BÀI TẬP NHĨM Đánh giá mục tiêu giáo dục tốn theo mức độ nhận thức BLOOM thong qua nội dung BÀI TẬP NHÓM Học phần: Đánh giá dạy học tốn Nhóm 5: Thành viên nhóm Phạm Trọng Mạnh Võ Hữu Quốc Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Thanh Ngân Đề tài: ĐÁNH GIÁ CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TỐN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC CỦA BLOOM THƠNG QUA NỘI DUNG CHƯƠNG TỔ HỢP – XÁC SUẤT Trong khoa học sống, thường phải xác định số phần tử tập hợp phải tính tốn xem khả xảy biến cố ngẫu nhiên Chương trình toán 11 đưa kiến thức tổ hợp xác suất bước đầu giúp giải số tốn đơn giản thuộc loại Sau học xong chương “ tổ hợp – xác suất ” em học sinh phải đạt mục tiêu giáo dục toán theo mức độ nhận thức Bloom sau A Nhận biết - Kiến thức thông tin - Kỹ thuật kỹ B Thông hiểu - Chuyển đổi - Giải thích C Vận dụng - Áp dụng để giả tình D Những khả bậc cao - Phân tích - Tổng hợp - Đánh giá Nội dung cụ thể mục tiêu dạy học chương “ tổ hợp – xác suất ” theo mức độ nhận thức Bloom trình bày sau Nhận biết 1.1 Nhận biết kiến thức thông tin Trong phạm trù học sinh đòi hỏi phải gọi tên, nhận biết quy tắc, khái niệm, công thức Nắm ý nghĩa kiện chưa cần phải hiểu Các phạm trù kiến thức thông tin tốn học bao gồm: - Kiến thức ngơn ngữ: Học sinh cần phải nhận diện, làm quen với ký hiệu thuât ngữ toán học tuý - Kiến thức kiện toán học cụ thể: mục tiêu học sinh cần phải gọi tên, nhận biết nắm ý nghĩa công thức, quan hệ toán học - Kiến thức cách thức phương tiện sử dụng trường hợp cụ thể: mục tiêu đòi hỏi học sinh phải nắm quy ước toán, kiến thức phân loại… - Kiến thức quy tắc tổng qt hố: Mục tiêu địi hỏi học sinh phải gọi quy trừu tượng tốn học để giúp mơ tả, giải thích, dự đoán tượng nhớ lại quy tắc, tổng quát hoá Sau học xong chương “ tổ hợp – xác suất ” học sinh cần phải : - Nắm hai quy tắc đếm quy tắc cộng quy tắc nhân - Nắm khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Nhớ cơng thức tính số hốn vị, số tổ hợp số chỉnh hợp - Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn - Nắm khái niệm : phép thử, không gian mẫu, kết thuận lợi cho biến cố - Nắm cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển - Nắm quy tắc cộng nhân xác suất - Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc đặc trưng quan trọng biến cố ngẫu nhiên rời rạc là: kỳ vọng ,phương sai, độ lệch chuẩn - Nhớ cơng thức tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn 1.2 Nhận biết kỹ thuât kỹ Đây khả học sinh sử dụng trực tiếp việc tính tốn, khả thao tác biểu diễn ký hiệu, lời giải Mục tiêu bao gồm việc sử dụng thuật tốn kỹ thoa tác, phép tính, đơn giản hố lời giải có tính tương tự mà học sinh gặp Sau học xong chương học sinh cần phải: - Biết vận dụng hai quy tắc đếm bản, công thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp để giải toán áp dụng trực tiếp quy tắc, cơng thức học sinh giải tốn tương tự ví dụ giáo viên lớp, có khác chi tiết - Biết áp dụng trực tiếp công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn - Biết vận dụng quy tắc cộng nhân xác suất để giải toán xác suất đơn