Tài liệu Tiểu luận:Đánh giá mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của BLOOM qua chương Tỗ hợp và Xác suất doc

Do đó chúng tôi chọn đề tài này nhằm đưa ra một số tiêu chuẩn để đánh giá mức độ nhận thức của học sinh đối với các chương Tổ hợp và Xác suất.. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Đối với học sinh thì ch

BÀI TẬP NHÓM

Đánh giá mục tiêu giáo dục toán theo các mức

độ nhận thức của BLOOM qua chương Tỗ

hợp và Xác suất

Các tiêu chuẩn đánh giá mức độ nhận thức của Bloom hiện nay đang là một công cụ đánh giá rất phổ biến và hữu dụng trong quá trình dạy học đặc biệt

là chương trình THPT Để đảm bảo chất lượng dạy và học Toán, người giáo viên cần nắm vững và hiểu rõ các mức độ đánh giá này cũng như ứng dụng của chúng vào từng nội dung cụ thể

Trong chương trình toán học THPT, các chương Tổ hợp và Xác suất là một trong những nội dung khá mới mẻ và khá khó đối với học sinh THPT Do đó chúng tôi chọn đề tài này nhằm đưa ra một số tiêu chuẩn để đánh giá mức độ nhận thức của học sinh đối với các chương Tổ hợp và Xác suất

Do thời gian còn khá hạn chế nên bài tập không thể tránh khỏi sai sót Rất

I MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

 Xác định được không gian mẫu, biến cố chắc chắn, biến cố không thể; xác suất, tần số, tần suất của một biến cố

cố độc lập, quy tắc cộng, quy tắc nhân

Ví dụ

1 Một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc B Phương án A có

m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện thì công việc đó có thể được thực hiện bởi bao nhiêu cách?

Phân tích: HS nhớ lại định nghĩa công thức cộng, đáp án là B

Cơ sở tạo phương án nhiễu: các phép toán giữa 2 số m và n

2 Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử ( ) là:

Phân tích: HS nhớ lại định nghĩa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Đáp án là B

Cơ sở tạo phương án nhiễu: các công thức dễ nhầm lẫn

3 Phát biểu nào sau đây là đúng?

Phân tích: HS phải nắm được công thức =

( ) (phương án III), đồng thời nắm mối liên hệ giữa tổ hợp và chỉnh hợp (phương án IV) Đáp án là C

Cơ sở tạo phương án nhiễu: đưa vào các công thức gây nhầm lẫn, có 2 công thức đúng, HS cần phải nắm vững các công thức mới nhận biêt được đáp án đúng

4 Khai triển của biểu thức ( ) có giá trị là:

Phân tích: HS nắm vững khai triển nhị thức Niu-tơn Đáp án là C

Cơ sở tạo phương án nhiễu: Học sinh không hiểu bản chất công thức thì dễ nhần lẫn ở các vị trí in đậm trong phương án A, B, D

Phân tích: Hs phải nắm được hệ số của số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Niu-tơn Đáp án là A

Cơ sở tạo phương án nhiễu: HS dễ nhầm lẫn hệ số của số hạng thứ k và k+1

6 Gieo một con xúc sắc, phát biểu nào sau đây là đúng?

IV Biến cố “Số chấm xuất hiện là số nguyên tố” được mô tả bởi tập

* +

Phân tích: HS phải nhớ các định nghĩa về các loại biến cố, không gian mẫu

và cách mô tả một biến cố Đáp án là D

4 không phải là số nguyên tố

7 Phép thử T có không gian mẫu , A là một biến cố liên quan với phép thử

Phân tích: HS nhớ lại công thức xác suất của biến cố Phân biệt cách biểu diễn của một biến cố và số phần tử của biến cố Đáp án là C

Cơ sở tạo phương án nhiễu: HS hay dễ nhầm lẫn công thức xác suất của biến

9 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Biến cố đối là biến cố xung khắc

B Biến cố xung khắc là biến cố đối

Phân tích: HS cần nắm vững định nghĩa của 2 loại biến cố này và nhận ra ngay mối liên hệ giữa chúng Đáp án là A

