Y X bằng nhau tại một điểm trong Y Khi đó nếu Y liên thông thì hai cái nâng bằng nhau trên Y

1.4 Phân loại không gian phủ

1.4.1 Định nghĩa Một không gian X được gọi là nửa đơn liên nếu với mỗi điểm xX có một lân cận U sao cho i*  1U x,  là tầm thường

1.4.2 Định lý Nếu một không gian Y là liên thông đường và liên thông đường địa phương thì Y có một không gian phủ đơn liên nếu và chỉ nếu Y là đơn liên nửa địa phương

Chứng minh Trong phần này ta sẽ chứng minh nếu X là liên thông đường, liên thông đường địa phương và nửa đơn liên thì X có một không gian phủ đơn liên và không gian phủ này được gọi là không gian phủ phổ dụng Chú ý rằng nếu X là không gian phủ đơn liên thì cho một điểm x0 X , chúng có thể là những điểm không xác định xX với lớp các con đường đồng luân [ ] sao cho  (0) x0 và  (1) x Bằng cái nâng đồng luân thì mỗi con đường trong X bắt đầu tại x0  p x( 0 ) nâng đến một con đường trong X bắt đầu tại x0 cũng là những đồng luân Vì vậy các lớp của con đường đồng luân trong

X tương ứng với điểm trong X (bằng cái nâng con đường duy nhất và liên thông đường thì có một con đường trong X tương ứng với mỗi điểm trong X )

Ta sẽ định nghĩa không gian phủ phổ dụng chính xác như sau:

X  {[ ] :   là con đường trong X với (0)x0}

Ánh xạ phủ là p([ ])    (1)

Ánh xạ trên được định nghĩa tốt vì những đồng luân có điểm cuối cố định

Ta cần trang bị cho X một tôpô p vào một ánh xạ phủ (vì thế ta cần chứng minh rằng mỗi điểm trong X luôn có một lân cận phủ đều và plà liên tục) Cuối cùng ta cần phải chứng minh X là đơn liên

Ta sẽ trang bị cho X một tôpô bằng cách xác định một lân cận cơ bản

Ta sẽ định nghĩa lân cận của mỗi điểm như sau:

Cho U là một tập hợp các tập mở của liên thông đường mà phủ X (điều này tồn tại vì X là liên thông đường địa phương)

Ta định nghĩa

U[ ]  {[ ] :    là một con đường trong U với  (0)   (1)}

Chú ý rằng U[ ] chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân của  trong X (cũng chú ý rằng lớp đồng luân này là lớp đồng luân trong X) và p U: [ ] U là toàn ánh vì U là liên thông đường

Ta có nhận xét rằng nếu i p* *: 1(U[ ] )  1( )U  1( )X là tầm thường thì p

là đơn ánh vì ( là đồng luân trên X được chọn tùy ý) Nếu X là nửa đơn liên địa phương thì ta có thể chọn tập hợp A sao cho mỗi UA có tính chất ánh xạ thứ 2 trong phép hợp thành là tầm thường và vì thế phép hợp thành là tầm thường

Do đó p U: [ ] U là song ánh

Khẳng định 1 U[ ] U[ '] nếu [ '] U  [ ]

Chứng minh Nếu [ '] U  [ ] thì  '   trong X Vì tất cả các phần tử của U[ '] có dạng [    ] với một số con đường  trong U. Nhưng  . là một con đường thích hợp trong U và do đó U[ '] U[ ] Chứng minh U[ ] U[ ']

Điều này có thể làm như sau: bằng cách lấy A là tập của các tập mở U

của tất cả liên thông đường sao cho 1( )U 1( )X là tầm thường Nếu

U V   thì có một tập mở của liên thông đường chứa trong phần giao (quanh điểm bất kỳ) vì X là liên thông địa phương, và sử dụng bao hàm, nó phải thỏa mãn nhóm cơ bản của các ánh xạ tầm thường vào nhóm cơ bản của

X

Ta thấy rằng p U: [ ] U là một đồng cấu Ánh xạ plà liên lục với mọi điểm p([ ])    (1)  V U, với V là tập mở, ta có p V( [ ] ) V Đó là tập mở vì mọi điểm [ ] U  [ ] có một lân cận mở V[ '] sao cho ảnh là VA

