Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán45633

Phương trình bậc hai đầy đủ : Phương pháp giải : - Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điề

Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán

I Phương trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải phương trình)

1 Phương trình bậc hai dạng khuyết :

a/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất : 2

ax = b Phương pháp giải :

- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải

- Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng : x2 = b

a +) > 0 phương trình có nghiệm b

a

b x

a

 

+) b = 0, a 0 phương trình có nghiệm x = 0ạ

+) < 0 phương trình vô nghiệm.b

a

Vớ dụ: Giải phương trình sau : 2

2x   8 0

b/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :

Phương pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa

về phương trình tích rồi giải

Vớ dụ: Giải phương trình sau : 2

3x  5x  0

2 Phương trình bậc hai đầy đủ :

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải

- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phương trình đặc biệt

+) Dựa trờn điều kiện: a +b + c = 0 hoặc a – b + c = 0

+) Áp dụng hệ thức Vi ẫt: PT ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) nếu cú 1 2

1 2

x x m.n

ù ớ

ùợ thỡ ph cú hai nghiệm x1 = m; x2 = n hoặc x1 = n thỡ x2 = m

Vớ dụ: 2

b, 2x  3x 5   0

b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu :

Phương pháp giải :

- Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Bước 2 Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

- Bước 3 Giải phương trình vừa nhận được

- Bước 4 Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho

Vớ dụ: x 2 6

c/ Phương trình tích A.B 0 A 0

ộ = ờ

ờ

*Vớ dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Toỏn 9):Giải cỏc phương trỡnh

a) (3x 2 - 5x + 1)(x 2 - 4) = 0

b) (2x 2 + x - 4) 2 -(2x-1) 2 = 0

Chỳ ý tới hai tớnh chất của phương trỡnh bậc 3: ax + bx + cx+ d= 03 2

Nếu a+ b+ c + d = 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm x =11

Nếu a – b + c – d = 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm x = -1.1

Khi đó nhận biết được nghiệm, ta phõn tớch được vế trỏi của phương trỡnh thành nhõn tử.

Giải phương trỡnh đưa về dạng tớch chủ yếu dựng phộp phõn tớch đa thức thành nhõn tử

để đưa phương trỡnh về dạng phương trỡnh tớch ta sẽ được một phương trỡnh mà vế trỏi gồm cỏc phương trỡnh bậc nhất, phương trỡnh bậc hai đó biết cỏch giải.

Phương trỡnh bậc 3 cú cỏc hệ số nguyờn Nếu cú nghiệm nguyờn thỡ nghiệm nguyờn đú phải

là bội số của hạng tử tự do ( Định lớ về sự tồn tại của nghiệm nguyờn của phương trỡnh với

hệ số nguyờn

4 Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et).

II Phương trình bậc hai có tham số

1 Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.

2 Tìm tham số biết số nghiệm của phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có

nghiệm hoặc vô nghiệm)

3 áp dụng định lý Vi-et.

a/ Tìm tham số khi biết nghiệm của phương trình

b/ Tìm tham số khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương hoặc cùng âm) c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :

- Hệ thức đối xứng

- Hệ thức không đối xứng

d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số

e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số.

f/ Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình

Bài 2 Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : 2 (1)

x  mx    m 3 0

a/ Giải phương trình với m = - 2

b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình Tính 2 2 3 3 theo m

1 2 1 2

x  x ; x  x

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2 2

1 2

x  x  9

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m

Giải

a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :

2

2

  

 

Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b/ Phương trình : 2 (1)

x  mx    m 3 0

Phương trình có nghiệm x ; x1 2    0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2

1 2

x x m (a)

x x m 3 (b)





x  x  (x  x )  2x x   ( m)  2(m 3)   m  2m 6 

x  x  (x  x )  3x x (x  x )   ( m)  3(m 3)( m)     m  3m  9m

c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x ; x1 2    0

Khi đó 2 2 2

1 2

x  x  m  2m 6 

1 2

x  x   9 m  2m 6    9 m  2m 15   0

2

=> phương trình có hai nghiệm : m1 1 4 5; m2 1 4 3

Thử lại : +) Với m       5 7 0 => loại.

+) Với m       3 9 0 => thỏa mãn

Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2 2

1 2

x  x  9

d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x ; x1 2    0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2

1 2

x x m (a)

x x m 3 (b)





Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c)

Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình :

Thay 1 vào (b) ta có phương trình :

2



  



2 2 2 2 (m)

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1

2

13 1

2.3

m

 

 

Thử lại : +) Với m      2 0 => thỏa mãn

+) Với m 7 25 0 => thỏa mãn



Vậy với m 2; m 7 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

3

   

e/ Phương trình (1) có nghiệm 2

1

x     3 ( 3)  m.( 3)       m 3 0 2m 12    0 m  6

Khi đó : x1 x2    m x2    m x1  x2      6 ( 3) x2   3

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  ac   0 1.(m 3)    0 m 3    0 m   3

Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

1 2 1 2

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CÓ MỘT NGHIỆM CÓ THỂ NHẨM ĐƯỢC.

Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ¹ 0) có một nghiệm x = a

Bằng phép choa đa thức (hoặc dùng lược đồ horner) phân tích vế trái thành: (x - )(axa 2 +

b1x +c1) để đưa về dạng phương trình tích

(x - )(axa 2 + b1x +c1) = 0 2

ax b x

x

0 c

a

é = ê

ê

Giải phương trình bậc hai ax2 + b1x +c1 = 0 ta được các nghiệm ngoài nghiệm x = của a

phương trình bậc ba

Sơ đồ horner;

**Công dụng:

Dùng để chia một đa thức bậc n có dạng a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 0 cho biểu thức (x-a)

Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, sõ đồ Hoc-ne thường được dùng nhiều nhất trong việc giải phương trình bậc 3 (hay bậc cao hơn), khi ta đã biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm)

Cách chia:

Nếu không dùng sõ đồ hoc-ne, bạn vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8 để thực hiện việc chia đa thức Ngoài ra, nếu để ý kỹ, bạn sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng sõ đồ Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà bạn đã học.

**Giả sử ta có đa thức x 3 + 2x 2 – 5x - 6 Bây giờ, ta muốn chia đa thức này cho biểu thức (x-2) Ta lần lượt thực hiện các bước sau:

!/ Lần lượt viết các hệ số của đa thức lên một hàng ngang, và số a nằm bên trái, như bảng sau:(với b 0 =a0,các b khác tìm bằng câu thần chú: Lấy đầu nhân trước ,cộng trên )

Ở đây, có một lưu ý nhỏ: Vì bạn chia cho đa thức (x-2) nên số a là 2, nếu đa thức chia là (x+2) thì số a phải là -2 vì

x –(-2) =

Bạn hãy nhớ câu thần chú: "Cắt đầu đem xuống" Vì số 1 đứng đầu, ta đem số 1 xuống hàng dưới(b 0 = a0 = 1)

Số 1 chạy xuống dưới, thấy số 2, liền chạy đến ôm số 2 Ta lấy 2*1 Hai đứa này ở chung vẫn thấy buồn, nên nó chạy lên hàng trên, kéo hệ số tiếp theo xuống Bây giờ, ta có 2*1+2=4.( Lấy đầu nhân trước ,cộng trên ) Ta đem số 4 này xuống hàng dưới

Tương tự, ta xem số a như một cô gái đẹp, mỗi số mới ở hàng dưới là một chàng trai Mỗi chàng trai mới xuất hiện

ở hàng dưới đều chạy đến ôm cô gái đẹp đó (số a, trong ví dụ này là số 2), rồi nhảy lên trên, cộng với hệ số

trên để tạo thành một số mới ở hàng dưới Cứ tiếp tục như thế cho đến số cuối cùng.

(4*2-5=3 ฀ ta viết hệ số 3 ở hàng dưới) (3*2-6=0)

Cuối cùng, ta có (x 3 +2x 2 –5x-6):(x-2)=(x 2 +4x+3)

Hay:(x 3 +2x 2 –5x-6)=(x-2).(x 2 +4x+ 3)

Đa thức th ươ ng sẽ có bậc nhỏ hơn đa thức bị chia là 1, vì đa thức thương nhân với biểu thức (x-a) sẽ ra biểu thức bị chia.

Bây giờ, giả sử đề yêu cầu giải phương trình bậc ba: x 3 + 5x 2 + 2x -8 =0,ta làm như sau:

Cách 1:Bấm máy (hoặc tính tổng các hệ số để nhẫm nghiệm)

Cách 2: Ta thấy phương trình trên có 1 nghiệm x=1 ( thế x=1 vào biểu thức trên sẽ thấy đa thức =0).Sau khi

nhẩm được nghiệm x=1,ta chia đa thức (x 3 +5x 2 +2x-8)cho (x-1) Dùng sõ đồ Horner như sau:

Ta được: x 3 + 5x 2 + 2x -8 = (x-1)(x 2 +6x+8).Bây giờ, ta chỉ việc giải phương trình bậc hai x 2 +6x+8=0, bạn sẽ dễ dàng tìm được 2 nghiệm còn lại là x 2 =-2 và x 3 =-4

Vậy, ta kếtluận phương trình đã cho có 3 nghiệm: x 1 = 1; x2=-2, x3=-4

Lưu ý trong việc giải pt nếu làm đúng thì số cuối cùng của hàng thứ 2 phải là số 0, nếu khác số 0 thì nghĩa là bạn có chỗ nào đó làm sai, nên coi kĩ lại.

SƠ ĐỒ HOOCNER

Dùng máy 570 nhẩm nghiệm,sau đó dùng Hoc-nơ là OK

Nhẩm nghiệm : lấy ước chung của số cuối chia cho số đầu là được, sau đó thử lại vào phương trình Đa số các phương trình là mò nghiệm kiểu đó.

VD: Phương trình bậc 4 : x 4 +2x 3 +x 2 -2x -2.

_Đầu tiên là phải mò ra được nghiệm của phương trình bằng cách lấy ước của d/a, nhưng trong VD này thì bạn có thể thấy ngay nghiệm của phương này là 1.

