(LUẬN văn THẠC sĩ) đánh giá năng lực mô hình hóa trong dạy học bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở lớp 12​

Giải thích cho sự quan tâm này, trước hết chúng tôi cần nói rằng đây là NL không thể thiếu khi người ta muốn giải quyết một vấn đề của thực tiễn bằng công cụ toán học - điều mà chúng tô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhân

ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhân

ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, các trích dẫn được trình bày trong luận

văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả

Nguyễn Thị Nhân

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc từ tận đáy lòng đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người đã giúp đỡ tôi bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Với bộn bề công việc giảng dạy và nghiên cứu nhưng Cô đã rất kiên nhẫn, tận tình, tận tâm hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng đã nhiệt tình giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Didactic toán khóa 28, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Annie Bessot và GS.TS Hamid Chaachoua đã có những góp

ý quan trọng cho luận văn của mình

Tôi chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Dương, Ban giám hiệu, quý thầy cô tổ Toán và tập thể học sinh trường THPT Bến Cát, Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

Lời cảm ơn chân thành tôi xin được gửi đến em Phạm Thành Đạt và tất cả các bạn cùng khóa, đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và khó khăn trong suốt khóa học, động viên và giúp đỡ nhau cùng học tập, giúp tôi có những kỷ niệm đẹp và tình bạn tuyệt vời

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến những người thân yêu trong gia đình Bố mẹ, hai chị và em gái luôn động viên, nâng đỡ tôi về mọi mặt, chăm sóc cháu trong những ngày tôi đi học xa nhà Đặc biệt là Chồng tôi - Người luôn chia sẻ, khích lệ tinh thần và gánh vác công việc gia đình, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi an tâm học tập Cảm ơn con trai đã ngoan ngoãn, biết chăm sóc bản thân và tự lập trong học tập khi mẹ vắng nhà

Nguyễn Thị Nhân

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các sơ đồ

Danh mục các biểu đồ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 12

1.1 Năng lực 12

1.1.1 Năng lực là gì? 12

1.1.2 Cấu trúc của năng lực 14

1.2 Đánh giá năng lực 16

1.2.1 Một số điểm mấu chốt trong đánh giá năng lực 16

1.2.2 Quy trình đánh giá năng lực 18

1.2.3 Các loại hình tham chiếu đánh giá năng lực 19

1.3 Năng lực mô hình hóa 20

1.3.1 Mô hình hóa và quá trình mô hình hoá 20

1.3.2 Khái niệm năng lực mô hình hóa 21

1.3.3 Cấu trúc của năng lực mô hình hóa 22

1.3.4 Các mức độ năng lực mô hình hóa 25

1.4 Đánh giá năng lực mô hình hóa 26

1.4.1 Mẫu câu hỏi để đo lường năng lực mô hình hóa của học sinh 26

1.4.2 Đánh giá tiếp cận đa chiều 28

1.4.3 Đánh giá tiếp cận một phần đa chiều 31

1.4.4 Đánh giá tiếp cận một chiều 33

1.5 Kết luận chương 1 38

Chương 2 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA GẮN VỚI CHỦ ĐỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12 40

2.1 Phương pháp luận thiết kế thang đánh giá 40

2.1.1 Tuân thủ nguyên tắc “đánh giá chú trọng vào cả quá trình” 40

2.1.2 Lựa chọn cách đánh giá tiếp cận một phần đa chiều 41

2.1.3 Các bước cần thực hiện để xây dựng thang đánh giá 41

2.1.4 Sự cần thiết của việc nghiên cứu các đặc trưng của thể chế 42

2.2 Nghiên cứu thể chế ITG 43

2.2.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình dùng cho ITG 43

2.2.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 dùng cho ITG 44

2.2.3 GTLN, GTNN trong đề thi minh họa và đề thi THPT quốc gia 46

2.3 Nghiên cứu thể chế IĐ 47

2.3.1 Yêu cầu cần đạt đối với năng lực mô hình hóa 48

2.3.2 Yêu cầu cần đạt gắn với chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 49

2.4 Xây dựng thang đánh giá năng lực mô hình hóa cho dạy học bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở lớp 12 52

2.4.1 Xây dựng thang đánh giá tổng quát về năng lực mô hình hoá 52

2.4.2 Xây dựng thang đánh giá năng lực mô hình hóa gắn với chủ đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở lớp 12 54

Chương 3 MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 62

3.1 Mục đích, đối tượng và hình thức thực nghiệm 62

3.2 Quan điểm xây dựng bài toán thực nghiệm 63

3.3 Thực nghiệm bài toán 1 64

3.3.1 Giới thiệu bài toán 1 64

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm bài toán 1 65

3.3.3 Phân tích hậu nghiệm bài toán 1 76

3.4 Thực nghiệm bài toán 2 82

3.4.1 Giới thiệu bài toán 2 82

3.4.2 Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 83

3.4.3 Phân tích hậu nghiệm kết quả bài toán 2 87

3.5 Kết luận chương 3 88

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 PHỤ LỤC

NL (3) : NL Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình toán

NL (4) : NL phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được

KN1 : Đơn giản giả thiết

KN2 : Đưa ra giả định

KN4 : Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

KN5 : Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ/hình vẽ

KN6 : Xác định biến, tham số, hằng số

KN7 : Thiết lập mệnh đề toán học

ITG : Thể chế trung gian

IĐ : Thể chế đích

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Quy trình xây dựng bộ thang đo và công cụ đánh giá NL 19

Bảng 1.2 Cấu trúc của NL MHH 23

Bảng 1.3 Các mức độ NL MHH 25

Bảng 1.4 Bảng tóm tắt mẫu câu hỏi đánh giá NL MHH 27

Bảng 1.5 Thang đánh giá NL MHH của Chan Chun Minh Eric và cộng sự (2012) 32

Bảng 1.6 Thang đánh giá theo sách Gaimme (2019) 33

Bảng 1.7 Thang đánh giá NL MHH của Ludwig và Xu (2010) (thang tổng quát) 36

Bảng 1.8 Thang đánh giá NL MHH của Nguyễn Danh Nam (2015) 37

Bảng 2.1 Các bước thực hiện đánh giá NL MHH 41

Bảng 2.2 Thống kê nhiệm vụ T và Tpatu 45

Bảng 2.3 Yêu cầu cần đạt đối với NL MHH ở bậc trung học phổ thông 48

Bảng 2.4 Yêu cầu cần đạt đối với chuyên đề Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu 51

Bảng 2.5 Bảng mô tả chỉ số hành vi và tiêu chí đánh giá của từng NL thành phần 52

Bảng 2.6 Bảng Tiêu chí chung cho từng mức độ NL thành phần 54

Bảng 2.7 Thang đánh giá NL MHH trong DH bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12 (thang đánh giá chi tiết) 57

Bảng 3.1 Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 1 73

Bảng 3.2 Thống kê các mức NL MHH của HS theo thang Ludwig và Xu 77

Bảng 3.3 Thống kê tỉ lệ các mức NL MHH của HS theo thang Ludwig và Xu 77

Bảng 3.4 Thống kê các mức NL KN1, KN2, KN3, KN4 của 31 HS theo thang chi tiết 80

Bảng 3.5 Thống kê tỉ lệ các mức NL của KN1, KN2, KN3, KN4 theo thang chi tiết 81

Bảng 3.6 Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2 86

Bảng 3.7 Thống kê tỉ lệ các mức NL của KN5, KN6, KN7 theo thang chi tiết 88

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Một trực quan của ba chiều để đánh giá NL 30

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Cấu trúc NL 14

Sơ đồ 1.2 Mối quan hệ giữa 8 KN thành phần và các mức độ NL MHH 37

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Phát triển năng lực mô hình hoá – một trong những mục tiêu đổi mới giáo dục

Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị Ban chấp hành trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo

đã đưa ra nhiệm vụ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học”

Để thực hiện nhiệm vụ đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã xây dựng chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng tiếp cận năng lực (NL) Mục tiêu của chương trình tiếp cận NL được cụ thể hóa thành những NL mà người học cần đạt Chương trình giáo dục phổ thông - chương trình tổng thể của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành ngày 26 tháng 12 năm 2018 đã đưa ra mười NL cốt lõi cần hình thành và phát triển cho HS Riêng đối với môn Toán thì một trong những yêu cầu cần đạt đối với

chương trình môn Toán là hình thành và phát triển được NL toán học, bao gồm năm

thành phần cốt lõi

1 NL tư duy và lập luận toán học;

2 NL mô hình hoá toán học;

3 NL giải quyết vấn đề toán học;

4 NL giao tiếp toán học;

5 NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Trong năm thành phần cốt lõi trên, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến NL mô hình hoá toán học (MHHTH) Các nhà nghiên cứu vẫn thường gọi tắt MHHTH là

mô hình hoá (MHH), NL MHHTH là NL MHH Cách nói tắt này từ đây cũng sẽ được chúng tôi sử dụng trong luận văn