Chứng minh p X: X là liên tục

Cho bất kỳ xX, x được chứa trong một số tập UA Xét các tập U[ ]

với tất cả lớp đồng luân [ ]  của những con đường từ x0 đến x Mỗi tập U[ ] là đồng cấu đến U thông qua p Cho bất kỳ hai lớp [ ],[ ']   nếu U[ ] U[ ']   thì

hai lớp đó bằng nhau Vì thế p U1( ) là một tập hợp của những tập rời nhau đồng cấu đến U thông qua p.

  bởi vì p  ( )t   ( )t , vì thế đó là một cái nâng

Điều đó diễn đạt bởi những cái nâng duy nhất mà  ( )t   ( ).t Vì  là một nút nên ta có  (0)   (1) hay [ ] [ ].x0   Vì thế  là đồng luân rỗng Vì p* là đơn ánh nên  là đồng luân rỗng do đó X là đơn liên

1.4.3 Mệnh đề Nếu X1 X là không gian phủ và X X là không gian phủ đơn liên thì X là một không gian phủ của X1 Vì thế có một bộ sắp thứ tự riêng của không gian phủ

Chứng minh Vì  1 X là tầm thường nên có một cái nâng tiêu chuẩn sao cho ánh xạ X X được nâng đến X X1

Vì vậy một không gian phủ đơn liên được gọi là phủ phổ dụng

1.4.4 Định nghĩa Một đẳng cấu giữa không gian phủ p1:X1 X và

2

2 :

p X X là tự đẳng cấu f X: 1 X2 sao cho p2 f  p1

1.4.5 Mệnh đề Nếu p1:X1 X và p2:X2  X là các không gian phủ

và X1, X2 là đơn liên thì các không gian phủ đó là đẳng cấu

Chứng minh Lấy X là phủ phổ dụng Ta biết rằng những điểm trong H

tương ứng với những lớp đồng luân của các con đường trong X Ta định nghĩa

H

X là thương của X bởi quan hệ tương đương

[ ']  [ ]  nếu  (1)   '(1) và [ ']   H.

(Quan hệ trên là một quan hệ tương đương vì H là một nhóm)

Với lân cận U[ ] và U[ '] , nếu [ ]  [ ']  thì những lân cận của chúng được xác định bởi [ ]   [ ' ]   Suy ra X H là một không gian phủ

Chọn x0 tương ứng với lớp tương đương của nút không đổi tại x0 Ta có, nếu [ ]  H thì  nâng đến nút t    |[0, ]t   trong X H ( vì [ ] [ ] x0 ) Tương tự,

nếu  là một nút trong X H cơ sở tại x0 thì p ( )t là một nút trong và

1.5.2 Mệnh đề Hai không gian phủ p1:X1 X và p2:X2 X là đẳng

cấu qua một phép đẳng cấu  sao cho  x1 x2 nếu và chỉ nếu

(p)  X x,  (p )  X ,x Ngược lại, nếu (p1 *) 1X x1 , 1 (p2 *) 1X2 ,x2 thì

ta có thể nâng các ánh xạ phủ bởi cái nâng duy nhất (khi các điểm cơ sở là đặc

biệt), ta được một đẳng cấu

Giả sử rằng p1:X1 X và p2:X2 X là các đẳng cấu qua ánh xạ

      với con đường h nào đó vì X2 là liên thông

đường Vì h là con đường từ  x1 đến x2 nên nó tương ứng với một nút trong

Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự

Ngược lại, cho một nhóm H   1X x, 0 và một nhóm con liên hợp 1

g Hg ,

ta có cái nâng g và nó tạo ra một tự đẳng cấu của không gian phủ cho H.

1.6 Phép biến đổi phủ

1.6.1 Định nghĩa Một tự đẳng cấu của không gian phủ XX được gọi

là một phép biến đổi phủ Tập hợp các phép biến đổi phủ của X lập thành một nhóm kí hiệu là G X 

1.6.2 Ví dụ Cho S1, phép biến đổi phủ là phép tịnh tiến của .

1.6.3 Ví dụ Cho một phủ ntờ 1 1

S S , các phép biến đổi phủ lập thành nhóm n

1.6.4 Định nghĩa Một không gian phủ XX là chuẩn tắc nếu mỗi

N H là nhóm con chuẩn tắc hóa

(2) Không gian phủ là chuẩn tắc nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của

1 X x, 0



1.6.6 Định lý Nếu X là một phủ chuẩn tắc thì G X   1X x, 0/H. Do đó nếu X là phủ phổ dụng thì G X   1X x, 0.

