Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.. Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS do đó AP =AS và APS là tam giác cân tại A. b AM và A
Trang 1BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ)
ĐỀ SỐ 1
Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2
3 4
3 8
1x3 x2 x
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
(6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1)x x x 3 7
4
x
b) Tính giá trị biểu thức P = x y Biết 2 – 2 2 = (x + y ≠ 0, ≠ 0)
x y
c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x2x4x6x 8 2015 cho đa thức
2
x x
Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2
a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định
b) Rút gọn A
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 c)
18 3
9 3
4 24 10
2 4
5
3
2 2
2 x x x x x
x
b) 53x 3x5 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương
Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt
cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
c) Chứng minh P là trực tâm SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Bài 6 : (0,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1 Chứng minh a3 + b3+ ab
2 1
HƯỚNG DẪN CHẤM
a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 0,5 điểm
2
3 4
3 8
2 3
1 1 2
1 3 1 2
1 3 2
1
x x
x
3
1 2
1
x
0,5 điểm
c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =x x1 5 0,5 điểm
Bài 1
(2 điểm)
d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x
+2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x +
2015)
0,5 điểm
Bài 2
(1,5 a) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1)x x x = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x –
7 3 4
x
0,5 điểm
Trang 23x + 7 =
4
77 4
b) x2 – 2y2 = xy x2 – xy – 2y2 = 0 (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 x = 2y Khi đó A = 2 1
0,5 điểm điểm)
c)
tx x t t
P x t t t t
Do đó khi chia 2 cho t ta có số dư là 2000
2 2000
t t
0,5 điểm
Bài 3
(1,25
điểm) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên
dương của A
Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 12x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1
2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2
x y 1 0
1 x 2 3 y 2
+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x
2
và y, chẳng hạn:
2 1 x
2
2 3 y
2
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
0,25 điểm
0,25 điểm
a) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 x3 - x2 - x2 + x - 6x + 6 = 0 (x - 1)(x2 - x - 6) = 0
(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0
3 2 1
x x x
0,5 điểm
b) 53x 3x5 3x5 3x5 x3 50
3
5
Bài 4
(2 điểm)
c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3
2
x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {0;2}
0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 3d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương.
x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0
(x+1)2 - (y+2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương
Nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 x = 3; y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)
0,5 điểm
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp
a) a) ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác
vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD
(cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR, nên AQR là
tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:
ABP = ADS
do đó AP =AS và APS là tam giác cân tại A.
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác
vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ
Mặt khác : PAN PAM= 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba
góc vuông, nên nó là hình chữ nhật
c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR
Vậy P là trực tâm của SQR.
d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = QR
2 1
Bài 5
(2,75
điểm
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có
NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách khác,
bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường
trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = )
3
2
3
1
Vậy min A = 2010 khi (x = ; y = )
3
2
3
1
0,25 điểm
Bài 6
(0,5
điểm
b) Ta có a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab - 0 (a+b)(a2+ b2-ab) + ab- 0
2
1
2
1
2
1
a2+b2- 0 (vì a + b =1) 2a2+2b2-1 2a2+2(1-a)2-1 (vì b = 1- a)
2
2a2+2 - 4a + 2a2 - 1 4(a2- a + )
2
1
4
1 0
đpcm
0,25 điểm
ĐỀ SỐ 2
Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:
a/ a2 – 7a + 12
b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz
d/ (x2 - 8)2 + 36
Trang 4Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết:
44 x
2011 2012 2013 2014
x x x x
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Cho A = 3 2 24 4 Tìm để A là số nguyên
b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và 1 3 5
a b c b/ Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b 0)
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Cho a + b + c = 1 và 1 1 1 = 0 Tính
a b c
b/ Cho a + b + c = 2014 và 1 1 1 1
2014
a ba cb c
b ca ca b
Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C,
bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm
B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC Gọi D là trung điểm của BC Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:
Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành
Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x1x3x4x 6 10
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (4 điểm)
a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12
= a(a – 3) – 4(a – 3)
= (a – 3)(a – 4)
b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + 1
= x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1)
= (x2 + x + 1)(x4– x + 2015)
c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =
= (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy]
= (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy]
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10)
Bài 2: (4 điểm)
3x 3x x
1 15
c/ 3x 5 4 Xét 2 trường hợp:
* Nếu x 5/3 ta có: 3x - 5 = 4 3x = 9 x = 3 (t/m ĐK trên)
Trang 5* Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 43x = 1x = 1/3 (t/m ĐK đang xét)
Vậy x = 3 ; x = 1/3
x x x x x x x x
2011 2012 2013 2014
2011 2012 2013 2014
x
Vậy x = - 2015
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Rút gọn A = 1
2
a
Để A nguyên 1 nguyên 1 a = 1; a = 3
2
a
b/ n5 + 1 n 3 + 1 n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) (n 3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n 3 + 1)
(n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vì n + 1 0)
+ Nếu n = 1 thì 0 1
+ Nếu n > 1 thì (n - 1) < n(n - 1) + 1 < n2 – n + 1
nên không thể xảy ra n - 1 n 2 – n + 1 Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a/ Ta có:
Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên:
2
a b c
Suy ra a - 1 = - 4 a = -3;
b + 3 = - 8 b = -11; c - 5 = -12c = - 7
Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - 7
b/ Ta có a + b = ab a = ab - b = b(a-1)
Do đó: a : b = b(a - 1) = a - 1
nên a + b = a - 1 b = -1 và a = -1(a - 1)
a = -a + 1 2a = 1 a = 0,5
Vậy a = 0,5 ; b = -1
Bài 5: (2,0 điểm)
a/ Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm
Phân tích 1 1 1 Phần nào có a+b+c thì thay = 1
a b c
2011
a ba cb c
a + b + c = 2014a = 2014- (b + c);
b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b)
Do đó:
S
Trang 6
=2014 1 3 1 3 2
2014
Vậy S = - 2
Câu 6: (3,0 điểm)
a/ - Xét BDI và CDA có: DB = DC (gt),
(đối đỉnh), DA = DI (gt)
BDI CDA
BDI = CDA (c.g.c)
BI = CA (2 cạnh tương ứng),
(2 góc tương ứng) Mặt khác 2 góc này ở vị trí so le trong nên suy ra BI//AC
BIDCAD
- Xét ABI và FAH có:
AB=AF (gt),ABI FAH (cùng bù với BAC ),
BI = AH (cùng = AC) ABI = EAH (c.g.c)
AI = FH (2 cạnh tương ứng)
b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:
, mà
90
BAIFAK AFH BAI
hay AFK BAI nên 0
90
AFHFAK
90
AFHFAK
90
(vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)
Bài 7: (2 điểm)
a/
- Hình vẽ:
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
ABCD, ta có O là trung điểm của BD
- Chứng minh BEDF là hình bình hành
- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của
EF
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O
b/ Xét ABD có M là trọng tâm, nên 1
3
- Xét BCD có N là trọng tâm, nên 1
3
ON OC
- Mà OA = OC nên OM = ON
- Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành
Bài 8: (1 điểm)
2 2
x
A x x x x
Đặt 2
x x = t
A
I
H K
F
//
//
//
//
O
N M
F
E
Trang 7
2 2
6 10
t
A t t
t Min 1
A đạt được khi t = -3
x Min 1
A
đạt được khi 2
x x = -3
x2 - 7x + 9 = 0 x = 7 13 ; x =
2
2
ĐỀ SỐ 3
Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1) 18x3 - 8
25x 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
Bài 2 (2,5 điểm)
Cho biểu thức: A = 23 1 3 : 25
1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định
2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x
Bài 3 (3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1
Tính giá trị của biểu thức: A =
2) (1,5 điểm) Cho x2 y 2a b2 2
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn
Bài 4 (3,0 điểm)
