Đề thi thử đại học môn toán số 57 năm học 2013 2014 thời gian làm bài: 180 phút46947

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.. PHẦN TỰ CHỌN Thí sinh chỉ được làm một trong

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 57

NĂM HỌC 2013 - 2014

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG ( Cho tất cả thí sinh )

Câu I ( 2 điểm ) Cho hàm số : y  x3 3 x  1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A2và MN2 2

Câu II ( 2 điểm )

1) Giải phương trình : 2  2   

tan x 1 tan x 2 3sin x  1 0 2) Giải hệ phương trình với ,x y฀







Câu III ( 1 điểm )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 2 1( ), trục hoành và tiếp tuyến của (C) tại

1

x

x





 giao điểm (C) với trục tung

Câu IV ( 1 điểm ).

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Câu V ( 1 điểm )

Chứng mimh rằng vớia0,b0,c0thì 1 1 1 3 1 1 1

II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B )

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa ( 2 điểm )

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B   2;1 ,  điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox

( x C 0) góc ฀BAC30o; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 Xác định toạ độ điểm

A và C

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   P : x  2 y    z 1 0 và điểm A(1;1;2) Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz) lập phương trình mặt phẳng   qua d và cách A một khoảng bằng 1.

Câu VIIa ( 1 điểm )

Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z sao cho w z 3i 2 là một số thực

 





B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb ( 2 điểm )

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn   2 2 và điểm A(1;3) ; Một

C x  y  x  y  

đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C) Lập phương trình của d sao cho

nhỏ nhất

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : 2 2 2 cắt các tia

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu VIIb ( 1 điểm ).

Tìm tất các số thưc để bất phương trình : log2xlog 2x 2 osc 0 có nghiệm x  1

Hết

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 57

Câu I (2 điểm)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y  x3 3 x  1

Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3 x2- 3 Cho y ¢= 0 Û 3 x2- 3 = 0 Û x = 1 , x = - 1

Giới hạn: lim ; lim

Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ -; 1); (1;+ ¥ ), NB trên khoảng ( 1;1)

-Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1tại xCD = - 1, đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT = 1

BBT

Điểm uốn: I ( 0; 1 - ) vì:

y ¢¢= x = Û x = Þ y =

-Giao điểm với trục hoành:không có nghiệm nguyên Bảng giá trị

x - 1 0 1 2

y 1 - 1 -3 1

Đồ thị hàm số: hình vẽ bên.

2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A2và MN2 2 Nhận xét:

nếu đường thẳng d qua A không có hệ số góc tức x = 2 cắt (C) nhiếu nhất 1 điểm không thỏa yêu cầu bài toán Do

đó d phải có hệ số góc Vì x A2nên y A1suy ra phương trình d có dạng yk x 21

Phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:

2

x







Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N (*)có 2 nghiệm phân biệt,x x1, 2 2 ;MN2 2

Theo vi ét x1,x2 2; x x1 2 1 k Ta có :

  2 2

8MN  x x  x x k  2   2  2   2

8 k 1 44 1k 3

2 0

Câu II( 2 điểm)1) Giải phương trình : 2  2    Điều kiện

tan x 1 tan x 2 3sin x  1 0 cosx0 Phương trình viết lại 2 3sin 1 tan22

1 tan

x x

x





2

2 3sinx cos2x 2sin x 3sinx 1 0

2

so sánh đ/k chọn sin 1 2) Giải hệ phương trình với

2

 

 







Từ phương trình (2) ta có đ/k : xy y, 0 2 2  2  2

x – –1 1 + ¥

y¢

y

Xét hàm số f t  t2 1 tt2liên tuc 0; có / 

2

1 2 2 1

t

t t

 Suy ra hàm số nghịch biến nên 2

2 1

t t



Thay vào (1) ta có    2  Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2)

y x     x y  x 4

Câu III(1 điểm)3 /Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 2 1( ), trục hoành, và tiếp

1

x

x







tuyến của (C) tại giao điểm (C) với trục tung viết được pt tt : y  x 1 nêu được miếng lấy diện tích

=

1

1 2

1 0

2

2 1

1

x

x





1

1

1 0

2

ln 1

         