Chứng minh Ta dễ thấy rằng việc chuyển cơ sở từ x0 đến x1 tương đương với liên hợp của p*1X x, 0 trong  1X x, 0 bởi một phần tử

của phép biến đổi phủ, mà nó tương đương với N H( )   1X x, 0.

Ta phải chứng minh rằng có một toàn ánh  :N H( ) G X  chuyển [ ] 

thành phép biến đổi phủ   ([ ]) từ x0 đến x1 (với  là cái nâng của  sao cho

0

(0) x

  và  (1) x1) Chú ý rằng đây là một đồng luân: vì nếu [ ],[ ]   N H( )

thì ta thấy rằng   ' nâng đến      Vì phép biến đổi phủ được định nghĩa bởi x0 đến   ' x 0  và do đó [ ']   tương đương với  '.

Hạt nhân của  gồm những con đường đóng [ ] N H( ) mà nâng đến những con đường đóng hay p*1X x, 0H

Vì phủ phổ dụng có nhóm phép biến đổi phủ bằng với nhóm cơ bản, do

đó nếu ta biết nhóm cơ bản thì ta có thể xây dựng phủ phổ dụng bằng cách bắt đầu với một lân cận của điểm cơ sở và sau đó sử dụng nhóm cơ bản như nhóm các phép biến đổi phủ để thấy phần còn lại của không gian phủ

  Ví dụ xét phủ phổ dụng của chai Klein, mà nó được xây dựng từ miền cơ bản bằng cách đặt hai hình tròn với nhau để tạo ra một hình xuyến và sau đó tịnh tiến đến tất cả điểm của 2 Ta có nhóm các phép biến

1.6.7 Định nghĩa Một tác động của nhóm G lên không gian Y là một

đơn cấu GHomeo Y( ) trong đó Homeo Y( ) là tập hợp các phép đồng phôi từ

.

YY Ta gọi là tác động không gian phủ nếu với mỗi yY có một lân cận U

của y sao cho tất cả ảnh của U là rời nhau (nghĩa là g U1( ) g U2( )  thì

1 2

g g )

1.6.8 Định nghĩa Cho một tác động nhóm G trên một không gian Y.

Không gian quỹ đạo Y G/ là không gian của các quỹ đạo G y:y Y  cho bởi

tôpô thương Y/ với y y' nếu GyGy'.

Ví dụ Cho một không gian phủ chuẩn tắc X X với nhóm phép chuyển

đổi phủ G X , ta có X G X/  X.

1.6.9 Mệnh đề Nếu G là tác động không gian phủ trên một không gian

Y thì:

(1) Ánh xạ thương là không gian phủ chuẩn tắc

(2) G là nhóm các phép biến đổi phủ nếu Ylà liên thông đường

(3) G là đẳng cấu với  1Y G/ / p*  1 ( )Y nếu Y là liên thông đường và liên

thông đường địa phương

Chứng minh Cho một tập mở U như trong định nghĩa của không gian

phủ tác động Tập thương coi như là những tập rời g U( ) Với tôpô thương, p

là đồng cấu hạn chế từ g U( ) lên ảnh p U( ) của nó với mỗi gG và rõ ràng chúng có thể áp dụng với bất cứa phần tử nào trong phân thớ đến bất kỳ phần

S (n 2) là đơn liên nên  n

1 P 2

tạo thành từ một con đường đóng giữa hai điểm xuyên tâm đối

Chương 2 PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu về tích tự do, cấu trúc của không gian phủ và định lí Van Kapen, định lý này là công cụ quan trọng dùng

để tính nhóm cơ bản Để chuẩn bị cho công việc đó chúng tôi giới thiệu nhóm

tự do G H của hai nhóm G và H Theo đại số của tích tự do của nhóm đóng một vai trò quan trọng trong việc tính các nhóm cơ bản Ta kí hiệu các phần tử của các nhóm G và H lần lượt là g j và h k

G H là một nhóm vô hạn trừ phi cả G và H là các nhóm hữu hạn và

một trong hai nhóm đó là nhóm tầm thường 1 phần tử

2.1.2 Định nghĩa Cho nhóm A và các đồng cấu 1:AG, 2:AH

Ta định nghĩa GA H là nhóm thương của G H bởi nhóm con chuẩn tắc sinh

G H chỉ phụ thuộc vào các đồng cấu  1, 2

2.1.3 Tính chất Cho X và Y là các không gian tôpô Khi đó:

1 1(X Y x y ,( , ))1( , )X x 1( , ),Y y

2 Cho XY là không gian có được bằng cách dán X với Y tại điểm

xX và yY. Ta có: 1(X Y x , y) đẳng cấu với tích tự do của 1( , )X x và

1( , )Y y

Chứng minh

(1) được suy ra từ định nghĩa của phép chiếu X Y X và X Y Y (2) có thể thấy ngay vì không có mối quan hệ nào giữa các con đường đóng trong X và Y.