giản - Biết tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến cố ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ 1: Từ nhà An đến trường phương tiện: bộ, xe đạp, xe máy Nếu có đường, xe đạp có đường, xe máy có đường Hỏi A có lựa chọn đường để từ nhà tới trường? - Mục đích ví dụ để kiểm tra xem học sinh nắm quy tắc cộng hay chưa, đánh giá mức độ hiểu học sinh quy tắc đếm - Lời giải: A từ nhà tới trường phương tiện: Đi bộ: có đường Đi xe đạp: có đường Đi xe máy: có đường Theo quy tắc cộng ta có : + + = 10 lựa chọn đường để A từ nhà tới trường Ví dụ 2: Ban cán lớp có nam nữ Giáo viên cần chọn học sinh: nam nữ dự lễ kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn - Mục đích ví dụ kiểm tra xem học sinh nắm quy tắc nhân hay chưa - Lời giải: Chọn nam nam có cách Chọn nữ nữ có cách Ứng với cách chọn nam có cách chọn học sinh nữ Suy có 3*2 = cách chọn Ví dụ 3: Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là: A n! B n! (n  k )! C n! k!(n  k )! D k! n!(n  k )! - Mục đích ví dụ để kiểm tra học sinh có nhớ cơng thức tính số tổ hợp hay khơng - Đáp án: C Đưa đáp án A là: n! –là số hoán vị Đưa đáp án B là: Số chỉnh hợp chập k n phần tử, để HS không học công thức nhầm lẫn đáp án A, B, C Còn đáp án D đưa để HS nhầm lẫn n k Ví dụ 4: Em khai triển đa thức (1 - x)3 nhị thức Niu - Tơn -Mục đích ví dụ để kiểm tra học sinh nắm công thức nhị thức Niu-Tơn chưa kỹ khai triển nhị thức Niu - Tơn - Lời giải: (1  x)3  C3 13  C3 12.( x)  C3 1.( x)2  C3 ( x)3  (1  x)3   3x  3x  x3 Ví dụ 5: Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc cho bảng sau: X P 0.1 0.2 0.15 0.3 0.25 - Mục đích ví dụ để kiểm tra xem học sinh nắm cơng thức tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc - Lời giải: Kỳ vọng là: E ( X )   X i Pi  0.0,1  1.0,2  2.0,15  3.0,3  4.0,25  2,4 i 1 Phương sai X là: V ( X )   ( X i  E ( X ))2 Pi  1,74 i 1 Thông hiểu Đây khả nắm ý nghĩa tài liệu chuyển đổi liệu từ dạng sang dạng khác, từ mức độ trừu tượng sang mức độ trừu tượng khác, khả giải thích hay suy ý nghĩa liệu Phạm trù bao gồm câu hỏi để học sinh sử dụng kiến thức học lớp mà không cần liên hệ tới kiến thức khác, câu hỏi nhằm xác định xem học sinh nắm ý nghĩa công thức mà chưa địi hỏi phải áp dụng, phân tích Các hành vi thể việc hiểu chia thành ba loại theo thứ tự sau - Chuyển đổi - Giải thích 2.1 Chuyển đổi Đây q trình trí tuệ chuyển đổi ý tưởng giao tiếp thành dạng song song Học sinh yêu cầu thay đổi từ dạng ngôn ngữ sang dạng ngơn ngữ khác Sau ví dụ có mục tiêu thuộc phạm trù chuyển đổi Cuối phần học học sinh có khả năng: - Chuyển đổi khái niệm: hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, cơng thức tính tốn đại số tổ hợp - Học sinh đưa ví dụ minh hoạ cho khái niệm, quy tắc tính tốn Ví dụ 6: Chứng minh An+2 + An+1 = k2An n+k n+k n+k - Mục đích ví dụ kiễm tra khả nắm cơng thức tính Ak , khẳ n chuyển đối ký hiệu mang tính hình thức sang cơng thức tốn - Lời giải: An+2 + An+1 = n+k n+k Ta có = (n + k)! (n + k)! + (k - 2)! (k - 1)!  (n + k)! k (n + k)!  1 = (k - 2)!  