Giải thích cho sự quan tâm này, trước hết chúng tôi cần nói rằng đây là NL

không thể thiếu khi người ta muốn giải quyết một vấn đề của thực tiễn bằng công

cụ toán học - điều mà chúng tôi mong muốn đẩy mạnh trong thực hành giảng dạy của mình Hơn nữa, việc bồi dưỡng NL MHH sẽ góp phần tác động quan trọng vào

vấn đề phát triển NL toán học

Các tác giả Niss, Blum và Galbraith (2007) đã nhấn mạnh sự tác động lẫn nhau của năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học Sự phát triển của năng lực mô hình hóa toán học phụ thuộc vào năng lực toán học và đồng thời cũng giúp phát triển năng lực toán học

(dẫn theo Chan Chun Ming Eric và cộng sự, 2012, 152)

Vì vậy mà gắn dạy học (DH) Toán với tiến trình MHH và mục tiêu phát triển

NL MHH đang là xu hướng chung chiếm được sự quan tâm của toàn thế giới

Chẳng hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, mô hình hoá toán học là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán Ở Singapore, mô hình hoá toán học được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của mô hình hoá trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức của thế kỉ XXI

(Nguyễn Thị Tân An, 2012, tr.116)

1.2 Nhu cầu xây dựng công cụ đánh giá năng lực mô hình hóa

Mục tiêu thay đổi, đương nhiên là nội dung, phương pháp DH và công tác

đánh giá phải thay đổi theo Cách đánh giá theo mục tiêu cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng (KN) giải một số dạng toán cơ bản trước đây không còn phù hợp với mục tiêu phát triển NL Điều này đã được các cấp quản lý cũng như các nhà nghiên cứu bàn đến Chẳng hạn, Nghị quyết 44 của Chính phủ xác định là cần phải:

Đổi mới hình thức, phương pháp thi, kiểm tra và đánh giá kết quả giáo dục theo hướng đánh giá năng lực của người học; kết hợp đánh giá cả quá trình với đánh giá cuối kỳ học, cuối năm học theo mô hình của các nước có nền giáo dục phát triển

(Nghị quyết số 44/NQ-CP, ngày 09/6/2014)

Quan điểm tính đến việc phát triển NL MHH trong DH Toán đã diễn ra ở nhiều nước trên thế giới từ lâu, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu, trong đó có vấn đề đánh giá Nhu cầu này lại càng lớn đối với Việt Nam, một nước

mới bắt đầu đi vào quỹ đạo của định hướng phát triển NL chưa lâu Đặc biệt, đối với GV, hiểu và thực hiện được việc đánh giá NL của HS đang là vấn đề khó khăn Nhưng cho đến thời điểm hiện tại, Bộ Giáo dục và Đào tạo vẫn chưa ban

hành một thang đánh giá cụ thể về NL toán học nói chung, NL MHH nói riêng, mà chỉ đưa ra yêu cầu cần đạt chung chung đối với NL này

Nếu như việc đánh giá trong DH tiếp cận nội dung được xây dựng chủ yếu dựa trên tiêu chí “ghi nhớ và tái hiện nội dung đã học”, thì tiêu chí đánh giá của tiếp

cận NL là gì? Làm sao để đánh giá được NL toán học của HS? Việc đánh giá này

có vai trò quan trọng đối với các nhà quản lý giáo dục, đối với mỗi hệ thống DH, và đối với cả GV

Ở cương vị một GV toán, nhu cầu thực tế khiến chúng tôi quan tâm đến câu hỏi trên Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi hạn chế nghiên cứu của mình ở vấn đề đánh giá NL MHH, bởi vì:

Sự phát triển và đánh giá hợp lý về NL MHH xem như là một thành phần trong

sự phát triển dạy học môn toán

(Jensen, 2007, tr.1)

1.3 Lựa chọn của chúng tôi về đối tượng tri thức toán học

Theo định hướng đã lựa chọn, chúng tôi nhắm đến việc xây dựng một thang đánh giá NL MHH Thang này thoạt đầu có thể được xây dựng ở mức độ khái quát Tuy nhiên, ở cương vị một GV phải đối diện hàng ngày với vấn đề đánh giá, chúng tôi mong muốn một sự cụ thể hoá của thang khái quát đó cho những nội dung DH

cụ thể Vì lẽ đó chúng tôi sẽ giới hạn nghiên cứu của mình ở một đối tượng hay một chủ đề toán học nào đó Chúng tôi hy vọng cách cụ thể hoá từ thang khái quát vào chủ đề được lựa chọn sẽ có thể vận dụng cho những nội dung DH khác

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ở lớp 12 dường như khá phù hợp với định hướng nghiên cứu của chúng tôi

Lý do thứ nhất nằm ở chỗ, bài toán tìm GTLN - GTNN gắn liền với việc giải quyết nhiều vấn đề thiết thực trong đời sống, trong lao động sản xuất Ví dụ: làm thế nào để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất, giá thành thấp nhất, chất lượng sản phẩm tốt nhất, ít tốn thời gian nhất, quãng đường đi ngắn nhất, lợi nhuận lớn nhất, v.v.… Như vậy, bài toán tìm GTLN - GTNN là một mảnh đất khá phong phú để GV có thể thực hiện việc gắn toán học trong nhà trường với cuộc sống ngoài xã hội Và, như

chúng tôi sẽ làm rõ ở chương sau, thực hiện điều này rất có ý nghĩa đối với việc góp phần bồi dưỡng NL MHH cho HS

Lý do thứ hai là đặc tính ứng dụng của bài toán tìm GTLN - GTNN cũng được quan tâm, tuy chưa nhiều, bởi các SGK Chẳng hạn, bài toán sau đã được đưa vào trong sách Bài tập Giải tích lớp 12 nâng cao:

Bài toán 1: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho

thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng/1 tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng/1 tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

(Bài tập giải tích 12 nâng cao, 2010, tr.26)

Hơn thế, ngay cả trong các kỳ thi, vấn đề thực tế liên quan đến bài toán tìm GTLN - GTNN cũng thường xuyên xuất hiện Chẳng hạn, gần đây nhất, đề thi chính thức THPT quốc gia môn Toán năm 2018 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã đưa vào một vấn đề như thế

Câu 30: Ông A dự định sử dụng hết 5𝑚2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép

có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

(Câu 30, mã đề 103, Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2018)

Đặc biệt, theo Chương trình giáo dục phổ thông được Bộ Giáo dục và Đào tạo

công bố ngày 26 tháng 12 năm 2018 thì “Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu” (gắn liền với bài toán GTLN - GTNN) sẽ được đưa vào nội dung

của một chuyên đề dạy ở lớp 12

Lý do thứ hai này cũng là một động lực để GV và HS quan tâm hơn tới việc dạy và học bài toán tìm GTLN - GTNN theo định hướng phát triển NL MHH Và

chính vì thế nên vấn đề xây dựng một cách đánh giá NL MHH lại càng trở nên

cấp thiết

Lý do thứ ba nằm ở ảnh hưởng của sự chuyển hoá sư phạm do chương trình, SGK lựa chọn

Nếu nhìn lại lịch sử toán, ta thấy bài toán tìm GTLN - GTNN của một đại lượng đã chiếm sự quan tâm của các nhà toán học do những vấn đề nảy sinh từ nhu cầu của thực tiễn Từ xa xưa, phương pháp tỉ lệ đã từng được sử dụng để giải quyết những vấn đề này Tuy nhiên, phương pháp ấy không thể dùng cho mọi vấn đề dạng

“tìm điều kiện cho một đối tượng để một đại lượng đạt tối ưu” Đó là lý do khiến các nhà toán học quan tâm đến việc tìm một phương pháp tổng quát hơn Với sự ra đời của đạo hàm, vấn đề đã được Fermat cùng các nhà toán học khác giải quyết bằng những thuật toán tổng quát Có lẽ vì lợi ích của những thuật toán đó mà các chương trình và SGK thường chú trọng vào chúng Hệ quả là bài toán tìm GTLN - GTNN thường được đặt trong bối cảnh toán học thuần tuý: nó được trình bày như một ứng dụng của đạo hàm, và thường xuyên được xét với một hàm số đã cho sẵn bằng công thức Nếu GV không cố gắng thay đổi ảnh hưởng của sự lựa chọn đó thì

có lẽ NL MHH của HS ít được phát triển qua việc nghiên cứu bài toán tìm GTLN - GTNN Vì thế, chúng tôi cho rằng việc đưa ra được một cách thức đánh giá NL MHH trong DH bài toán này cũng là một cơ sở để GV nhìn lại thực hành DH của mình

Tóm lại, bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12 là một chủ đề tốt cho việc phát triển NL MHH Cũng vì thế mà nghiên cứu việc đánh giá NL MHH qua chủ đề này là cần thiết

Từ những ghi nhận trên chúng tôi đã lựa chọn đề tài cho nghiên cứu của mình

là: “Đánh giá NL MHH của HS trong dạy học bài toán tìm GTLN - GTNN của

hàm số ở lớp 12”

