Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 môn: Toán học46347

Từ M kẻ đường thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD EAB;FAD.. Chứng minh : Các đường thẳng BF, CM và DE đồng quy.

PHềNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 8

Môn : Toán

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày:…./…

Câu1: (5điểm)

1.Chứng minh rằng:(a+b+c)3 - (a3+b3+c3) chia hết cho 24 nếu a, b, c cùng tính chẵn lẻ

1 100

1 100

1 4

1 4 1 3

1 3 1 2

1 2

3 3

3 3

3 3

3



















2 3

Câu 2: (3điểm)

Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác và a+b+c = 2

Chứng minh : a2+b2+c2+2abc < 2

Câu 3: (4điểm)

Tìm x, y, z Z + thỏa mãn các phương trình sau:

1/ xy - 4x = 35 - 5y

2/ x + y + z = xyz

Câu 4: (4điểm)

1/ Biết : 4x - 3y = 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2x2 + 5y2

2/ Cho a + b = 1 Chứng minh :

3 b a

) 2 ab ( 2 1 a

b 1 b

a

2 2 3











Câu 5: (4điểm)

Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M Từ M kẻ đường thảng

ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (EAB;FAD)

Chứng minh : Các đường thẳng BF, CM và DE đồng quy

………Hết……

đáp án

1 Biến đổi: B= (a+b+c)3 -(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a) 3

* a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B 8

* a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B 8

Mà (3;8)=1B 24

1 100

1 100

1 4

1 4 1 3

1 3 1 2

1 2 A

3 3 3

3 3

3 3

3



















10101

99

9901 101

21 3

13 5 13 2

7 4 7 1

3 3

10101

21 13 7

9001

13 7 3 99

4

3

2

1

101

5

4

3

10101

10100

2

3 10101

3 2

101 100



2 3

Câu 3:

1/ Biến đổi phương trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trường hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)

2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<xyz

Suy ra : xyz=x+y+z3zxy3 (*)

Nếu x=y=z3xx3 x0;x2 3 Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba

số không bằng nhau

Từ (*)xy3xy1hoặc xy=2 Nếu xy=1xy1(vì x,y Z)zz2 (vô lí ) Nếu xy=2x 1;y2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3z3

Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó

Câu 4:

4

y 3

7

8

49 y 42 y

5 5 8

3 y







Vậy Mmin =5 khi y=

7 3 2/Có a=1-b

Vế trái :

1 1

b b

1 1

b 1

b 1

b

b 1 1 a

b 1 b

a

2 2

3 3

3











2 ab 2 3 b

1

b

2 b

1

b

2

2 2 2













Câu 5:

Goi giao điểm của EM và DC; FM

và BC ; BF và DE lần lượt là E/ ; F/ và O

Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/

bằng nhau EFMCE/MMCE/ MEF

(1)

EF

CM



Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật

C D

M

O F

/

/

E

/

F

E

CF/FDAEDDFCADEDCFCFDE Tương tự có: FBCE0

là trực tâm tam giác CEFCOEF(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay

DE,CM,BF đồng quy

Câu2:

a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0a<1,b<1,c<1

 (1-a) (1-b)(1-c)>0  1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0

-1+

2

c b a bc ac ab 2

c b





















-1+

  

0 abc 2

c b a 2

c b

a  2  2  2  2  

1 Hay: a2+b2+c2+2abc<2

2

c b

a2  2  2  