k - 1 (k - 2)! k - = (n + k)! k! k2 = k2An n+k Ví dụ 7: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi a) Tính xác suất để chọn viên bi màu b) Tính xác suất để chọn viên bi khác màu - Mục đích ví dụ để kiểm tra khả chuyển đổi ngơn ngữ tốn để nhận biến cố xung khắc, chuyển đổi dạng phát biểu câu hỏi a, b để nhận biến cố đối - Lời giải a) Gọi A biến cố “chọn viên bi màu xanh” B biến cố “chọn viên bi màu đỏ” C biến cố “chọn viên bi màu vàng” H biến cố “chọn viên bi màu” Lúc ta có H= A  B  C biến cố A, B, C xung khắc Như ta có P(H) =P(A  B  C ) = P(A) + P(B) + P(C) Mặt khác ta lại có: P(A) = Vậy P(H) = C2 C2 C2 = , P(B) = = , P(C) = = 2 C2 36 C9 36 C9 36 + + = 36 36 36 18 c) Biến cố chọn viên bi khac màu biến cố H Suy ta có P( H ) = - 18 Ví dụ 8: Giải bất phương trình An+4 15 < (n + 2)! (n - 1)! - Mục đích ví dụ nhằm đánh giá khả biến đổi công thức A k sang dang n tường minh, đánh giá khả biến đổi từ phương trình lạ dạng phương trình quen thuộc - Lời giải Điều kiện n  N Ta có A4 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1) n+4 (n + 2)! = (n - 1)!n(n + 1)(n + ) (n + 4)(n + 3)(n + )(n + 1) (n + 4)(n + 3) An+4 Suy = = (n + )! (n - 1)!n(n + 1)(n + 2) (n - 1)!n Khi bất phương trình biến đổi dạng (n + 4)(n + 3) 15 <  (n + 3)(n + 4) < 15n (n - 1)!n (n - 1)!  n2 - 8n + 12 <  < n < Vậy bất phương trình có nghiệm n = 3, n = 4, n = 2.2 Giải thích Giải thích việc xác định làm rõ hiểu ý tưởng giao tiếp hiểu mối quan hệ chúng Trong phạm trù học sinh yêu cầu đưa phán xét tìm kiện, mối quan hệ quan từ mối quan hệ không quan trọng tổ chức lại kiến thức Khi học xong chương học sinh cần có khả - Hiểu chứng minh liên quan tới công thức P n , Ak , Ck để n n định giá trị lập luận suy diễn - Lập luận suy diễn từ kiện cho - Chỉ việc ứng dụng công thức Pn , Ak , Ck , quy tắc đếm bản, n n quy tắc tính xác suất Sau vài ví dụ mục tiêu nhận thức phạm trù giải thích Ví dụ 9: Số nguyên dương bé n cho khai triển (1 + x)n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số A 20 B 21 C 22 D 23 - Mục đích ví dụ nhằm kiểm tra khả lập luận suy diễn từ giả thiết toán, định giá trị lập luận suy diễn - Lời giải Đáp số: B n (1 + x)n =  C in xni Ta có i 0 Do hai hệ số liên tiếp C C i n i 1 n C i n C i 1 n Theo giả thiết ta có n! i!(n - i)! 7 i+1 i+1 =  =  =  n = 3i + + n! n-i (i + 1)!(n - i - 1)! Số nguyên dương bé n tương ứng với i nhỏ cho i + chia hết cho  i =  n = 21 Ví dụ 9: Xét biển số xe dãy số gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1,… ,9 a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ số đơi khác b) Có biển số xe có hai chữ khác đơng thời có hai chữ số lẽ hai chữ số lẽ giống + Mục đích ví dụ nhằm kiểm tra khả lập luận, suy diễn logic từ giả thiết toán Đánh giá mức nắm ý nghĩa công thức chỉnh hợp, tổ hợp khả vận dụng công thức vào giải toán 10 + Giải: a) - Chọn chữ thứ có 26 cách Chọn chữ thứ hai có 26 cách (vì hai chữ giống nhau) Do cách chọn hai chữ có chữ khác O 26.26 = 675 cách - Số cách chọn chữ số đứng sau la chỉnh hợp chập 10 nên ta có A 10  5040 cách - Vậy số biển số xe cần tìm 675*5040 = 3420000 (biển số) b) Chọn chữ thứ có 26 cách