2 Tổng quan các công trình nghiên cứu có liên quan

Với những xác định ban đầu về đề tài nghiên cứu, chúng tôi tiến hành tìm kiếm, và đã thu thập được một số công trình nghiên cứu có liên quan Không kể đến những công trình bàn về các khái niệm NL, NL MHH1, chúng tôi chỉ tóm lược dưới đây một số kết quả liên quan trực tiếp đến hai từ khoá trong đề tài nghiên cứu của

1 Sẽ được chúng tôi đề cập ở Chương 1 – Cơ sở lý luận

mình, đó là “đánh giá NL MHH” và “bài toán GTLN-GTNN” của hàm số trong DH toán ở lớp 12

2.1 Về vấn đề đánh giá năng lực, năng lực mô hình hoá

Nói về đánh giá NL MHH thì hiện ở Việt Nam vẫn chưa có nhiều nghiên cứu

Năm 2015, tác giả Nguyễn Thị Bích Lê có nghiên cứu về Đánh giá NL giải quyết vấn đề của HS phổ thông trung học trong tình huống DH bằng MHH Mặc dù đặt

trong các tình huống DH bằng MHH, nhưng NL mà tác giả đánh giá là NL giải quyết vấn đề Vì vậy, tác giả chỉ lựa chọn những tình huống DH bằng MHH mà có

NL thành phần và tiêu chí tương ứng với NL giải quyết vấn đề (được mô tả cụ thể trong nghiên cứu của tác giả) để đánh giá

Ngoài ra còn có hai công trình nghiên cứu về đánh giá NL MHH của tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) và Huỳnh Hữu Điền (2016) Bằng cách gắn kết các kĩ năng (KN) MHH dựa trên đề xuất các mức NL MHH của Ludwig và Xu (2010), tác giả Nguyễn Danh Nam đã xây dựng thang đánh giá NL MHH Kết quả của việc áp dụng thang này mà Nguyễn Danh Nam và Huỳnh Hữu Điền thực hiện cho thấy NL MHH của HS phổ thông Việt Nam còn nhiều hạn chế Tuy nhiên không có công trình nào đánh giá NL MHH trong chủ đề bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12

Ở nước ngoài, chúng tôi tìm thấy khá nhiều công trình nghiên cứu vấn đề đánh giá NL MHH Chúng tôi nhóm chúng theo ba chủ đề : quan điểm đánh giá, phân tích cấu trúc của NL MHH và thang đánh giá NL MHH

Liên quan đến quan điểm đánh giá, Jensen (2007) bàn về sự cần thiết của

phương pháp tiếp cận đa chiều2 trong đánh giá NL Tác giả cho rằng cần tiếp cận với ít nhất ba mặt để đánh giá NL của một người nói chung và NL MHH nói riêng

Ba mặt đó là mức độ bao phủ, bán kính hành động và trình độ kĩ thuật Tuy nhiên,

có nhiều thách thức và trở ngại để thực hiện quan điểm đánh giá đa chiều Đặc biệt, một thách thức được tác giả nhấn mạnh là sự xung đột giữa đánh giá đa chiều với cách thức xếp hạng đơn giản theo mục tiêu giáo dục và với sự chú trọng về trình độ

2 Sẽ được chúng tôi giới thiệu chi tiết ở Chương 1 - Cơ sở lý luận

kỹ thuật trong DH môn toán Đồng thời tác giả cũng chỉ ra rằng có thể chuyển đánh giá đa chiều sang thực hiện đánh giá một chiều bằng cách nén các chiều lại thành một lớp duy nhất Cụ thể hơn, cần lấy ra những yếu tố cốt lõi nhất của mỗi chiều để

có thể thực hiện việc xếp hạng chúng Đây là gợi ý quan trọng để chúng tôi xây dựng thang đánh giá của mình

Cấu trúc của NL MHH đã được bàn đến bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Maaβ

( 2006), Kaiser (2007) và nhóm tác giả Koyuncu, Guzeller, Akyuz (2017) Các tác giả cung cấp những kiến thức liên quan đến việc phân tích cấu trúc NL MHH thành các NL thành phần và đề xuất một số tiêu chí đánh giá NL MHH Đề xuất của họ sẽ được chúng tôi trình bày chi tiết ở chương Cơ sở lý luận, vì chúng tôi sẽ dựa trên các phân tích này để xây dựng thang đánh giá của mình

Thang đánh giá NL MHH là một xu hướng nghiên cứu khác Chẳng hạn,

Matthias Ludwig và Xenia Rosemarie Reit (2010) đã đề xuất sáu cấp độ để đánh giá

NL MHH Sáu cấp độ này mô tả biểu hiện cụ thể của HS khi tiến hành quá trình MHH Các cấp độ đánh giá NL MHH còn được đề cập trong nhiều công trình khác,

như Chan Chun Ming Eric và cộng sự (2012); Leong, K.E., Tan, J.Y (2015), … Hiển nhiên, ba chủ đề trên, đặc biệt là hai chủ đề cấu trúc của NL MHH và thang đánh giá NL MHH gắn bó chặt chẽ với nhau Nghiên cứu thang đánh giá NL MHH không thể tách rời khỏi nghiên cứu cấu trúc NL MHH Chan Chun Ming Eric

và cộng sự (2012) cũng như Leong, K.E., Tan, J.Y (2015) đều xây dựng thang đánh giá NL MHH dựa trên từng KN thành phần Hai nhóm tác giả này xây dựng thang

đánh giá theo bốn mức năng lực không đạt, cơ bản, thành thạo và nổi bật áp dụng cho ba KN đưa các giả định; giải thích nhiệm vụ và tìm lời giải sử dụng kiến thức thực tế; lập luận toán học và tính toán Cùng chung mục tiêu xây dựng thang đánh

giá NL MHH dựa trên từng KN thành phần, nhóm tác giả sách Gaimme (2019) xây dựng một thang đánh giá chi tiết hơn, theo đó thì NL MHH được phân thành bảy

KN thành phần Các tác giả cũng đánh giá với bậc thang gồm bốn mức lý tưởng, hài lòng, cần cải tiến, chưa hoàn thiện, và ứng với từng mức có một thang điểm cụ thể

Cả ba xu hướng nghiên cứu nói trên sẽ được trình bày một cách hệ thống trong chương Cơ sở lý luận, vì chúng là những tham chiếu quan trọng cho nghiên cứu của chúng tôi

2.2 Về vấn đề dạy học chủ đề giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Liên quan đến vấn đề này, chúng tôi tham khảo hai công trình nghiên cứu của tác giả Nguyễn Quốc Tuấn (2013) và Nguyễn Hồng Tú (2012) Các tác giả đã phân tích sự tồn tại của đối tượng GTLN - GTNN trong chương trình và SGK toán lớp

12, chỉ ra các tổ chức toán học gắn liền với nó Thông qua việc làm rõ những kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan được thể chế lựa chọn và ưu tiên, các tác giả đưa ra giả thuyết về quy tắc hành động, quan niệm sai lầm của HS, các quy tắc hợp đồng giữa GV và HS,…Tác giả Nguyễn Hồng Tú có hai kết luận là: đối tượng GTLN, GTNN trong chương trình phổ thông tồn tại ở nhiều dạng thuật ngữ

“nhỏ nhất”, “lớn nhất”, “nhiều nhất”, “thấp nhất” và “HS phổ thông chỉ được học tường minh phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến” Liên quan đến MHH, tác giả Nguyễn Quốc Tuấn nhận xét HS có thể thấy được ứng dụng của đạo hàm qua quá trình MHH một số nhiệm vụ ít ỏi trong việc tìm phương án tối ưu cho bài toán thực tế trong SGK

3 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Với đề tài đã lựa chọn, trước hết chúng tôi cần đặt nghiên cứu của mình trong các lý thuyết về đánh giá NL nói chung, đánh giá NL MHH nói riêng Liên quan

đến các lý thuyết này có những khái niệm cơ bản như NL, cấu trúc NL, NL MHH, cấu trúc NL MHH, đánh giá NL, đánh giá NL MHH Các khái niệm này sẽ được

chúng tôi làm rõ trong Chương 1 - Cơ sở lí luận của luận văn

Thuyết nhân học trong didactic toán cũng là một công cụ lý thuyết cần cho

nghiên cứu của chúng tôi Một cách tổng quan, chúng ta đều biết rằng NL được bộc

lộ, được thể hiện qua hoạt động Như vậy, muốn đánh giá NL của HS thì phải thông qua những hoạt động (tương ứng với NL đang bàn đến) mà họ cần thực hiện Điều

đó khiến chúng tôi thấy cần phải kết nối nghiên cứu của mình với Thuyết nhân học

của Didactic Toán, trong đó định đề cơ bản được thừa nhận là : mỗi hoạt động của

con người đều là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ (KNV) T nào

đó Việc giải quyết T phải nhờ vào một kĩ thuật τ Tính hợp thức của kỹ thuật τ này phải được giải thích bởi một công nghệ  Công nghệ  cho phép xác định kĩ thuật, thậm chí tạo ra nó Và  lại được giải thích nhờ vào lí thuyết  Bộ bốn (T, τ, , )