10 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị * } Đại lượng đặc trưng cho mức độ phân tán của X quanh giá trị trung bình là:

Phân tích: HS cần phải nhớ được ý nghĩa của các đại lượng Đáp án là B

Cơ sở tạo phương án nhiễu: Các đại lượng này có mối liên hệ với nhau, HS

Phân tích: HS phải nắm được công thức tính độ lệch chuẩn √ , với

phải nhớ một công thức khác để tính độ lệch chuẩn là phương án III Đáp án

là D

Cơ sở tạo phương án nhiễu: Hs dễ nhầm lẫn, quên lấy căn bậc hai của DX, không để ý đến cách thứ hai để tính độ lệch chuẩn mà chọn ngay đáp án A

II MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Đối với học sinh thì chương Tổ Hợp, Xác Suất này được coi là một chương trừu tượng và khó hiểu, để làm được bài tập thì các em cần phải nắm được nội dung, công thức và vận dụng các công thức đó một cách linh hoạt

Vì vậy đối với mức độ thông hiểu thì các em cần nắm được những kỹ năng

cơ bản sau:

Học sinh thường hay lúng túng không biết khi nào nên dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng công thức nhân và quy tắc cộng…, nên đối với mức độ thông hiểu các em cần nắm được các công thức cần thiết, cần phải phân biệt được các trường hợp cụ thể để dùng cho đúng các công thức, phối hợp hai quy tắc này vào giải toán

Hiểu được công thức khai triển tổng quát và phải biết áp dụng nó để tìm khai triển đa thức trong những trường hợp cụ thể như: (ax+b)n và (ax-b)n , và thiết lập được hàng thứ n+1 của tam giác Pas-Cal từ hàng thứ n để tìm được các hệ số trong khai triển công thức

Hiểu được thế nào là biến cố ngẫu nhiên rời rạc, đọc được nội dung bảng phân bố xác suất của biến cố ngẫu nhiên rời rạc, và tính được xác suất của biến cố đớ Từ các dữ kiện của biến cố rời rạc phải lập được bảng phân bố xác suất

Bài tập vận dụng của phần thông hiểu

Ví dụ 1: Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi Mỗi câu

có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một câu trả lời chính xác Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách mỗi câu chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 10 câu

Phân tích: Đối với bài toán này, nếu nhìn sơ qua thì nhiều em sẽ lúng túng,

nhưng thật ra các em phải đọc kỹ và phân tích đề Mỗi câu hỏi có 5 phương

án trả lời và chỉ có một phương án trả lời đúng có nghĩa là xác suất chính xác của một câu là 0,2 và xác suất để câu đó sai là 0,8 Để cho cả 10 câu đều

Sai lầm thường gặp: Nhiều em sẽ nghĩ tới trường hợp là dùng biến cố đối là

lấy 1 trừ đi xác suất cả 10 câu đều đúng sẽ cho ra kết quả là không có câu

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng (P) cho n điểm độc lập Có bao nhiêu vecto tạo

thành với điểm đầu va điểm cuối là các điểm trong n điểm đó?

a An2 b Cn2 c 2!Cn2 d 2!An2

I Chỉ có a; II Cả a và c; III Cả b và d; IV Chỉ có b V.Chỉ có d

Phân tích: Ở ví dụ này thì các em cần hiểu được yêu cầu của bài toán là với

2 điểm bất kì trong n điểm đó sẽ tạo thành được 2 vectơ Đối với việc tìm số vectơ các em quy về việc tính chỉnh hợp chập 2 của n phần tử Vì vậy sẽ có

liên hệ với công thức A2n để có thể đưa ra kết quả đúng là 2!Cn

2 vectơ

Mở rộng: Đối với dạng toán này chúng ta có thể mở rộng đề thành việc tìm

số tam giác, đường thẳng được tạo thành từ n điểm độc lập trong mặt phẳng

đó

Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên năm quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân

bài Tìm xác suất để trong 5 quân bài đó có ít nhất là một quân át

Phân tích: Ví dụ này yêu cầu tìm xác suất để trong 5 quân bài có ít nhất là

một quân át Đối với những bài toán tìm như thế này thì phải quy bài toán về việc tìm biến cố đối, vì vậy các em phải thành thạo việc xác định biến cố đối

và tính được xác suất biến cố đối để suy ra được kết quả của bài toán Đối với bài này nếu không dùng biến cố đối thì việc tính toán rất phức tạp, kết quả dễ sai