Chọn chữ thứ hai có 25 cách (vì khác chữ đầu) Chữ số chẵn thứ chọn có cách Chữ số chẵn thứ hai chọn có cách Xếp chữ số chẵn vào vị trí nên có A cách Hai chữ số lẽ giống lại (1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9) xếp vào hai chỗ cịn lại nên có cách Vậy số biển số xe cần tìm A * 650* = 975000 Vận dụng Phạm trù việc sử dụng ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung vào tình Các câu hỏi yêu cầu học sinh phải áp dụng khái niệm quen thuộc vào tình không quen thuộc Học sinh chương áp dụng tốn mang tính thực tế đơn giản áp dụng công thức tổ hợp chỉnh hợp Các ví dụ sau minh họa cho việc áp dụng “Tổ hợp-Xác suất” vào tình 11 Ví dụ 10: Trong hệ trục tọa độ Oxy,chọn điểm trục Ox điểm trục Oy Nối điểm trục Ox tới điểm trục Oy ta 40 đoạn.Hỏi 40 đoạn có tối đa giao điểm góc phần tư thứ góc Oxy Phân tích tốn: - Các giao điểm đoạn thẳng giao góc phần tư hệ trục tọa độ.Nên giao điểm đoạn thẳng đạt tối đa giao điểm tất đoạn thẳng góc phần tư thứ - Một giao điểm góc phần tư thứ xác định cách chọn điểm Ox điểm Oy - Số giao điểm tối đa đạt đoạn 40 đoạn đồng quy Vậy số giao điểm tối đa đạt là: C82 C52  28.10  280 Tính vận dụng tốn thể hiển ví dụ là: - Khi học sinh học “Tổ hợp-Xác suất” toán đưa SGK mang tính áp dụng cơng thức đơn giản mà chưa có bước phân tích tốn mang tính mẽ - Ví dụ ngồi cách biết tính tổ hợp cịn cần vận dụng kiến thức bên hình học Số giao điểm xác định giao hai đoạn thẳng.Trong 40 đoạn thẳng có đoạn thẳng đồng quy điểm Nếu số giao điểm tối đa đạt giao hai đoạn thẳng mà thơi Ví dụ 11: Đây ví dụ thực tế đưa trị chơi mà ta thường gặp tình cụ thể Ví dụ thể ứng dụng xác suất gặp tốn mang tính khơng có lời giải sẵn cho học sinh 12 Trong Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, M Gardner có giới thiệu paradox K.Blait sau: Có ba bàn quay hình vẽ Bàn quay thứ (bàn A) số chiếm 100%, bàn hai (bàn B) số chiếm 56%, số số chiếm 22%, thứ ba (bàn C) số chiếm 51% số chiếm 49% Luật chơi: người quay ngẫu nhiên bàn mình.Số nhận lớn người thắng Hãy phân tích để tìm cách chọn bàn chơi mà phần thắng lớn với hai trường hợp: a) Hai người chơi? b) Ba người chơi? - Lời giải a) Trường hợp hai người chơi Ta thấy người chọn bàn A thắng người chọn bàn B 56/44 thắng người chọn C 51/49 Người chọn bàn B thắng người chọn bàn C với xác suất (1*0.22) + (0.22*0.51) + (0.56*0.51) = 0.6178 Vậy chơi người A tốt C xấu b) Trường hợp người chơi Nếu chơi người với luật chơi - người thắng phải có số lớn số hai người - bạn chọn bàn quay nào? 13 Có lẽ phân tích phần a) khơng người chọn bàn quay A Và bàn quay C để lại chơ vơ cho người thách đố Nhưng thực tế khơng phải vậy! Ta tính xác suất thắng người chọn A: - A chiến thắng kim quay B vào số kim quay C vào số Vậy xác suất thắng A là: 0.56*0.51 = 0.2856 - B chiến thắng kim quay B vào đồng thời kim quay C vào kim quay B vào kim quay C vào Ta tính xác suất thắng B là: (0.44*0.51) + (0.22*0.49) = 0.3322 - C chiến thắng kim quay C vào đồng thời kim quay B vào xác suất là: 0.49*0.78 = 0.3822 Đây trò chơi mang tính mẹo xác suất Hầu hết trị chơi thực tế sử dụng toán