được gọi là một praxéologie, được tạo thành từ khối thực hành (prax) và khối lý tuyết (logo) Trong trường hợp T là một KNV toán học thì ta có một praxéologie

toán học, hay còn gọi là tổ chức toán học

Trong cách tiếp cận của Thuyết nhân học, ta có thể hình dung là NL MHH được phân thành các thành tố khác nhau ứng với hoạt động giải quyết những KNV

T khác nhau Khi đó việc đánh giá có thể được thực hiện bằng cách xem xét khả năng huy động kỹ thuật τ tương ứng để giải quyết T, khả năng phân tích tính thoả đáng của τ, … Khái niệm “tổ chức toán học” còn cho phép phân tích xem NL MHH

đã được tính đến như thế nào trong DH một đối tượng tri thức xác định

Chúng tôi còn cần đến Lý thuyết tình huống để xây dựng những tình huống gợi vấn đề liên quan thực tiễn có thể sử dụng cho việc đánh giá NL MHH của HS Các khái niệm phân tích tiên nghiệm, hậu nghiệm cũng sẽ tác động vào việc thiết kế các tình huống thực nghiệm của chúng tôi

Thuyết nhân học và Lý thuyết tình huống đã được trình bày một cách có hệ thống trong Bessot et al (2009), Lê Thị Hoài Châu và Comiti (2018) nên chúng tôi

sẽ không giới thiệu chúng ở đây nữa

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Chúng tôi hướng đến mục tiêu nghiên cứu xây dựng một thang đánh giá NL

MHH của HS phổ thông vận dụng vào chủ đề GTLN-GTNN

Mục tiêu trên được cụ thể hóa qua các câu hỏi nghiên cứu sau:

Câu hỏi 1: NL là gì? Cấu trúc của NL? Có những quan điểm nào về đánh giá

NL? Quy trình xây dựng thang đo và “công cụ đo lường”3 NL?

Câu hỏi 2: NL MHH là gì? Cấu trúc của NL MHH? Có những quan điểm nào

về đánh giá NL MHH? Thang đánh giá nào dùng để đánh giá NL MHH? Công cụ

đo lường NL MHH?

3 Công cụ đo lường nói đến trong nghiên cứu này là các mẫu phiếu dùng để thu thập thông tin hay khảo sát các biểu hiện cụ thể của NL HS

Tìm câu trả lời cho hai câu hỏi 1 và 2 chính là tìm hiểu cơ sở lý luận về NL và đánh giá NL nói chung, NL MHH và đánh giá NL MHH nói riêng

Câu hỏi 3: Liên quan đến vấn đề hình thành, phát triển NL MHH cho HS qua

DH bài toán tìm GTLN – GTNN, các thể chế DH mà chúng tôi quan tâm có những đặc trưng gì?

Câu hỏi 4: Có thể xây dựng thang nào để đánh giá NL MHH gắn với chủ đề

GTLN - GTNN? Những đặc trưng chuyên biệt nào đối với NL MHH cần quan tâm khi xây dựng thang?

Câu hỏi 5: Thang đánh giá đã xây dựng có khả thi không? Ưu điểm và khuyết

điểm của nó?

5 Giá trị của nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

- Giá trị của nghiên cứu: Nghiên cứu cung cấp công cụ và các quan điểm đánh giá NL MHH của HS phổ thông, là nguồn tài liệu tham khảo trong việc dạy học MHH các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số ở trường phổ thông

- Phương pháp nghiên cứu: Để tìm kiếm những yếu tố trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý luận và thực tiễn Các phương pháp nghiên cứu lí luận cho phép phân tích các kết quả nghiên cứu đã có, làm rõ nền tảng lý luận về NL, đánh giá NL, NL MHH, đánh giá NL MHH

Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn được sử dụng để tìm hiểu một phần thực trạng DH Điều này được thực hiện qua việc phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về DH theo quan điểm MHH để chọn ra những kết quả có thể kế thừa Chúng còn được sử dụng để phân tích SGK, sách bài tập, sách GV và đề thi THPT Quốc gia, với mục đích làm rõ mong đợi của thể chế DH mà chúng tôi quan tâm (thể chế DH bài toán tìm GTLN-GTNN ở lớp 12 theo chương trình hiện hành) Những điểm này cũng cần thiết cho việc xây dựng thang đánh giá của chúng tôi Ngoài ra, phương pháp thực nghiệm được sử dụng để kiểm chứng tính khả thi của thang đánh giá được xây dựng

6 Cấu trúc luận văn - Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn gồm có Phần mở đầu, ba chương chính và phần kết luận

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Xây dựng thang đánh giá NL MHH gắn với chủ đề Tìm GTLN - GTNN

của hàm số ở lớp 12

Chương 3: Một nghiên cứu thực nghiệm

- Nhiệm vụ ở chương I là trả lời câu hỏi 1 và 2 Cụ thể chúng tôi tổng hợp, phân tích các khái niệm liên quan đến NL, NL MHH; Các quan điểm đánh giá NL,

NL MHH, phương pháp đánh giá NL MHH từ các công trình nghiên cứu đã có

- Chương 2 nhằm trả lời cho hỏi 3, 4 Theo đó chúng tôi cần: Phân tích tổng quan mối quan hệ thể chế đối tượng GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12; Phân tích những đặc trưng chuyên biệt của bài toán tìm GTLN - GTNN; Xây dựng thang đánh giá NL MHH và NL MHH gắn với chủ đề bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12;

- Chương 3 để trả lời câu hỏi 5 Nhiệm vụ cụ thể là xây dựng các tình huống

DH MHH bài toán tìm GTLN - GTNN và thực nghiệm kiểm chứng tính khả thi của thang đánh giá NL MHH của HS trong bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số ở lớp 12

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Mục tiêu của chương là trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu 1 và 2, đã được chúng tôi nói đến ở trên Để trả lời hai câu hỏi đó, trước hết chúng tôi cần làm rõ các khái niệm NL, đánh giá NL, NL MHH Sau đó chúng tôi sẽ đi sâu nghiên cứu cấu trúc của NL MHH, các yếu tố cốt lõi của NL MHH và các quan điểm, phương pháp đánh giá NL này Kết quả nghiên cứu ở đây là cơ sở để chúng tôi đề xuất các tiêu chí đánh giá phù hợp cho NL này

1.1 Năng lực

1.1.1 Năng lực là gì?

“Khái niệm NL có nguồn gốc tiếng Latinh “competentia” Trong tiếng Anh,

NL gắn với những thuật ngữ như: capability, ability, competency, capacity, possibility Tùy thuộc vào lĩnh vực và mục đích sử dụng, ứng với từng tình huống

và ngữ cảnh riêng, mà người Anh và các nước nói tiếng Anh lựa chọn thuật ngữ phù hợp Trong tiếng Việt, nghĩa của NL được hiểu qua tổng hợp nghĩa của nhiều từ: tiềm năng, khả năng, kĩ năng, tài năng… (Tham khảo Bùi Minh Đức, 2013, tr.29) Hiện nay, có nhiều khái niệm khác nhau về NL, chúng tôi tạm phân loại chúng thành hai nhóm

 Nhóm thứ nhất: nhấn mạnh đặc điểm, phẩm chất hoặc thuộc tính cá

- Theo tác giả P.A Rudich, “NL là tính chất tâm sinh lí của con người chi phối các quá trình tiếp thu các kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo cũng như hiệu quả thực hiện một hoạt động nhất định” (dẫn theo Nguyễn Trọng Khanh, 2011, tr.15)

- Chương trình giáo dục tổng thể do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành ngày

26/12/2018 thì định nghĩa: “NL là thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố

chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình giáo dục tổng thể, 2018, tr.35)

 Nhóm thứ hai: Định nghĩa dựa trên khả năng, kĩ năng

Phần lớn tài liệu nước ngoài định nghĩa NL thuộc nhóm này Ví dụ:

- Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế Thế giới (OECD) quan niệm NL là

“khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm

vụ trong một bối cảnh cụ thể” (OECD, 2002, tr.12)

- F.E.Weinert cho rằng NL là “tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn có hoặc học được cũng như sự sẵn sàng của HS nhằm giải quyết những vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi đến giải pháp” (dẫn theo

Hoàng hòa Bình, 2015, tr.22)

Nhiều tác giả khác cũng định nghĩa NL dựa trên khả năng, KN (như Gerard và Roegiers (1993), De Ketele (1995), … Tuy nhiên, ở đây các nhà nghiên cứu cũng lưu ý rằng NL không chỉ đơn thuần là “khả năng, KN”, mà phải kết hợp với yếu tố

“hành động” Vì nếu chỉ xem NL đơn thuần là “khả năng”, thì nó chỉ là cái “có thể xảy ra”, có thể chỉ là tiềm năng, là cái ẩn giấu bên trong, chưa bộc lộ ra, chưa phải

là hiện thực… So với KN, NL lại có phạm vi nghĩa rộng hơn Chẳng hạn, D.S

Rychen và L.H Salganik nói rõ: “NL không chỉ là kiến thức và kĩ năng, nó nhiều hơn thế NL bao gồm khả năng đáp ứng các yêu cầu phức tạp dựa trên việc huy động các nguồn lực tâm lý (bao gồm cả kĩ năng và thái độ), trong một hoàn cảnh cụ thể” (dẫn theo Bùi Minh Đức, 2013, tr.29) Blomhoj và Jensen cũng có quan điểm tương tự khi cho rằng “NL của một người nào đó thể hiện sự sẵn sàng hành động

