S GD& T B C NINH
TR NG THPT THU N THÀNH III
-
THI TH I H C L N I N M H C 2013-2014
MÔN THI : TOÁN (Th i gian làm bài: 180 phút)
I .PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7đi m)
Câu I : (2đi m)
Cho hàm s y = 3 2
1
mx
-+ (C) ( m là tham s ) 1.Kh o sát v đ th hàm s (C) khi m=1
2 Ch ng minh r ng "m ¹0, đ th (C) luôn c t đ ng th ng d: y = 3x-3m t i hai
đi m phân bi t A,B Xác đ nh m đ đ ng th ng d c t các tr c OX ,OY l n l t t i
C,D sao cho di n tích DOAB b ng 2 l n di n tích DOCD
Câu II: (2 đi m)
1 Gi i h ph ng trình :
3
2
-ï í
2 Gi i ph ng trình : cotx + cos2x + sinx = sin2x + cosx.cotx
Câu III (1đi m): Tính gi i h n : L = 3 4
0
1.2 1 2.3 1 3.4 1 1 lim
x
x
®
Câu IV:(1 đi m):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A (AD//BC),
AB=BC=a,AD=2a.G i M là trung đi m c a AD , N là trung đi m c a CM.Hai m t
ph ng (SNA) và (SNB) cùng vuông góc v i m t ph ng đáy và kho ng cách gi a hai
đ ng th ng SB và CD b ng 2
11
a Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách
t SA đ n đ ng th ng CD theo a
Câu V:(1đi m): Cho a,b,c là các s th c th a mãn abc= 2 2 Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c:
S=
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
II Ph n Riêng (Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n)
1 Theo ch ng trình chu n
Câu VIa: (2 đi m)
1 Trong m t ph ng t a đ OXY ,cho hình thoi ABCD có ph ng trình c nh BD là
x-y =0 ng th ng AB đi qua đi m P(1; 3 ), đ ng th ng CD đi qua Q(-2;-2 3 ).Tìm
t a đ các đ nh c a hình thoi ,bi t đ dài AB= AC và đi m B có hoành đ l n h n 1
2 Cho bi u th c P(x)= 3
2
2 n x
x
*
nÎN ) Sau khi khai tri n và rút g n ,tìm s
h ng ch a 6
x ,bi t r ng n là s t nhiên th a mãn:
1.2n- Cn+2.2n- Cn +3.2n- Cn + +nCnn =12.3n-
Câu VIIa(1 đi m): Gi i b t ph ng trình 2 2 2
2x +x-4.2x-x -2 x+ > 4 0
2 Theo ch ng trình nâng cao
Câu VIb: (2 đi m) :
Trang 21.Trong m t ph ng t a đ OXY cho Elip (E): 2 2 1
16 9
+ = và đ ng th ng d: 3x+4y
-12 =0.Ch ng minh r ng đ ng th ng d c t elip( E) t i hai đi m A,B phân bi t.Tìm
đi m CÎ(E) sao cho tam giác ABC có di n tích b ng 6
2 Có ba lô hàng Ng i ta l y m t cách ng u nhiên t m i lô hàng m t s n ph m
.Bi t r ng xác su t đ đ c s n ph m có ch t l ng t t t ng lô hàng l n l t là 0,5 ;
0.6 ; 0.7 Tính xác su t đ trong 3 s n ph m l y ra có ít nh t m t s n ph m có ch t
l ng t t
Câu VIIb (1) Gi i b t ph ng trình sau
5 3
1 3 2
0
-H t -
H NG D N CH M THI TH H L N I
Câu N i Dung i 1 Kh o sát hàm s (1đi m) m=1: y = 3 2 1 x x -+ TX : D = R/ { }-1 0.
S bi n thiên: + y’= 5 2 (x +1) lim 3 2 3 1 x x x ®±¥ - = + - TCN y= 3 1 3 2 lim 1 x x x + ® = -¥ + ; 1 3 2 lim 1 x x x - ® = +¥ + - TC x= -1 Hàm s B trên : (-¥ ;-1) và (-1;+¥ ), 0 I.1 (1đ) B ng bi n thiên: x -¥ -1
+¥
y’ + +
y +¥ 3
0.
Trang 33 -¥
th hàm s không có c c tr :
- x= 0 ® y =-2
y =0 ® x = 2/3
0.25
- th
0.
Trang 5Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a ( C ) và d : 3 2 3 3
1
mx
-+
Û 2
3x -3mx-1 =0 (1)
-1/m
9m 12 0
D = + >
3
2 0
V y (C ) luôn c t d t i hai đi m phân bi t A ,B
0.
Gi s A(xA ; 3xA-3m) ; B(xB ; 3xB-3m) v i xB ,xA là hai nghi m c a (1)
dÇox=C m( ; 0) ; dÇoy=D(0; 3 )- m
kho ng cách t O đ n d là OH = 3
10 m
0.
10 (éë xA+xB) -4x xA Bùû
Mà xA+xB = m ; x x =-1/3 A B
10
3
10m
0.
I.2
(1đ)
T gt ta có OH.AB =2OH.CD gi i pt n m ta tìm đ c m = 2
3
±
0.
K : - £ £1 x 1, đ t a = 1 x- ( 2
a³ Þ = -x a
2 y + =y a +a
L p lu n ch ra y = 1 x
-0.
2x - +1 2x 1-x
II.1
(1đ)
3 os 10 3
2 sin 20
x c
y
p p
ì =
ïï
í
ï =
ïî
0.
K sin x¹0 Þ ¹x kp. (kÎ ¢)
V i đk trên pt đã cho tr thành :
Sinx + cosx.cos2x + sin2x = sin2x.cosx + cos2x
0 II.2
(1đ) Ûcos2x(cosx –sinx -1) =0
Trang 6Û os2 0
cos s inx 1
x
= é
0.