xác suất Nhìn bề ngồi trị chơi dễ đánh lừa người chơi Dựa vào cách tính xác suất ta phân tích cách chơi có lợi cho ta khả thắng chơi Ví dụ vừa mang tính thực tế xác suất vừa đưa tốn có vấn để học sinh có cách nhìn rộng xác suất thực tế Những khả bậc cao Những khả bậc cao bao gồm phạm trù phân tích, tổng hợp, đánh giá Việc phân tích tốn thường quan trọng, làm sau: - chia nhỏ thông tin thành thành phần phù hợp tổ chức chúng lại thành mối quan hệ toán - phân biệt kiện từ giải thiết khẳng định giải thiết phải tạo nên để chứng minh quy tắc 14 - kiểm tra tính qn giả thiết giả định thơng tin cho Sau phân tích xong tốn học sinh u cầu xếp yếu tố phần lại với để có cơng thức hay quy luật mà trước em chưa thấy rõ ràng Khả xác định tiêu chuẩn giá trị cho ý tưởng hay sản phẩm đưa phán xét xác đáng gọi đánh giá Sâu ví dụ mục tiêu thuộc phạm trù khả bậc cao Ví dụ 12: Trong khải triển sau có số hạng hữu tỉ  34  124 - Lời giải: Trong khải triển nhị thức TK 1 =C k 124C  34  3   = C 124 k k k 124  124 số hạng thứ k+1 là: 124 k k 54 (0  k  124) TK 1 số hữu tỉ số 124-k k số tự nhiên  (124-k) chia hết cho k chia hết cho    k chia hết cho k = 4t Vì  k  124   4t  124   t  31, t  N Vậy có 32 giá trị t tức có 32 giá trị k theo yêu cầu đề Suy khai triển có 32 số hạng số hữu tỉ 15 Ví dụ 13: Cho n > không đổi p lấy giá trị từ đến n Tìm min, max C C p n Lời giải: Vì C p n =C Ta có C C Vậy C p n n p n >C n-1 nên ta cần chọn p giá trị từ đến     p n 1  p n p 1 n = n-p+1 n+1 >  p< p p n nhỏ p = p = n -1 ứng với p n C C lớn p = C p n = C n p n =n n n-1 n n lẻ p = n chẵn nghĩa p = 2   2 Ví dụ 14: Trong thi hoa hậu có 17 nữ sinh dự thi Để tìm số cách chon hoa hậu, hậu một, hậu hai, học sinh giải sau: - Có 17 cách chọn hoa hậu - Chọn xong hoa hậu 16 nữ sinh - Chọn hậu 16 nữ sinh có C26 cách - Theo nguyên lý phép đếm có 17.C26 cách Lời giải sai sai từ gian đoạn nào? A.1 B.2 C.3 Giải: 16 D.4 câu trả lời C Vì bước học sinh nhầm lẫn tổ hợp chỉnh hợp chọn có thứ tự 17 Tài Liệu Tham Khảo [1] Nguyễn Đăng Minh Phúc (2010), Tài Liệu Đánh Giá Trong Giáo Dục Tốn, Trường ĐHSP – Đại Học Huế [2] Đồn Quỳnh (tcb) – Nguyễn Huy Đoan (cb) – Nguyễn xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng (2007), Đại Số Và Giải Tích Nâng Cao 11, Nxb Giáo dục [3] Trần Thành Minh (cb) – Nguyễn Thuận Nhờ - NGuyễn Anh Trường, Giải Tốn Tích Phân Giải Tích Tổ Hơp 12 (2006), Nxb Giáo dục [4] Hà Văn Chương (2002), 342 Bài Tốn Giải Tích Tổ Hợp, Nxb Giáo dục 18 ... Đánh giá dạy học tốn Nhóm 5: Thành viên nhóm Phạm Trọng Mạnh Võ Hữu Quốc Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Thanh Ngân Đề tài: ĐÁNH GIÁ CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC CỦA BLOOM THÔNG... tổ hợp – xác suất ” em học sinh phải đạt mục tiêu giáo dục toán theo mức độ nhận thức Bloom sau A Nhận biết - Kiến thức thông tin - Kỹ thuật kỹ B Thông hiểu - Chuyển đổi - Giải thích C Vận... Phân tích - Tổng hợp - Đánh giá Nội dung cụ thể mục tiêu dạy học chương “ tổ hợp – xác suất ” theo mức độ nhận thức Bloom trình bày sau Nhận biết 1.1 Nhận biết kiến thức thông tin Trong phạm trù