để đương đầu với những thách thức trong một tình huống nhất định” (Blomhoj &

Jensen, 2006, tr.1)

Như vậy, trong định nghĩa của tác giả nước ngoài, thuật ngữ “khả năng” luôn

đi kèm các cụm từ “đáp ứng một cách hiệu quả”, “hành động, thành công và tiến bộ”, để nhấn mạnh khả năng đó phải chắc chắn dẫn đến việc thực hiện thành công một nhiệm vụ cụ thể (tham khảo Hoàng Hòa Bình, 2015, tr.23-24)

Tóm lại, dù có nhiều quan niệm về NL khác nhau, nhưng hầu hết các tác giả công nhận hai đặc trưng cơ bản của NL là:

1) Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động (hành động, công việc)

2) Đảm bảo hoạt động có hiệu quả (thành công, chất lượng cao)

Khi nói đến một NL cụ thể, có thể định nghĩa NL là tập hợp các KN thực hiện hay giải quyết một tình huống vạch ra trong một bối cảnh cụ thể Kĩ năng và tình

huống ấy phải gắn liền với kiến thức (hay nội dung) cụ thể

1.1.2 Cấu trúc của năng lực

Để hình thành, phát triển và đánh giá NL, cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Có nhiều cách khác nhau để mô tả cấu trúc NL Tác giả Hoàng Hòa Bình (2015) cho rằng có hai hướng tiếp cận cấu trúc NL, một theo nguồn lực hợp thành và một theo NL bộ phận

 Tiếp cận cấu trúc của NL theo nguồn lực hợp thành

Nhiều tác giả cho rằng NL được cấu thành từ nguồn lực hợp thành chính là tri thức, KN, thái độ Các nguồn lực này có sự thể hiện trong hoạt động là NL hiểu, NL làm, NL ứng xử Đó là mối quan hệ giữa nguồn lực (đầu vào) với kết quả (đầu ra),

nói cách khác là giữa cấu trúc bề mặt với cấu trúc bề sâu của NL, được thể hiện qua

sơ đồ dưới đây

Sơ đồ 1.1 Cấu trúc NL (Hoàng Hòa Bình, 2015)

Bàn về sơ đồ đó tác giả Hoàng Hòa Bình (2015) cho rằng việc nhận thức được

mối quan hệ giữa hai cấu trúc bề mặt và bề sâu có ý nghĩa rất lớn trong giáo dục, vì

“Nếu chỉ tập trung vào mục tiêu cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ và tổ chức đánh giá những mặt đó thì mới chỉ dừng lại ở đầu vào Một

chương trình phát triển NL phải nhằm hình thành, phát triển và kiểm soát được, đo lường được các chỉ số ở đầu ra” (Hoàng Hòa Bình, 2015, tr.27)

 Tiếp cận cấu trúc NL theo NL bộ phận

Tổng hợp tài liệu hội thảo “Xây dựng chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng phát triển NL HS” của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành năm 2014

(trang 56) và công trình của tác giả Nguyễn Lan Phương (2015), chúng tôi thấy có cách tiếp cận NL theo NL bộ phận Trong cách tiếp cận này, mỗi NL gồm có ba thành phần chính:

- Các hợp phần của NL (Components of Compentency) mô tả một hoặc nhiều hoạt động thuộc lĩnh vực chuyên môn tạo nên NL, thể hiện khả năng tiềm ẩn của con người

- Các thành tố NL (Elements of Competency) là các NL hoặc KN cơ bản tạo nên mỗi hợp phần

- Các tiêu chí thực hiện (Performance Criteria)/ hành vi (behaviour) là bộ phận chia tách từ mỗi thành tố, chỉ rõ mức độ yêu cầu cần thực hiện của mỗi thành tố, thường mô tả kết quả các hành động, thao tác, chỉ số cần đạt

Trước hết, mỗi NL chung hoặc đặc thù đều được phân tích thành các NL bộ phận, gọi là hợp phần Tiếp theo, dựa trên các KN cơ bản tạo nên mỗi hợp phần, ta lại phân tích hợp phần thành các NL bậc thấp hơn, gọi là thành tố Tiếp tục phân tích chi tiết các thành tố cho đến khi xác định được những hành vi chúng thể hiện ra bên ngoài (còn gọi là biểu hiện cụ thể) Căn cứ trên các hành vi hay biểu hiện cụ thể này để xây dựng các tiêu chí chỉ rõ mức độ, yêu cầu thực hiện của mỗi thành tố hay nói cách khác là căn cứ để đánh giá NL

Ví dụ NL toán học có thể được chia làm năm hợp phần là: NL tư duy và lập luận toán học; NL MHH; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL

sử dụng công cụ, phương tiện học toán Như vậy NL MHH là một hợp phần của NL toán học NL hợp phần này lại có thể phân tích thành năm thành tố như: NL hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình mô tả vấn đề thực tế; NL xây dựng mô hình toán học dựa trên mô hình mô tả vấn đề thực tế; NL giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình toán; NL chuyển (phiên dịch) kết quả toán học về kết quả của mô

hình mô tả vấn đề thực tế và thực tế; NL đánh giá kết quả và nếu cần chỉnh sửa mô hình

Phần lớn các tác giả trong nước sử dụng các thuật ngữ này để phân tích NL Khi đánh giá NL thì việc phân chia theo cấu trúc này có thể gặp một số sự trùng lặp chồng chéo Chẳng hạn, có thể có trường hợp một thành tố cùng thuộc hai hợp phần khác nhau Ví dụ: NL hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình mô tả vấn đề thực tế (là một thành tố) có thể nằm trong cả hai hợp phần của NL toán học, là NL MHH và

NL giải quyết vấn đề toán học Hay trong một cùng một hợp phần cũng có thể có một KN thành phần có mặt trong hai thành tố Tương tự như vậy, hai thành tố khác nhau có thể giống nhau ở một hay nhiều hành vi biểu hiện

Tham khảo thêm một số công trình nước ngoài, chúng tôi thấy chưa có sự rõ ràng trong việc sử dụng các từ ngữ liên quan đến hợp phần, thành tố, hành vi, NL thành phần, KN thành phần…của NL Nhưng, để giảm bớt sự phức tạp khi đánh giá

NL, hầu hết các nghiên cứu trong và ngoài nước, chỉ chia cấu trúc NL thành hai cấp độ: thứ nhất là thành tố (gồm một hoặc nhiều KN) - xem nó như là các NL thành phần; thứ hai là hành vi (hay biểu hiện cụ thể), xem nó như tiêu chí để đánh giá NL

và HS Theo đó, đánh giá phải là quá trình trải qua lần lượt từng giai đoạn, kiểm tra

được lộ trình tiến bộ của HS “Đánh giá nên chú trọng vào quá trình chứ không phải chỉ trên sản phẩm” (Gaimme, 2016, tr.53)

 Đánh giá năng lực theo chuẩn đầu ra, với các tiêu chí cụ thể, thống nhất

Theo tác giả Lê Đình Trung và Phan Thị Thanh Hội (2016, tr.134) “đánh giá

NL là hình thức đánh giá người học căn cứ vào tiêu chí cần đạt được đối với từng loại NL trên từng đối tượng nghiên cứu dựa vào công cụ đánh giá theo một quy trình mang tính chuẩn mực và thống nhất Có thể thực hiện đánh giá NL theo tiến

trình học tập của HS hay theo các chuẩn đầu ra về NL” Khi đánh giá NL theo

chuẩn đầu ra, cần chú ý đến hai điểm mấu chốt: Thứ nhất phải căn cứ vào tiêu chí cần đạt, mà tiêu chí đó phải dựa vào các thành phần cốt lõi của NL và mục tiêu đề

ra của môn học Thứ hai cần có công cụ đánh giá chuẩn mực và thống nhất để phân hóa và đánh giá được NL của tất cả các đối tượng HS

 Đánh giá qua sản phẩm của hành động

Scallon (2004) cho rằng “Một cá nhân, để có thể được gọi là có NL hay không

có NL, phải đã làm một cái gì đó: đã sử dụng một phương pháp tiến hành, đã theo một quá trình hoặc đã thực hiện một nhiệm vụ tạo ra sản phẩm” (trích theo Hoàng

Hòa Bình, 2015, tr.75) Nghĩa là cá nhân đó phải thực hiện “hành động” và “có sản phẩm” Vì NL chỉ bộc lộ khi chủ thể hành động, nên đánh giá cũng phải dựa vào các minh chứng là sản phẩm của hành động Dựa trên việc miêu tả rõ một sản phẩm đầu ra cụ thể mà cả hai phía GV và HS đều có thể đánh giá được sự tiến bộ của HS dựa vào mức độ mà các em thực hiện sản phẩm Như vậy, đánh giá NL HS theo

cách hiểu này đòi hỏi phải có sản phẩm đầu ra và sản phẩm đó phải đạt được một chuẩn nào đó theo yêu cầu