1) Tìm x:
a) x 1 x 3 x 5 4x
b) (x2 – 5x + 6) 1 x = 0
2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
Bài 5 (3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 - 1
2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2
Bài 6 (5,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC Đường chéo
AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q
1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB
4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB
18x3 - 8 = 2x
25x
2 4 9 25
x
2 3 2 3 2
x x x
Trang 8a(a + 2b)3 - b(2a + b)3
= a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3
= a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) +
+ 3a(a + b)2 + (a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) –
- 3ab(a + b)2 - b(a + b)3
= a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3
= (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] 0,5 2
= (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3]
= (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)
Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1
A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1
= (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + 1
= (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + 1
= (x2 – 7x + 11)2 – 1 + 1
3 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x
2
11
2 2
Vậy A =
a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện:
2
2
2
1 0
1
1
x
x x
x
x x
Với x 1, ta có:
A =
2
=
2
=
5
2
Vậy khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị
Ta có:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) 0,5 Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b) 0,5 1
1
a b a c b a b c c a c b
Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = 0
(x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
3
2 Bởi vì: x + y = a + b x – a = b – y, thế vào ta có:
(b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0
(b – y)[(x + a) – (y + b)] = 0
Trang 9b y
Nếu x + a = y + b x y b a x b
Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn
Vậy trong mọi trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn
0,25 (1)
x x x x
Vế trái luôn luôn không âm với mọi x nên 4x 0 x 0 0,25
x 0 nên x + 1 > 0, x + 3 > 0, x + 5 > 0
0,25 1.a)
Do đó: (1) x + 1 + x + 3 + x + 5 = 4x
x = 9 Vậy x = 9
(x2 – 5x + 6) 1 x = 0 (1)
(1) x2 – 5x + 6 = 0 hoặc 1x = 0
(x – 2)(x – 3) = 0 hoặc 1 – x = 0
x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 1
1.b)
Các giá trị x = 2, x = 3 không thỏa mãn điều kiện (*)
7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = 0
y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = 0
(y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = 0
(y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = 0
(vì (y + 2x – 3)2 0 và 3(x – 2)2 0)
2 0
x
4
2
Vậy x = 2; y = -1 2
1
x y
Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + 1 cho x2 – 1
Gọi thương khi chia f(x) cho x2 – 1 là Q(x), dư là ax + b
Đẳng thức trên đúng với mọi x nên:
- Với x = 1 ta được: f(1) = a + b a + b = 2 (1) 0,25
- Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = 0 (2) 0,25
1
Ta có: A = x2 + 3x + 4 = x2 + 2x =
4
9 4 2
3 2
4
7 2
3 2
x
0,25
4
7 4
7 2
3 0
2
25 , 12 4
49 2
7 2
A
0,25 Dấu “=” xảy ra khi
2
3 0
2
3
x
0,5
5
2
Vậy minA = 12,25 khi x =
-2 3
0,5
Trang 10Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là
1 Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD
Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ABD 0,5
2
Theo câu 1) P là là trọng tâm của ABD 2 2 1 1
Tương tự, ta có: 1
3
CQ AC
Do đó: PQ = AC – AP – CQ = 1
3AC Vậy AP = PQ = QC
0,5
0,5
3
Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM
Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI là hình bình hành
AI // MD (1)
Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB
0,5 0,5 6
4
KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
EF là đường trung bình của KMI
KI = 2.EF
1 EF=
2KI
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)
BF // AE và AF = AE Tứ giác ABFE là hình bình hành
EF = AB (5)
Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi khi M di động trên cạnh CD
0,5
0,5
ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (3,0 điểm)
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) 12x3 + 16x2 - 5x - 3
b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thì x = y = z
b) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn:
b c a c b a
Chứng minh rằng a = b = c
Câu 3 (4,0 điểm).
Giải các phương trình:
a) 2x 1 2x5 = 4 (1)
2
x
Câu 4 (4,0 điểm).