Những sai lầm có thể có: Không xác định được biến cố đối Hoặc các em

có thể không áp dụng biến cố đối mà dùng theo cách tìm xác suất để có 1, 2,

3, 4 quân át, nhưng lại áp dụng sai công thức

Lời giải:

Gọi biến cố A là biến cố có ít nhất một quân át

Nếu chọn 5 quân bài mà không có quân át nào thì phải có: C48

Ví dụ 3: Tính hệ số chứa x3 trong khai triển (3-2x)8

Phân tích: Có thể nói đây là dạng bài mà các em có thể làm dễ dàng nếu

thế nào Nhưng các em phải chú ý tới dấu trong dẳng thức đó là dấu trừ Sau khi khai triển được đẳng thức trên thì chúng ta có thể suy ra được kết quả ngay

Sai lầm: Khi khai triển các em thường không chú ý tới dấu trừ trong biểu

Phân tích: Để chọn được đáp án đúng thì học sinh cần nắm rõ công thức

Biết khi nào xảy ra biến cố đối và mối liên hệ của các công thức xác suất đó

là P(A)= 1- P(B)

Nếu xảy ra biến cố xung khắc thì P(AB) 0 và xảy ra biên cố độc lập thì P(A).P(B) = P(AB)

Sai lầm: Học sinh không biết vận dụng các công thức như trên để xác

định được các biến cố nào là biến cố đối và biến cố như thế nào là biến cố độc lập, xung khắc Các em có thể nhầm lẫn giữa các công thức nên có thể chọn đó là biến cố độc lập, không phân biệt nếu là độc lập thì xung khắc và xung khắc thì chưa chắc là độc lập nên các em có thể tưởng rằng xung khắc chắc chắn là độc lập nên có thể chọn kết quả đúng là câu d)

Qua ví dụ này thì các em cần phải hệ thống lại các công thức để có thể xác định được các biến cố nào là độc lập, xung khắc và biến cố đối

Ví dụ 5: Số ca cấp cứu của một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến cố ngẫu

nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

X 0 1 2 3 4 5

Nếu có hơn một ca cấp cứu thì phải tăng cường bác sỹ trực Tính xác suất

để tăng cường thêm bác sỹ trực

Phân tích: Để đưa ra kết quả chính xác yêu cầu các em phải biết cách đọc

được phân bố xác xuất và hiểu được nội dung của bài toán

Yêu cầu ra là phải tính xác suất để ngày thứ 7 phải tăng cường thêm bác sỹ trực, có nghĩa là số vụ tai nạn giao thông phải lơn hơn hoặc bằng hai Vì vậy

Qua bài toán này chúng ta có thể mở rộng đến bài toán sau:

Ví dụ 6: Một túi đựng 16 tấm thẻ, trong đó có 10 đỏ và 6 tấm thẻ xanh

Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ

a Gọi X là số thẻ đỏ Tìm phân bố xác suất của X

b Giả sử mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm, rút được thẻ xanh được 8 điểm Gọi

Y là số điểm tổng cộng trên 3 thẻ Tìm phân bố xác suất của Y

Phân tích: Ở bài này yêu cầu các em phải biết phân bố xác suất của X là tập

hợp {0,1,2,3} Học sinh cần biết được nếu xảy ra 0 thẻ đỏ thì sẽ có được 3 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ thì có 2 thẻ xanh, 2 thẻ đỏ thì có một thẻ xanh, và 3 thẻ đỏ thì có 0 thẻ xanh Khi đó các em sẽ dễ dàng lập được bảng phân bố xác suất của X

Ở câu b) thì các em phải nhìn thấy được mối liên hệ giũa xác suất của số điểm và xác suất của số thẻ đỏ để có thể kết luận được xác suất của các biên

có của Y xảy ra sẽ bằng xác suất của biên cố X xảy ra

Sai lầm thường gặp: Không xác định được các trường hợp xảy ra Không

tìm được mối liên hệ giữa biến cố X và biến cố Y

Đáp án:

Y 24 21 18 15

Nói chung với bài toán này mức độ cần đạt được của các em chính là khả năng xác định các trường hợp xảy ra để lập được bảng phân bố xác suất của từng trường hợp cụ thể

mà không sử dụng quy tắc kia hay phải sử dụng cả hai quy tắc hay nhiều công thức thì mới giải quyết được, Đồng thời phải biết đưa những tình huống mới về những tình huống đã biết, cụ thể thế nào chúng tôi sẽ đưa vào trong các đề toán

1.2 Thông qua mức độ này, học sinh chủ yếu là ôn tập, củng cố lại kiến thức

đã học, áp dụng được vào một số bài toán mới hoặc các bài toán mở rộng mà việc giải quyết các bài toán này thực chất là quy về việc giải quyết với các tình huống quen thuộc và đơn giản

Thật ra, việc giải bài toán này được quy về việc giải phương trình có chứa ẩn

c Cơ sở đưa phương án nhiễu

Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu

- Không nhớ công thức của tổ hợp

- Quên đặt điều kiện cho công thức tổ hợp

- Tính toán, biến đổi sai

Bài toán 2 (Tương tự bài toán 1)

Giải phương trình sau

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1 và x 2

b.Cơ sở đưa phương án nhiễu

Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu

- Không nhớ công thức của hoán vị và chỉnh hợp

- Quên đặt điều kiện cho công thức đặc biệt là điều kiện “x nguyên”

- Tính toán, biến đổi sai

Bài toán 3 Cho tập hợp A 1, 2, 3, ., n trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1 Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn x y,  A và x y?

Số cặp (x,y) thỏa mãn điều kiện bài toán chính là số tập con có hai phần tử của tập hợp A Do đó việc giải bài toán được quy về việc tìm số tổ hợp chập

2 của n phần tử Như vây, yêu cầu học sinh phải nắm vững được ý nghĩa của tổ hợp đồng thời phải biết đưa điều kiện của bài toán về dạng quen thuộc

b Cách giải

Với x > y thì số cặp (x, y) thỏa điều kiện của bài toán là 2

n

C Với x = y thì số cặp (x, y) thỏa điều kiện của bài toán là n ( đó là các cặp (1, 1), (2, 2), )

n

C n c.Cơ sở đưa phương án nhiễu

Học sinh có thể giải sai bài toán này nếu

-Không nắm được ý nghĩa của tổ hợp

-Không đưa được điều kiện của bài toán về những điều kiện đơn giản hơn -Tính toán sai như quên mất trường hợp x = y

9 3 2 4536

C  + Với k  9 ta có 9 3

xúc sắc thì mỗi vấn đề, mỗi bài toán, mỗi ví dụ trong nội dung Xác suất đều đặt học sinh vào trong những tình huống mới, phong phú và rất đa dạng

Để giải quyết được các tình huống đó, học sinh không những phải nắm vững các kiến thức đã học mà các em còn phải biết đưa các tình huống đó về các tình huống cụ thể, đơn giản rồi sử dụng các kiến thức đã học một cách phù hợp để giải quyết

2.2 Thông qua mức độ này, học sinh được rèn luyện cách phân tích, cụ thể hóa vấn đề và quy lại về quen (đưa tình huống mới, không quen thuộc về các tình huống quen thuộc)

2.3 Các đề toán

Từ những nội dung trên, chúng tôi đưa ra các đề toán mà các tình huống đặt

ra vừa thú vị vừa khác lạ so với các ví dụ thông thường Đó là

Bài toán 1

Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự Mỗi anh chồng bắt tay một lần với mọi người trừ vợ mình Các chị thì không ai bắt tay với nhau cả Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

13!

78 2! 13 2 !

Số cái bắt tay của các chị vợ với các anh chồng khác là 12 13 156  

Do đó, số cái bắt tay trong buổi lễ là 78 156   234

13!