Ngoài ra, đánh giá NL phải hướng tới việc xem xét khả năng vận dụng kiến

thức, KN và thái độ của HS khi thực hiện nhiệm vụ học tập theo một chuẩn nhất định Nói cách khác, để chứng minh người học có một NL ở một mức độ nhất định, phải tạo cơ hội và giao cho họ giải quyết một vấn đề nào đó trong thực tiễn hoặc mang tính thực tiễn (Nguyễn Quang Thuấn, 2016, tr.78)

Tóm lại, những điểm mấu chốt cần lưu ý khi đánh giá NL là:

- Phải căn cứ vào tiêu chí cụ thể và công cụ đánh giá chuẩn mực, thống nhất

- Phải có sản phẩm đầu ra, sản phẩm đó là kết quả của việc vận dụng khả năng, KN, thái độ vào việc giải quyết những vấn đề thực tiễn hay mang tính thực tiễn

- Nhưng đánh giá không chỉ dựa trên sản phẩm mà phải chú trọng quy trình thực hiện

Ngoài ra, khi đánh giá NL cần tuân thủ một số nguyên tắc đánh giá4: Đảm bảo tính giá trị, đảm bảo độ tin cậy, đảm bảo tính linh hoạt, đảm bảo tính công bằng, đảm bảo tính hệ thống, đảm bảo tính toàn diện, phát triển HS, đánh giá trong bối cảnh thực tiễn

1.2.2 Quy trình đánh giá năng lực

Theo hai tác giả Lê Đình Trung, Phan Thị Thanh Hội (2016), quy trình đánh giá NL có thể chia làm ba giai đoạn chính:

- Giai đoạn chuẩn bị đánh giá (nhằm thiết kế bộ công cụ đánh giá NL)

- Giai đoạn tổ chức đánh giá (đưa bộ công cụ vào đánh giá chính thức để thu thập thông tin, chứng cứ)

- Giai đoạn thu thập thông tin, phân tích, xử lí thông tin để xác định kết quả

và điều chỉnh việc dạy và học cũng như kiểm tra - đánh giá

Các tác giả đã mô tả rất chi tiết ba giai đoạn này bằng một sơ đồ, trong đó chỉ

rõ những việc mà người đánh giá cần thực hiện (tham khảo Lê Đình Trung, Phan Thị Thanh Hội, 2016, tr.146) Liên quan trực tiếp đến mục đích nghiên cứu của mình (xây dựng thang đánh giá NL MHH), chúng tôi chỉ giữ lại một số công việc

mà các tác giả đề nghị thực hiện ở giai đoạn chuẩn bị Đó là:

- Xác định mục đích, mục tiêu, đối tượng đánh giá

- Xác định các NL thành phần

- Xây dựng tiêu chí đánh giá NL kèm các minh chúng cho mỗi mức độ đạt được của từng tiêu chí

- Chọn và thiết kế bộ công cụ đánh giá cho từng NL

Về phần mình, trong một nghiên cứu về đánh giá NL giải quyết vấn đề, các tác giả Phan Đồng Châu Thủy và Nguyễn Thị Ngân (2017, tr.101-203) đề xuất một quy trình xây dựng công cụ đánh giá gồm ba bước được mô tả chỉ tiết các bước qua bảng sau:

4 Xem chi tiết trong tài liệu hội thảo xây dựng chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng phát triển

NL HS, 2014, tr.90

Bảng 1.1 Quy trình xây dựng bộ thang đo và công cụ đánh giá NL

Bước 1: Xây dựng thang đo

NL

Nghiên cứu các tài liệu liên quan

Xác định các NL thành phần

Xây dựng các biểu hiện cho mỗi NL thành phần

Mô tả chi tiết các mức độ tương ứng với mỗi biểu hiện Quy ước các mức độ biểu hiện NL trong thang đo

Bước 2: Xây dựng các công

cụ đánh giá NL

Thiết kế các mẫu phiếu đánh giá phù hợp với từng biểu hiện hay tiêu chí trong thang đo

Bước 3: Kiểm định độ giá trị

của thang đo và các công cụ

đánh giá

Xin ý kiến chuyên gia về sự hợp lí, tính khoa học, khả thi của thang đo và các công cụ đánh giá

Điều chỉnh lần thứ nhất

Áp dụng thử thang đo và các công cụ đánh giá

Điều chỉnh lần thứ hai (nếu có)

Bảng mô tả cho thấy bước 1 và 2 ứng với giai đoạn chuẩn bị theo đề xuất của

Lê Đình Trung, Phan Thị Thanh Hội (2016), bước 3 thì lại bao gồm những công việc của cả hai giai đoạn 1,2

1.2.3 Các loại hình tham chiếu đánh giá năng lực

Tài liệu Hội thảo xây dựng chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng phát triển NL HS (2014, tr.77-87) xác định có ba loại hình tham chiếu để đánh giá

NL:

- Tham chiếu chuẩn mực (Norm - referenced interpretation): Thường đề cập tới thành tích, thứ hạng tương đối giữa các cá nhân và mang tính chất thống kê nhiều hơn Có hai hình thức so sánh là so sánh thành tích tương đối của cá nhân này

so với cá nhân khác trong cùng một nhóm và so sánh thành tích cá nhân với nhóm đại diện

- Tham chiếu theo chuẩn đầu ra (Standards refenced interpretation): Là hình thức giải thích thành tích cá nhân bằng việc so sánh, đối chiếu thành tích của cá nhân đó với chuẩn đầu ra của chương trình giáo dục Cách tiếp cận này không phân

chia theo các mức phát triển của NL, mà chỉ đánh giá là đạt/ không đạt so với chuẩn quy định

- Tham chiếu theo tiêu chí (crierion referenced interpretation): Giải thích thành tích cá nhân theo mức độ thực hiện hành vi thông qua nhiệm vụ đã hoàn thành Tham chiếu theo chiếu chí quan tâm đến thành tích cá nhân so với các tiêu chí đã xác định trước, không quan tâm đến việc thực hiện tương đối giữa họ với nhau

Phương pháp đánh giá tham chiếu tiêu chí là phương pháp đánh giá phù hợp

để theo dõi lộ trình tiến bộ của mỗi cá nhân Nghĩa là NL của người học trong việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó được xác định thông qua việc đối chiếu NL thực hiện của họ với một tập hợp các tiêu chí cho trước, nhằm xác định mức độ đáp ứng tiêu chí của người học trong nhiệm vụ đó Khi xây dựng các thang hay khung đánh giá, một hướng dẫn cho điểm thường được xây dựng, trong đó nêu rõ những tiêu chí cần thiết đối với nhiệm vụ và các mức độ thực hiện phù hợp cho mỗi tiêu chí có một vai trò rất quan trọng (Nguyễn Quang Thuấn, 2016, tr.81) Trong nghiên cứu này, chúng tôi chọn loại tham chiếu theo tiêu chí nhằm xác định các mức độ NL MHH của HS và có thể giải thích kết quả quan sát hoạt động học tập của HS một cách cụ thể hơn

1.3 Năng lực mô hình hóa

1.3.1 Mô hình hóa và quá trình mô hình hoá

NL MHH là một thành phần của NL toán học, được thể hiện khi người được đánh giá ở trong một tình huống cụ thể mà ở đó cần thực hiện quá trình MHH Như

vậy, giữa NL MHH và MHH có mối liên hệ gắn bó Đúng như Maaβ đã nói: “Lý thuyết về cách tiếp cận, về định nghĩa của quá trình MHH như một cơ sở cho các định nghĩa về NL MHH” (Maaβ, 2006, tr.113) Vì vậy, trước khi bàn về NL MHH,

cần phải nói đến quá trình MHH Tuy nhiên, vì MHH và quá trình MHH đã được rất nhiều tác giả bàn đến và cũng đã được giới thiệu trong nhiều luận văn, nên dưới đây chúng tôi chỉ nhắc lại một cách ngắn gọn

Theo tác giả Trần Vui (2014), “MHH là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng các công cụ toán học” Nhiều tác giả đã nghiên cứu, công bố và đưa ra

nhiều mô tả khác nhau cho quá trình đó, gọi nó là quy trình MHH (xem Nguyễn Thị Tân An, 2014, tr.28-30) Nhưng chung quy các quy trình đó đều nhằm nêu lên bản chất của quá trình MHH thông qua bốn bước chính sau đây:

- Bước 1: Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn – còn được gọi là mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất (đặc trưng cho hệ thống được xem xét) và xác lập những quy tắc phản ánh mối quan

hệ giữa chúng hay những qui luật mà chúng phải tuân theo

- Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính (…)

- Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai (…)

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trong phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề cần giải quyết ban đầu Để xác định mức độ phù hợp có khi phải áp dụng những phương pháp phân tích chuyên biệt nào đó gắn với vấn đề ban đầu

(Lê Thị Hoài Châu, 2011, tr.64)