1 ( , )S x Z,

 do đó nhóm cơ bản của nhình xuyến đẳng cấu với n.

2.2.4 Ví dụ Xét nửa không gian H3  {( , , ) |x y z z 0}. Cho C C1, 2, ,C n là nửa đường tròn hoặc Hđường cong với các điểm cuối trên mặt phẳng z 0

và nằm trên mặt phẳng trực giao với mặt phẳng này Sự phân tích trong ví dụ này được áp dụng cho nhiều cung tròn C i

Giả sử C i rời nhau và cho C  C i Lấy v ( ,v v v1 2, 3) H3 với v3 lớn Ta

có 1(H3 \ ; )C v đẳng cấu với nhóm tự do F n trên n phần tử sinh Một tập A

gồm các phần tử sinh 1, ,n của nhóm cơ bản là các con đường đóng đã xác định hướng Ta cũng gán các hướng cho các cung tròn C i Cho P là mặt

phẳng trực giao với z 0 sao cho phép chiếu trực giao của mỗi cung tròn C i

lên P là tương ứng 1 1  Không mất tính tổng quát để gán hướng cho C i và isao cho bất cứ cung tròn i đứng sau C i thì chiều của i theo chiều của C i là 1

hướng cơ bản dương đối với mặt phẳng P Ta phải cố định mặt phẳng P thì bất cứ i phía sau hoặc phía trước C i tại một điểm nơi mà phép chiếu trực giao

của chúng trên P giao nhau Xét một con đường đóng được định hướng  với điểm cơ bản Ta muốn mô tả lớp đồng luân của [ ]  trong hệ sinh 1, ,n Ta thấy hình chiếu của  trên mặt phẳng Pvà xác định tại bất cứ mỗi giao điểm của phép chiếu của  với i của chúng nơi mà  phía sau i hoặc trước Ta

chỉ xét những điểm mà  ở phía sau một trong những C i Dọc theo  tại điểm

đầu  ở phía sau C2 Cặp sắp thứ tự bao gồm tiếp tuyến định hướng dương đến  và C2 từ một cơ sở định hướng dương của 2

Ta đặt điểm này là 2 Tại các điểm tiếp theo có liên quan đến  ở phía sau C1 nhưng cặp sắp thứ tự

của các tiếp tuyến sẽ định hướng âm Ta nhân 2 với 1

1 2 3 1 2

     

Đây là biểu thức cho [ ]  nằm trong hệ sinh { }i của 1(H3 \ ; )C v

2.2 Cấu trúc của không gian phủ

Trong phần này ta liên hệ giữa nhóm cơ bản với không gian phủ và điều cốt yếu là muốn phát triển một phương pháp luận cho việc xây dựng cấu trúc của không gian phủ Các kết quả trong phần này chúng tôi tham khảo từ tài liệu số [9] và được trình bày lại dưới dạng sơ cấp hơn

Cho một không gian phủ ( , , )E p B Khi đó có ánh xạ cảm sinh của nhóm

cơ bản  #: 1( , )E e 1( , )B b với  ( )e b và được xác định bởi  #([ ]) [ ]

Ta có:

2.2.1 Mệnh đề # là ánh xạ 1 1 

Chứng minh Cho [ ]  1( , )E e và giả sử rằng  #([ ]) e 1( , )B b thì

#([ ])

  là đồng luân của ánh xạ hằng b I: b Cái nâng đồng luân E (mà nó

có thể từ  là cái nâng của  đến E) và chú ý rằng ánh xạ hằng nhất thiết nâng đến ánh xạ hằng bởi vì tính rời rạc của phân thớ, ta mong muốn đồng luân giữa và ánh xạ hằng

Tính chất nâng con đường đảm bảo rằng bất kỳ con đường đóng  : I B, với  (0) b luôn có duy nhất cái nâng  ' : IE với  '(0) e, tuy nhiên cái nâng  ' có thể không phải là con đường đóng Nếu  ' là con đường đóng thì cái âng khác '' : I E với ' 1