78 2! 13 2 !

và 13 cái bắt tay giữa hai vợ chồng

Do đó, số cái bắt tay trong buổi lễ là 325 78 13    234

c.Cơ sở đưa phương án nhiễu

Các phương án sai là A, C và D Học sinh có thể nghĩ rằng: Chỉ có các anh chồng bắt tay với nhau còn các chị vợ thì không mà quên mất rằng các chị

vợ vẫn bắt tay với những anh chồng khác

Bài toán 2 Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước anh ta tiến lên

phía trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau Tính xác suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát

a Phân tích

Bài toán đặt ra tình huống trong xác suất liên quan đến “người say rượu” Học sinh phải nhận biết được rằng, với những dữ kiện của đề, người say rượu này trở lại điểm xuất phát khi số bước tiến lên và số bước lùi lại phải bằng nhau và bằng hai Từ đó, với các kiến thức tổ hợp học sinh có thể đưa

2!2!), ví dụ như: T-T-L-L hoặc T-L-T-L, (với T - tiến và L – lùi) Rồi đưa bài toán về việc tính xác suất của các trường hợp đơn giản hơn và cụ thể hơn, ví dụ như: Tính xác suất để người đó T-T-L-L,

c Học sinh có thể mắc sai lầm khi giải quyết bài toán này như

- Xác định thiếu các cách đi nếu chỉ dùng trực giác thông thường để xác định

- Không xác định được xác suất của mỗi bước tiến hoặc lùi hay tính toán sai xác suất của từng trường hợp nếu như không học kĩ bài

IV MỨC ĐỘ TƯ DUY BẬC CAO

Đối với học sinh chương Tổ Hợp, Xác Suất được coi là một chương trừu tượng và khó hiểu, để làm tốt bài tập chương này các em cần hiểu nội dung, công thức và vận dụng các công thức một cách linh hoạt để giải quyết một bài toán tổng hợp

- Học sinh cần phân biệt được các quy tắc nhân, quy tắc cộng, các công thức

tổ hợp, chỉnh hợp thể để dùng cho đúng trường hợp cần dùng, phối hợp các quy tắc này các bước cụ thể của bài toán

- Hiểu rõ công thức khai triển tổng quát, cho khai triển phải viết được về dạng tổng quát và ngược lại Các bước đó phải thành thạo để thuận lợi cho quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề bài toán

- Học sinh cần hiểu rõ xác suất theo định nghĩa cổ điển, xác suất thực nghiệm của biến cố theo định nghĩa thống kê của xác suất Các công thức về hợp và giao của hai biến cố, phân biệt được khi nào là biến cố xung khắc, hai biên cố độc lập, và biết cách lập biến cố đối để vận dụng vào các bài toán Biến cố ngẫu nhiên rời rạc, và tính xác suất của biến cố đối

-Từ những kiến thức Tổ hợp, Xác xuất và những giả thiết của bài toán học sinh phải đưa ra được những lập luận dẫn đến lời giải Sau đây là một số cách phân tích một bài toán ở mức độ tư duy bậc cao

* Quá trình phân tích một bài toán:

 Chia nhỏ thông tin thành những thành phần phù hợp và tổ chức chúng lại theo các mối quan hệ trong bài toán

 Phân biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nào có thể phải tạo nên để chứng minh những quy những quy tắc nào đó

 Kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và thông tin đã cho

* Mục tiêu thuộc về phạm trù các khả năng tư duy bậc cao:

Phân tích thông tin thành những phần chính và thiết lập mối quan hệ đúng đắn giữa chúng

Phân biệt một luận từ các mệnh đề hỗ trợ nó

Phát hiện những sai lầm trong lập luận, xét tính hợp lý của các câu trả lời Tiến hành những giả thiết đi đến kết luận

Có được những khám phá toán học và tổng quát hóa từ nhiều kết quả

Xây dựng được một chứng minh hay là một bài toán mới đối với học sinh

Lý giải một cách sáng tạo, phát minh một cấu trúc hay phép toán mới

Đưa ra một kế hoạch hay phát triển một quy tắc giải toán trừu tượng hóa ký hiệu hóa và tổng quát hóa

Chỉ ra những sai lầm trong lập luận

Đánh giá ý nghĩa của bài toán