Lưu ý rằng, từ vấn đề thực tế ban đầu có thể ứng với nhiều mô hình toán học

khác nhau Điều quan trọng là lựa chọn mô hình “có thể chấp nhận được” với hoàn

cảnh thực tế, quá trình này có khi phải lặp lại nhiều lần để tìm kết quả phù hợp

1.3.2 Khái niệm năng lực mô hình hóa

Các nhà nghiên cứu thuộc các trường phái khác nhau vẫn chưa có sự đồng thuận về định nghĩa NL MHH toán học (Kaiser & Sriraman, 2006)

Maaβ đã định nghĩa NL MHH như là “kĩ năng và khả năng thực hiện các quy trình MHH một cách phù hợp và được định hướng mục tiêu cũng như sẵn sàng đưa những điều này vào hành động” (Maaβ, 2006, tr.117)

Kaiser (2007) cho rằng NL MHH đặc trưng cho khả năng thực hiện toàn bộ quá trình MHH và phản ánh về quá trình đó

Hai tác giả Henning và Keune (2007) thì định nghĩa NL MHH là tổ hợp những thuộc tính của cá nhân người học như kiến thức, KN, thái độ và sự sẵn sàng tham gia vào hoạt động MHH nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả

Dựa trên nghiên cứu của Blum và các cộng sự (2002), Henning và Keune

(2007) xác định NL MHH chi tiết hơn, bao gồm khả năng xây dựng mô hình, thông dịch giữa thế giới thực và thế giới toán học, làm việc với mô hình toán như chính xác hóa và đánh giá các mô hình toán, phản ánh về kết quả của những mô hình đó

để điều chỉnh quá trình MHH nếu cần thiết

Ta thấy rằng tuy đưa ra những định nghĩa không hoàn toàn tương đương, nhưng các tác giả đều có một điểm chung ở chỗ gắn NL MHH với việc thực hiện quá trình MHH nhằm giải quyết một vấn đề thực tế

Trong nghiên cứu này, chúng tôi lựa chọn định nghĩa của Blomhoj và Jensen

(2007), xem “NL MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình

MHH trong một tình huống cho trước” để phân tích các thành phần NL MHH

1.3.3 Cấu trúc của năng lực mô hình hóa

Thuật ngữ “cấu trúc” được dùng ở đây để chỉ những NL thành phần của NL MHH

Theo Blum và Kaiser (1997) thì NL MHH liên quan đến “tiêu chí cần đạt trong quá trình MHH” Do đó, họ cho rằng các NL thành phần của NL MHH là: trước tiên HS cần phải hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình phỏng thực tế; sau

đó, HS cần phải biết thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực tế và giải quyết câu

hỏi toán học trong mô hình toán học; cuối cùng, HS cần phải biết phiên dịch kết quả toán học xuất hiện trong tình huống thực tế thành giải pháp khả thi cho tình huống

Ikeda and Stephens (1998), Profke (2000), Niss (2004) cũng có cùng ý tưởng với Blum và Kaiser về NL MHH Ở cấp độ vi mô, Niss, Blum và Galbraith (2007)

đã xem NL MHH bao gồm khả năng xác định các câu hỏi liên quan, các biến, các mối quan hệ hoặc các giả định về một tình huống thực tế, chuyển đổi chúng thành toán học để giải thích và xác nhận giải pháp (tham khảo Maaβ, 2006, tr.117 và Koyuncu, Guzeller và Akyuz, 2017, tr.21)

Maaβ (2006, tr.117-118) đưa ra một danh sách chi tiết các NL thành phần liên quan đến quá trình MHH, như: tìm hiểu bài toán thực tế và thiết lập mô hình dựa trên thực tế, thiết lập mô hình toán học từ mô hình thực tế để giải quyết các câu hỏi toán học trong mô hình toán học, giải thích kết quả trong tình huống thực tế và xác

nhận giải pháp Tác giả còn chi tiết hoá các thành tố của mỗi năng lực thành phần qua bảng sau:

• Xây dựng mối quan hệ giữa biến;

• Tìm kiếm thông tin có sẵn và phân biệt giữa thông tin có liên quan và không liên quan;

NL thiết lập mô hình toán học từ mô

• Chọn các ký hiệu toán học thích hợp và biểu diễn các tình huống bằng đồ thị hoặc biểu đồ

NL giải quyết các câu hỏi toán học

trong mô hình toán học

• Sử dụng các chiến lược “heuristic”5 như phân chia vấn đề thành các vấn đề nhỏ, thiết lập quan

hệ hoặc vấn đề tương tự, xem xét lại vấn đề, xem vấn đề ở dạng khác, thay đổi số lượng hoặc có sẵn dữ liệu

• Sử dụng kiến thức toán học để giải vấn đề;

NL giải thích kết quả toán học trong

Các NL thành phần của NL MHH Các NL con của từng NL thành phần

• Trình bày giải pháp cho một vấn đề bằng cách

sử dụng ngôn ngữ toán học thích hợp và / hoặc chia sẻ về các giải pháp;

NL để xác nhận giải pháp

• Kiểm tra và phản ánh về tìm thấy các giải pháp;

• Xem xét một số phần của mô hình hoặc lặp lại quá trình MHH nếu giải pháp không phù hợp với tình hình;

• Suy nghĩ về các cách giải quyết vấn đề khác hoặc nếu được có thể phát triển giải pháp khác;

• Đặt câu hỏi chung cho mô hình

Kaiser cũng có cùng quan điểm với Maaβ khi chia NL MHH thành 5 NL thành phần như cột thứ nhất ở bảng trên

Một số nhà nghiên cứu khác thì quan tâm đến mức độ vi mô của NL MHH Lý

do chính là vì họ cho rằng trong lý thuyết mà Maaß (2006) xây dựng, các thành tố chưa được xác định rõ ràng và khó để phân biệt chúng chặt chẽ (Koyuncu, Guzeller

và Akyuz, 2017, tr.21-22) Chẳng hạn, khi phân tích NL MHH dưới góc độ vi mô, Lingefjrad (2004) cho rằng nó bao gồm các KN:

- Nhận diện và đơn giản hóa các thông tin được cho

- Xác định rõ ràng mục tiêu

- Đưa ra công thức giải quyết vấn đề

- Xác định các biến, tham số, hằng số

- Trình bày dưới dạng công thức toán học

- Lựa chọn mô hình toán học

- Biểu diễn đồ thị

- So sánh với tình huống thực tế

- Kiểm soát quy trình MHH

Nhưng, có thể nói các KN mà Lingefjrad (2004) đưa ra đã nằm trong những thành tố mà Blum và Kaiser (1997) đề cập, và xem chúng như các KN thành phần của NL MHH Vậy thì cũng khó mà thừa nhận là các KN ở đây cho phép xác định cấu trúc của NL MHH một cách rõ ràng hơn

Tóm lại, có nhiều phân tích khác nhau về các NL thành phần của NL MHH,

nỗ lực phát triển các mô tả chi tiết và cụ thể khái niệm này vẫn là chủ đề đang tranh luận hiện nay

1.3.4 Các mức độ năng lực mô hình hóa

Henning và Keune (2004, tr.227), đã phân loại NL MHH thành ba mức:

- Mức 1: Nhận biết, hiểu về MHH

- Mức 2: Độc lập tiến hành hoạt động MHH

- Mức 3: Phản ánh toàn diện về hoạt động MHH với từng đặc trưng cụ thể

Bảng sau là một mô tả chi tiết những đặc trưng của từng mức độ trong NL MHH

- Phân tích, tổ chức các vấn đề và trừu tượng hóa các đại lượng;

- Thích ứng với các tiếp cận khác nhau về tình huống thực tế ban đầu;

- Thiết lập các mô hình toán học;

- Làm việc với các mô hình toán học;

- Thông dịch kết quả toán học với tình huống thực tế ban đầu;

- Chính xác hóa kết quả với tình huống thực tế và quá trình MHH

(3)

Phản ánh toàn

diện về hoạt

động MHH

- Phân tích một cách phê phán về hoạt động MHH;

- Mô tả các tiêu chuẩn để đánh giá các mô hình;

- Phản ánh bản chất của hoạt động MHH;

- Phản ánh về việc sử dụng toán học trong quá trình MHH

Theo Henning và Keune (2004), NL MHH của HS đạt được mức (2) nếu các

em có khả năng độc lập giải quyết vấn đề Dù tình huống và phạm vi của vấn đề thay đổi thì HS có khả năng điều chỉnh mô hình hoặc phát triển một chiến lược mới

để thích ứng với tình huống mới mà các em đang gặp phải NL MHH của HS đạt ở mức (3) nếu các em hiểu một cách thấu đáo các bước trong quá trình MHH có thể tiến hành quá trình MHH một cách thành thạo Hơn nữa các em có khả năng phán đoán một cách phê phán và nhận ra mối quan hệ quan trọng khi tiến hành quá trình