4 k
+
2
2 2
x k
p p p
= é ê
ê = - + ë
D i chi u đk ph n trình có nghiêm g trình là
0.
V y pt có nghi m là : x =
4 k
2
Ta CM đ c
0
ax 1 1 lim
n
x
a
®
+
0,n )
L=
0
lim
x®
4
0
2 1 1 2.3 1 3.4 1 ( 2.3 1 1) 3.4 1
lim
x
4
0
3.4 1 1 lim
x
x x
®
III
(1đ)
IV
(1đ)
ÞBM//(SCD) khi đó kho ng cách gi a CD và SB là kho ng cách gi a CD
D ng NF ^MB , MN=
2
a
, sin¼NMF = NF
NM Þ NF=
2 2 a
0.
C
N
B
F
S
K
I
H
Trang 7D ng NJ ^SF ÞNJ^(SBM) và NJ=
11
a
NJ = NS +NF Þ NS=
3 a
V y VS ABCD =1
3 SN S. ABCD=1
a
.
2
3 2
a
=
3
2 3
0.
* d ng hbh ABMK ÞAK//BM Þ CD//(SAK)
D ng NH ^SI (HÎSI)
3NH
NI
a
NH = NS +NI = 32 52 172
a + a = a
17
a
3 17
a
Xét A=
2 2
2 2
-+ + v i x>0, y>0 chia c t và m u cho 2
y và đ t t=x
y v i t>0
Ta đ c A= 22
1 1
t t
t t
+ +
Xét hàm s f(t) = 22
1 1
t t
t t
+ +
- + trên (0 ;+¥)
L p BBT hàm f(t) t đó
CM đ c f(t) 1
3
³ khi đó A= 22 22
1 3
³ d u « = » khi x=y
0.
áp d ng v i x= a2 , y= b2
khi đó 44 44 22 22
1 3
-³
t ng t 44 44 22 22
1 3
4 4 2 2
4 4 2 2
1 3
0.
V
(1đ)
Trang 8S 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
3 a b c
V y S³4 d u b ng x y ra a=b=c = 2
min 4
0.
VI.1
(1đ)
Gi ph ng trình c a AB:
0
a +b ¹ )
2
a b
-=
3
a a
é = - +
Þ ê
=
0.
B
D
O
Trang 9TH1: a = - -2 3 , b =1 Þpt AB: (- -2 3)(x-1) +y- 3 =0
T a đ B là nghi m c a h
( ) ( 2 3) x 1 y 3 0
x y
ï í
= ïî
2
2
x y
ï
î
(lo i)
TH2 : a = - +2 3 , b= 1 pt AB: : (- +2 3)(x-1) +y- 3 =0
T a đ B là nghi m c a h ( 2 3) x 1 ( ) y 3 0
x y
ï í
= ïî
2 2
x y
= ì
î
V y B(2 ;2)
0.
* PBuuur(1; 2- 3)
Ph ng trình CD : (2- 3) (x+2)- (y+2 3) =0
T a đ D là nghi m c a h (2 3) (x 2) (y 2 3) 0
ï í
= ïî
4 4
x y
= -ì
Û í = -î
V y D(-4 ;-4)
0.
x
+ + =
-ï
î
V y A (- -1 3 ; 3 1- )
Khi đó C( 3 1- ;-1- 3)
0.
Ta có
0 1 1 2 2 2 3 3 3
(2+x)n =Cn2n+Cn2n- x C+ n2n- x +Cn2n- x + +C xnn n
o hàm 2 v ta đ c
(2 )n n2n 2 n2n 3 n2n nn n
n +x - =C - + C - x+ C - x + +nC x
-Cho x = 1 ta đ c
0.
1.2n 2.2n 3.2n n 3n
.3n
3n- hay n =12
0.
VI.2
(1đ)
( ) ( ) ( 2) ( )
x khi k =6
V y s h ng ch a 6
x là 6 6 6
12
2 C x
0
Trang 10t u= 2
2x+x (u>0) , v = 2x2-x (v>0) Khi đó bpt tr thành
u - 4v- u
v + 4 > 0
0.
v) >0
0.
TH1:
1
1
0
x x x x
x x
x
x
- >
VI.2
1
0
x x x x
x x
x
x
ïî
V y ph ng trình có nghi m là : xÎ(0;1)È(1;+¥)
0.
G i A là bi n c “ S n ph m l y ra t lô th nh t là t t”
Þ P(A) =0.5
B là bi n c “ S n ph m l y ra t lô th nh t là t t”
Þ P(B) =0.6
C là bi n c “ S n ph m l y ra t lô th nh t là t t”
Þ P(B) =0.7
0.
VI.1
(1đ)
Ta có X =AB C
0.
0.
Trang 11Gi i h ta có
6 41 4
6 41 3
x y
= ïï í
+
ï = ïî
và
6 41 4
6 41 3
x y
-= ïï í
+
ï = ïî
0.
;
5 41
VI.2
(1đ)
Gi s M(x0;y0) ,đ t MH là kho ng cách t M đ n AB
5
x + y
-V y MH AB =12
ï í
0.
K: - £ £5 x 8;x¹1;x¹3
-xét hàm s
f x =x + x - - +x v i -5< £x 8
2 8
x
- >0 " Î -x ( 5;8] nên hàm s B trên (-5;8]
Và f(-1)=0
0.
Xét hàm s
3
( ) log ( 5) 2
VII
(1đ)
V y BPT có nghi m là.(-1;1)È( )3; 4
0.
( Các cách gi i khác n u đúng v n cho đi m t ng ng.)