''(0) e ( )b

   có thể không là con đường đóng Một phép chiếu phủ với tính chất hoặc tất cả cái nâng của nó đều là con đường đóng hoặc không có cái nâng nào là con đường đóng được gọi là chính quy

2.2.2 Mệnh đề  #( ( , ))1 E e gồm có các lớp đồng luân của các con đường

#( ( , ))1 E e

  là nhóm con chuẩn tắc của 1( , )B b nếu và chỉ nếu ( , , )E p B là một

không gian phủ chính quy Vì thế phủ chính quy 1( , ) /B b  #( ( , ))1 E e là một

nhóm

Chứng minh Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên

Cho : IB với [ ]  1( , )B b và : I E với [ ]  1( , )E e Ta có thể

nâng  thành ' : IE với  '(0) e Nâng  thành ( ) ' : I E với

(  ) '(0)   '(1) Do ( , , )E p B là một không gian chính quy nên (  ) ' là một con

          chứng minh tính chuẩn tắc của  #( ( , ))1 E e

Ngược lại, nếu : IE với  0 e và   '

Do đó nếu #( (1 E e, )) là chuẩn tắc thì tập hợp các lớp đồng luân của các

con đường đóng mà cái nâng của chúng đến '

( , )E e là các con đường đóng thì

( , , )E p B là không gian phủ chính quy

Một nhóm  tác động gián đoạn thật sự (bên trái) vào một không gian X

nếu với mỗi x X có một lân cận U của x sao cho với mọi e   ta có

( )

Chú ý rằng nếu  tác động gián đoạn thật sự thì X   \X là một phép

chiếu phủ Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các phép chiếu phủ chính quy đều có

dạng này Cho một phép chiếu phủ ( , , )E p B , đặt  1(B b, )/ #( (1 E e, )) Cho

  và ': I B là con đường đóng với '  ' 

    tương ứng với  Với x E , cho  : IE là con đường với  0 e và  1 x Gọi '' là cái

nâng của ' với '' 

ta thay  bởi con đường khác  ' thì   ' 1 

là một phần tử của 1(E e, ) và vì thế cái nâng của  ' 1 

với điểm ban đầu '' 

1

 là con đường đóng (do ( , , )E p B

chính quy) Hơn nữa, cái nâng '

và 1(B b, )/ p#( (1 E e, )) đẳng cấu với  với 1 

Q          Q  Q  Vì hạt nhân của Q là #( (1 E e, )) nên ta

có điều phải chứng minh

thẳng nối gốc đến những điểm ( 1, 0,···, 0 ,···, 0,···, ) ( 0,1) là một dạng cơ bản của nhóm cơ bản của nó

S Tác động được cho bởi:

S trên tác động này của / q là L q k( ; ) và ta phải chứng minh  1L q k ;  /q Cho một nhóm G giao hoán hữu hạn sinh, ta có sự phân tích G k /q1 /q2  /q n là một tích của các nhóm cyclic

1 S . S L q1 L q n G.

 ;

2.2.6 Hệ quả Cho E p B, ,  là một phép chiếu phủ vàf : X x,   B b,  Khi đó f có thể được nâng đến một ánh xạ  :X x,   E e, , e b sao cho   f nếu và chỉ nếu f#( (1 X x, )) #( (1 E e, ))

Chứng minh  # #  f# Cho y X và  : IX là con đường bất kì với

rằng  được định nghĩa tốt Nếu  là con đường bất kì khác từ x đến ythì

duy nhất được suy ra từ tính duy nhất của cái nâng con đường

2.2.7 Hệ quả Cho ( , , )E  B và ( , , )X f B là các phép chiếu phủ Khi đó

có một ánh xạ  : XE sao cho  f nếu và chỉ nếu f#( (1 X x, )) được chứa trong một tập liên hợp của #( (1 E e, )) trong 1(B b, ) Mỗi liên hợp của

Chứng minh Ta phải chỉ ra rằng một cái phủ n-tờ của B xác định một lớp tương đương của đồng cấu  : 1(B b, )S n thỏa mãn điều kiện bắc cầu

Ngược lại, cho một đồng cấu  : 1(B b, ) S n thỏa mãn điều kiện bắc cầu, cho   {    1 (B b, ) |    1  1 } và E \  E với E là không gian phủ phổ dụng của B Bởi vì điều kiện bắc cầu nên  có chỉ số n trong 1(B b, ) và

