Chuyên đề tính giá trị của biểu thức đại số đại số 9 với điều kiện cho trước Người viết : tạ phạm hải Giáo viên trường THCS thị trấn Hưng hà A.. Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn t
Trang 1Chuyên đề tính giá trị của biểu thức đại số
đại số 9 với điều kiện cho trước
Người viết : tạ phạm hải
Giáo viên trường THCS thị trấn Hưng hà
A Đặt vấn đề
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
- Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số
- Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó
Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện
1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1
2) Cho biểu thức :
2
:
Tính giá trị của A nếu x = 2007
Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện
1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc và abc 0
Tính giá trị của biểu thức B = 1 a 1 b 1 c
2) Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức : C = a4+b4+ c4
3) Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của
phương trình :
x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007
Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng Nó giúp HS có một tư duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trước Loại tính giá trị không có
điều kiện đã dược bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập
Trang 2B Nội dung chuyên đề
Loại 1 : Không tính được giá trị cụ thể của các biến số
Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào :
A = ( x + y)2- 4( x + y)+ 1 = 32- 4.3 + 1 = - 2
Ví dụ 2 : Cho a3+b3+c3= 3abc 0 Tính giá trị của biểu thức :
B = 1 a b1b c1 c a
Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính được cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn
B = a bb ca c
abc
Từ giả thiết: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0
( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
Vậy ta được a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
* Với a + b + c = 0 , ta được a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b Khi đó B = abc = - 1
abc
* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0
2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0
( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c
Khi đó B = 2 2 2b c a = 8
bca
Ví dụ 3 : Cho 3 số dương x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1
Tính giá trị của biểu thức
A = 2 2 2 2 2 2
Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận :
1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )
1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )
Trang 31 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vào A rồi rút gọn , ta được :
A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2
Loại 2 : tính được giá trị của các biến số
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức
M = Biết : x2+ 9y2 = 6xy -
5
x x
Ta chỉ cần giải phương trình x2+ 9y2 = 6xy - x 3 để tìm giá trị của
x , y như sau
Ta có x2+ 9y2 = 6xy - x3 tương đương với phương trình ( x – 3y)2+ x 3 = 0
Từ đó tính được x = 3 , y = 1 chỉ việc thay vào biểu thức M rồi tính toán
Ví dụ 2 : Cho các số x , y , z thoả mãn hệ
Tính giá trị của biểu thức Q =
2 2 2
3 3 3
1 1 1
x y z
Ta chỉ cần giải hệ phương trình đã cho để tìm x , y , z
Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+
y3+ z3 = 1
Vì vậy : ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 Nên hoặc x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x
Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2
= 0 suy ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1
Hoàn toàn tương tự cho các trường hợp còn lại ta vẫn được Q = 1 Tóm lại là Q = 1
ví dụ 3 : Cho x = 320 14 2 3 20 14 2 Tính giá trị của biểu thức :
P = x3 – 6x + 1993
Ta có :
x3 20 14 2 20 14 2 3 x3 2022.142 6x 40
Vậy x3 – 6x = 40 Ta có thể giải phương trình x3 – 6x – 40 = 0 để tìm x,
nhưng việc đó lại là không cần thiết do cấu trúc của biểu thức P
Từ đó P = x3 – 6x + 1993 = 40 + 1993 = 2033
Trang 4Loại 3 : đại số hoá một số biểu thức số để tính toán
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :
Giải : Đặt 2 2 ta có
3
2
2
A
Sau đó thay giá trị của a vào tính toán ta được kết quả là A = 2
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức
5
A
Giải : Đặt 1 2 Ta có và
;
x x
Theo định lý Vi-et thì x x1, 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai :
X2-X – 1 = 0 Đặt Sn x1n x2n
Và ta có công thức truy hồi là :
Sn2 Sn1 Sn 0 2 1
n n
S U
Un2 Un1 Un
với n N
Dễ tính được U0 0,U1 1 sau đó từ công thức (*) ta tính được :
0 1 1
1 1 2
2 1 3
v.v…Đây chính là dãy Phibonaci và là số hạng tổng quát của U n
dãy này :
Trang 50,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 ,…cứ như vậy ta tính được
U17 A 1597
Loại bài tập này rất phong phú,đa dạng mà trên đây chỉ một vài ví dụ cơ bản Để luyện tập chuyên đề mời các bạn làm một số bài tập luyện tập sau
đây :
Bài tập 1 : Cho a + b = ab
Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6
Bài tập 2 : Cho a và b là các số thoả mãn
Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3
3 2
a ab
b a b
Bài tập 3 : Cho 3x – y = 3z và xy 0
2x + y = 7z Tính giá trị của biểu thức
2
2
C
Bài tập 4 : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 0
Tính giá trị của biểu thức :
2
D
a b c
x y x z
2
z y x y z
x z
Tính giá trị của biểu thức
2
E
a
Bài tập 6 : Cho x y z 0 và
a b c a b c 2
x y z
Tính giá trị của
F
Bài tập7: Cho x, y , z là các số dương thoả mãn x y z xyz 4
Tính giá trị của biểu rhức :
H x y z y z x z x y xyz
Trang 6Bài tập 8 : Cho 2 4 2 4 2
x x y y Tính giá trị của K = x + y
Bài tập 9 : Cho
x y z a
x y z c
Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3
theo a , b , c
Bài tập 10 : Cho các số dương x , y , z thoả mãn
2 2
2 2
25 3
9 3
16
y
x xy
y z
z xz x
Tính giá trị của biểu thức : N = xy + 2yz + 3zx
Bài tập 11: Cho a , b , c là 3 số phân biệt sao cho các phương trình :
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung Đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung
Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c
Hết