MHH (Huỳnh Hữu Điền, 2016, tr.18) “Việc phân loại các mức trong NL MHH của

HS nhằm giúp GV đưa ra các nhiệm vụ học tập phù hợp để đánh giá NL mô hình hoá toán học của HS” (Huỳnh Hữu Điền, 2016, tr.18-19) Đối với chúng tôi, điều

này còn chứng minh rằng, có nhiều mức NL MHH khác nhau, và việc xây dựng thang đánh giá NL này là cần thiết Ngoài ra, các đặc trưng của từng mức độ NL MHH trên cũng là cơ sở để chúng tôi thiết kế các tiêu chí đánh giá NL MHH phù hợp

1.4 Đánh giá năng lực mô hình hóa

1.4.1 Mẫu câu hỏi để đo lường năng lực mô hình hóa của học sinh

Để đo lường được các biểu hiện NL MHH của HS, các hình thức quan sát trực tiếp, phân tích qua băng ghi hình, ghi âm…là những công cụ hiệu quả Tuy nhiên, như đã nói ở trên, việc đo lường này khá phức tạp Hơn nữa, không phải lúc nào việc đánh giá cũng diễn ra trong một số tiết học ở trường, đôi khi cần thông qua các nhiệm vụ về nhà Vì vậy, cần có công cụ đo lường NL MHH bằng việc khảo sát qua các mẫu phiếu hay nói cách khác là bộ các câu hỏi được thiết kế riêng để đánh giá

NL thông qua sự tham gia quá trình MHH của HS Bộ câu hỏi đó giúp bộc lộ các

KN thành phần của NL MHH Phần dưới đây là những kết quả chúng tôi có được

do tham khảo và trích dẫn từ quyển sách Gaimme: Guidelines for assessment and instruction in mathematical modeling education (tr.193-207)

Các câu hỏi được tổ chức bởi mối liên hệ của chúng với một giai đoạn của quy trình MHH Chúng ta có thể sử dụng để đánh giá cách tiếp cận của HS trong việc giải quyết vấn đề MHH cũng như giúp HS tiến bộ hơn và lập mô hình một cách độc lập Bảng tóm tắt sau đây nêu lại các câu hỏi cốt lõi liên quan đến từng thành phần

NL MHH và xác định từ vựng liên quan đến MHH Lưu ý là do tính chất có thể lặp lại của quá trình MHH, thứ tự đặt câu hỏi hoàn toàn có thể khác với cách chúng được liệt kê dưới đây (Gaimme, 2019, tr.193)

Bảng 1.4 Bảng tóm tắt mẫu câu hỏi đánh giá NL MHH

Vấn đề cụ thể mà mô hình của bạn sẽ giải quyết là gì? (Mô hình này sẽ cho ta thấy )

chi tiết, tập trung

Lập các giả định

Những ý tưởng gì bạn đã nghĩ đến mà bạn quyết định không thử?

loại bỏ, ưu tiên

Bạn đã giả định điều gì để giải quyết vấn đề?

Tại sao bạn thực hiện những lựa chọn này?

giả định / giả sử

Xác định các biến

Các đại lượng nào là quan trọng?

Các đại lượng nào thay đổi và đại lượng nào giữ nguyên?

Những hình ảnh, sơ đồ hoặc đồ thị nào

có thể giúp mọi người hiểu thông tin,

mô hình và kết quả của bạn?

sơ đồ, đồ thị, các nhãn

Những ý tưởng toán học nào bạn đã sử dụng để mô tả tình huống và giải quyết vấn đề của bạn?

tình huống

phép tính, đơn vị

Khi nào mô hình của bạn hoạt động?

Khi nào bạn cần thận trọng vì nó có thể không đúng?

hạn chế

Làm thế nào để bạn biết rằng bạn có một mô hình tốt / hữu ích?

Tại sao mô hình của bạn có ý nghĩa?

kiểm tra, xác nhận

Nếu bạn muốn làm cho mô hình của bạn tốt hơn, bạn sẽ làm gì?

cải tiến, lặp lại

Báo cáo kết quả

Hãy giải thích mô hình toán học của bạn bằng lời và theo toán học

người xem, người theo dõi

1.4.2 Đánh giá tiếp cận đa chiều

Theo Jensen “sự phát triển và đánh giá hợp lý về NLMHH toán học xem như

là một thành phần trong sự phát triển DH môn toán” Tác giả đề xuất một phương pháp để đánh giá NL, gọi là phương pháp tiếp cận đa chiều (đa phương diện) Tiếp cận đa chiều là cách tiếp cận dựa trên ít nhất ba mặt để đánh giá NL của một người Chẳng hạn, nghiên cứu của Niss & Jensen năm 2006 đã chỉ ra ba khía cạnh để thực hiện khi đánh giá NL của một người đó là: Mức độ bao phủ, bán kính hành động, trình độ kĩ thuật

Mức độ bao phủ: chỉ mức độ tự chủ thực hiện hành động của người được

đánh giá Đối với NL MHH thì mức độ bao phủ ám chỉ khả năng mà một người có thể thực hiện được phần nào của qui trình MHH và khả năng phản ánh qui trình đó

Ví dụ, một người có thể hệ thống hóa một tình huống mở theo cách mong muốn phát triển mô hình toán học sẽ có mức độ bao phủ cao hơn so với người chỉ có thể

xử lí các tình huống đã được hệ thống hóa trước đó Hơn nữa, một người có thể tham gia vấn đáp liên quan đến việc xác nhận quy trình MHH có mức độ bao phủ cao hơn so với người chỉ có thể đánh giá kết quả mô hình chứ không phải của cả quy trình dẫn dắt họ Từ cả hai ví dụ trên, tác giả nhận thấy một người có thể thực hiện các quy trình con khác nhau trong quy trình MHH toán học, nhưng chỉ khi bị thúc đẩy làm như vậy, thành thạo hơn so với người không thể giải quyết các quy trình này, nhưng lại kém NL hơn so với những người có khả năng tự khởi xướng công việc (Jensen, 2007, tr.144)

Bán kính hành động: chỉ về phạm vi của bối cảnh và tình huống mà một

người có thể kích hoạt NL Đối với NL MHH, bán kính hành động chỉ sự khoanh vùng các tình huống mà một người có thể thực hiện các hoạt động MHH Sự khác

biệt kinh nghiệm giữa các lĩnh vực có thể liên quan đến cách tiếp cận toán học tổng thể và định hướng cách lập ra những mô hình toán học khác nhau Ví dụ một người

có khả năng MHH các thách thức mang bản chất hình học, chưa hẳn sẽ thành thạo khi làm việc với toán rời rạc và toán thống kê Một người có thể rất có NL phát triển

và sử dụng các mô hình tối ưu hóa trong các tình huống mua sắm hàng ngày, nhưng lại không đảm bảo có khả năng tương tự để thiết kế mô hình bài toán (Jensen, 2007, tr.144)

Trình độ kĩ thuật: cho thấy sự cải tiến về khái niệm và kỹ thuật toán học để

tích hợp một cách phù hợp trong thể hiện NL Liên quan đến NL MHH, trình độ kỹ

thuật chỉ ra loại kiến thức toán học mà một người có thể sử dụng và mức độ linh hoạt của người đó trong việc sử dụng toán học Yếu tố này đại diện cho kích thước

và nội dung của “hộp công cụ toán học” Ví dụ, một người có thể MHH một tình

huống bằng cách thiết lập mối quan hệ hàm thành thạo được xem là có NL cao hơn

so với một người chỉ có thể làm việc với một biến số liên kết trong một phương

trình, nhưng lại được đánh giá là ít có NL hơn người mà có thể xem xét thực hiện các phương trình vi phân (Jensen, 2007, tr.145)

Ba khía cạnh đánh giá trên có thể được biểu diễn trực quan bằng mô hình hình

học như hình dưới đây, trong đó NL MHH được thể hiện bởi khối lượng thể tích

của hình hộp chữ nhật, sự phát triển NL được thể hiện bằng một khối lượng thể tích tăng dần

Hình 1.1 Một trực quan của ba chiều để đánh giá NL (Niss & Jensen, 2006)

Thứ nhất, nếu mức trên một trong các trục bằng 0, nghĩa là, nếu NL chưa được phát triển ở một trong các chiều, thì khối lượng thể tích cũng bằng 0, nghĩa là toàn

bộ NL chưa được phát triển (Jensen, 2007, tr.146)

Thứ hai, dựa vào sự gia tăng về khối lượng thể tích, ta có thể dễ dàng nhìn thấy sự tiến bộ về NL của một người Nhưng không thể kết luận rằng hai người có cùng một khối lượng thể tích, thì tương ứng có cùng mức độ NL Vì khối lượng thể tích đó được sinh ra từ các “chiều” với mức độ khác nhau (Jensen, 2007, tr.146) Tóm lại, ta có thể sử dụng cách tiếp cận đa chiều để nhận biết sự tiến bộ trong

NL toán học cụ thể của ai đó, nhưng không thể xếp hạng NL giữa mọi người theo bất kì cách đơn giản nào Điều này sẽ mâu thuẫn với mục tiêu chính của đánh giá truyền thống là so sánh và xếp hạng sự thể hiện của mọi người bằng cách xếp tương ứng sự thể hiện này với một thang điểm đơn giản