E B là một phủ n-tờ Tất cả phủ của B tương đương với E B được chứa

bởi việc thay thế  với nhóm liên hợp Cho    '   và p E' : '   '\EB là phép chiếu tự nhiên Sự tương đương EE' được cho bởi x  x mà nó

cấu :* 1(A )1( )X là toàn ánh Nếu thêm điều kiện mỗi giao A A A

là liên thông đường thì hạt nhân của  là nhóm con chuẩn tắc N được sinh

i  i   với    (A A) trong đó (

i  AA  A và do đó  cảm sinh đẳng cấu p X( )*  (A /) N

Chứng minh

* Đầu tiên ta chứng minh là toàn ánh

Xét con đường đóng tại điểm gốc x0 là f I:  X, ta luôn có một phân hoạch 0    s0 s1 s m 1 của I sao cho f s([ i1, ])s i  A với i 1, m Vì f là

liên tục nên với mọi sI luôn có lân cận mở V s trong I sao cho f V( )S A a

với A nào đó Lấy V S là một khoảng mà bao đóng của nó qua ánh xạ f nằm trong A Do tính compact của I nên sẽ có hữu hạn khoảng như trên phủ I Những đầu mút của các tập hữu hạn này xác định một phân hoạch cần tìm của

I Kí hiệu A chứa f s([ i1,s i ]) là A i và đặt f i là con đường thu được bởi hạn chế f xuống [s i1,s i ] Do đó f là f f1  2 f m với f i là con đường trong A i Vì

f g1  1  g1  f2 g2  g2  f3 g2  g m1 f m đồng luân với . Con đường đóng này là hợp nối của các con đường đóng mà mỗi con đường đóng nằm trong A i

Do đó [ f] thuộc ảnh của  Vậy  là toàn ánh

+ Con đường đóng f là đồng luân với f1  f I trong X

Nhân tử hoá của [ ]f là một từ trong *a(A a ), có thể không bị lược bỏ,

mà ảnh của nó qua  chính là [ ]f Việc chứng minh  là toàn ánh chỉ ra rằng mỗi [ ]f   ( )X có một nhân tử hoá

Chúng ta quan tâm đến tính duy nhất của nhân tử hoá Hai nhân tử hoá của [ ]f gọi là tương đương nếu chúng được quan hệ bởi một dãy hai loại dịch chuyển sau:

xác định bởi nhân tử hoá Sự dịch chuyển thứ hai không làm thay đổi ảnh của phần tử này trong nhóm thương Q * a (A a /) N bởi định nghĩa của N Do vậy nhân tử hoá tương đương cho ta cùng một phần tử trong Q

Nếu chúng ta chứng minh được rằng bất kì hai nhân tử hoá của [ ]f là tương đương thì ánh xạ Q  ( )X cảm sinh bởi  là đơn ánh Do đó hạt nhân của  chính là N

Cho [ ] [ f1 f k] và [ ' ] [ ' ]f 1 f l là hai nhân tử hoá của [ ]f Hai con đường

0    t t t n 1 sao cho ảnh của hình chữ nhật R ij [s i1, s i ]  [t j1,t j] qua F

nằm trong một tập A, kí hiệu là A ij Các phân hoạch này có được bằng cách phủ I I bởi hữu hạn các hình chữ nhật [a b, ] [  c d, ]mà ảnh của mỗi hình chữ nhật nằm trong một tậpA Do tính compact nên việc phân hoạch II bởi hợp

của tất cả các đường nằm ngang và đường thẳng đứng chứa các cạnh của những hình chữ nhật này Chúng ta có thể giả sử rằng sphân hoạch chia nhỏ

phân hoạch cho ta tích f1  f k và ' '

1 l

f   f Vì F biến một lân cận của R ij

thànhA ij nên ta có thể xáo trộn các cạnh thẳng đứng của hình chữ nhật R ij vì vậy mỗi điểm của II nằm trong ít nhất ba tập R ij Ta có thể giả sử có ít nhất

ba hàng gồm các hình chữ nhật nên ta có thể thực hiện việc xáo trộn này chỉ trên các hình chữ nhật ở hàng giữa, còn hàng trên và cuối thì vẫn giữ nguyên Đặt tên lại thành các hình chữ nhật mới là R R1, 2, ,R mn sắp xếp chúng như hình 2.2