1

ln 2

2



Câu IV(1 điểm )Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Ta có diện tích đáy hình vuông ABCD : S =4 a2

Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam giác SAB đều nên đường cao

3 2

a

Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a

Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì EF2 SE2SF2) Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H

Ta có SH vuông góc mp(ABCD) 12 12 12 12 12 42

2

a SH

Câu V(1 điểm) CMR với a > 0; b> 0; c > 0 thì

+ Với a > 0, b > 0, c >0 Giải : ta có:

3

(1)

a  2 b  a  2 2b  1 2 a   2b  3 a  2b

a  b  a 2 b



và (2) ta có: 1 2 3 3 (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0)

a  b  a 2b



dấu " " xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Câu VIa(2 điểm) 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B   2;1 ,  điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc trục hoành ( x C 0) góc ฀ 30o; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng Xác định toạ

độ A và C

Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có BC2 sin 30R o  5 2   2 2

         c 0 , c   4 ( loai )

Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều Nên BA =2 BH do đó HA = 2 3 A(0;1 2 3) hoặc A(0;1 2 3)

Vậy có A(0;1 2 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc A(0;1 2 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0)

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   P : x  2 y    z 1 0 và điểm A(1;1;2) Gọi d là giao tuyến

của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz) Lập phương trình mặt phẳng   qua d và cách A một khoảng bằng 1.

Phương trình mp(Oyz): x = 0 ; và ) B(0;0;1), C(0, 1; 1)  thuộc d , phương trình mặt phẳng   có dạng :

( ) Do đi qua B, C nên : 0

0

pt là ax + (- 2c)y +cz - c = 0

0

      

4

d A

5

2

  

Nếu c = 0, chọn a = 1  b 0,d 0    pt  x = 0

Nếu a= - 2c chọn c = 1 thì a= - 2d = -1 , b= - 2 khi đó pt  : - 2x - 2y + z - 1 = 0 Câu VII a( 1 điểm)Tìm tập hợp

những điểm biểu diễn số phức z sao cho w z 3i 2 là một số thưc Gọi khi đó

 



2 ( 3)

w

  

là số thưc khi và chỉ khi :

( 2) ( 3)( 1) ( 3) ( 2)( 1)

( 1)



 

Vậy tập hợp đó là đường thẳng trừ điểm M(0 ; - 1)

2x  y 1 0

Câu VIb.(2 điểm)1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn   2 2 và điểm

C x  y  x  y  

A(1;3) ;

Gọi B, C là giao của đường thẳng d đi qua A với (C).Lập phương trình d sao cho ABACnhỏ nhất

Tâm đường trònI(3; 1), R2;IA2 5d I A( , ) R 2 nên điểm A nằm ngoài (C)

Ta có P A C/( ) AB.AC = d 2- - R 2 = 16 ; và ABAC2 AB AC 2.48 dấu “=”xẩy ra AB = AC = 4 Khi đó

d là tiếp tuyến của (C), d có dạng (a x 1) b y(  3) 0 axby a 3b0

2 2

d I d

  



b







0 1

b a





 



4 3

b a





  

 Vậy phương trình d : x1 , 3x4y150

2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2y2z22x4y2z0 cắt các tia Ox, Oy, Oz lần

lượt tại A, B, C khác O Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(S) :   2  2 2 có tâm w(1;2;1) bán kính R =

(S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) Gọi I tâm đường tròn (A,B,C) thì I giao điểm của d đi

qua w và vuông góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC)

Giải hệ 2x y 2z 4 0 và ta được suy ra

1 2 2

1 2

 



  



  



2 9



và r = IA =

5 16 5

( ; ; )

9 9 9

I

       

Câu VIIb (1 điểm)Tìm tất các giá trị ฀ để bất phương trình :log2 x  log 2x  2 os c   0 có nghiệm

1

1

log

mặt khác log2x0 nên theo Côsi ta có: 2 (2)

2

1

log

x

x

Từ (1) và (2) ta có  1x  : bpt VT = VP = 2

khi đó bất phương trình có nghiệm

cos 1   k2 (k )

= 1 Vậy

2

log x  x 2   k2 (k฀)