_Đến đây thì tốt quá rồi, khi đã mò được nghiệm thì dùng lược đồ hoocne để phân tích

+Bạn lấy các hệ số a,b,c,d như sau 1 2 1 -2 -2

+Và điền giá trị nghiệm bạn mò được 1 1 3 4 2 0

+Tiếp theo là hạ giá trị a xuống(ở đây là 1)

+Lấy a nhân với nghiệm rồi cộng với b

+Tương tự lấy b nhân với nghiệm và cộng với c, rồi c nhân với nghiệm cộng với d

+Nếu giá trị cuối cùng là 0 thì bạn đã làm đúng rồi.

_Cuối cùng chỉ việc lấy các giá trị trên và hạ bậc phương trình bậc 4 trên được :

(x-1)( x 3 +3x 2 +4x+2)

3 Phương trình bậc bốn:

Phương trình bậc bốn là phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = 0 trong đó a, b, c, d ,e là các hằng số cho trước, a  0

Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về dạng phương trình bậc hai 3.1 Phương trình trùng phương:

a) Dạng tổng quát:

Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hệ số, a 0

b) Cách giải:

 Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t từ đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0

 Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t

trình ban đầu)

3x  2x   1 0 (a)

đặt x2 = t  0 (a) <=> 3t2-2t -1 = 0

Nghiệm của phương trình (b) : t1= 1; t2 = 1 thoả mãn t

Với t1= 1 =>x2 = 1=> x = 1

Với t2 = => x1 2 = => x=

3

1

3

x  x   x  x  

*Ví dụ 2: Giải phương trình: 4 2

2x  3x   2 0

đặt 2 ta cú phương trỡnh

( 0)

x t t























2

1

2

0 2

3

2

2

1

2

t

t

t

t

2

1

2  

t

Với t1 = 2 x2 = 2 x =  2

Vậy S =  2; 2

*Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh: 4 2

3x  10x   3 0

( 0)

3t  10t  3 0 

Vậy phương trỡnh vụ nghiệm ( loại)

* Ví dụ 4 : Giải phương trình

4

7 1

x x

2x 4 + 5x 2 -7=0

2 2

4

4 7

2x x   x

đặt x 2 =t với t > 0 ta được

2t 2 +5t -7 =0

Có :2+5-7=0 nên

t 1 =1(thoả mãn) ; t 2 = (loại)

2 7



với t1=1 suy ra x 2 =1 suy ra x1=1 ; x2=-1.

Vậy phương trình có hai nghiệm x1=1 ; x2=- 1

1 3 3

t t

  





 



+ Phương trình vô nghiệm khi:

- Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm

- Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm cùng âm

+ Phương trình có nghiệm khi:

một nghiệm âm

a.Cách giải:

* Đặt điều kiện để phương trình xác định nếu có

* Đặt ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn mới

* Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm

b Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

3(x + x) - 2(x + x) 1 - = 0

(x - 4x+ 2) + x - 4x- 4 = 0

Giải

3(x + x) - 2(x + x) 1 - = 0

3t - 2t- 1 = 0

















3 1 1 2

1

t t

Với t1=1, ta có

2 2

hay x x

Với t2= ta có 1 hay Phương trình này vô nghiệm.

3

3

0 3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

(x - 4x+ 2) + x - 4x- 4 = 0

Với t1 = 2 ta có 2











4

0

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0; x2 =4

3.3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị tuyệt đốihoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ Giải phương trình (3)

Giải

Cách 1

Giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm

Kết luận Vậy nghiệm của phương trình là

3

2



x

Cách 2.

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả:

(3)

- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ

- Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đều dương để đưa về phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn

Chú ý: Sau khi tìm được nghiệm cần đối chiếu , kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp

Ví dụ Giải phương trình (1)

Giải: Điều kiện của phương trình (1) là

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả

(1)

mãn điều kiện của phương trình (4) , nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị

Kết luận Vậy nghiệm của phương trỡnh (4) là

3.5 Phương trỡnh dạng ax 4 +bx 3 +cx 2 kbx +k± 2 a = 0.(Phương trỡnh hồi quy)

Chúng ta hay gặp dạng phương trình này ở trường THCS đó là phương trình đối xứng

a) Phương phỏp giải:

x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh Chia hai vế của phương trỡnh cho x2 ta được :

2 2

2

x

k x k x

k x t x

k x

2 2 2

2 2







Ta cú phương trỡnh bậc hai: 2

b) Vớ dụ:1) Giải phương trỡnh x4 + 4 = 5x( x2 -2) (1)

Giải

Ta cú (1) x4 – 5x3 +10x +4 = 0

x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh Chia hai vế của phương trỡnh cho x2 ta được 2

2

Đặt t = x 2 ta cú

x

2 2

4 4

4

x x t

x x

Ta cú phương trỡnh 2











4

1

t t

Với t = 4 ta cú : 2  4 x2  4x 2  0 x 2  6

x x

























2

1 0

2 1

x

x x

x x

x

Vậy S = {- 1; 2; 2 ± 6}

2)giải phương trình (PT đối xứng)

Vì : x=0 không là nghiệm nên ta chia hai vế cho x2

0 1 3 4

4  x  x  x 

x

(a) 0 4

1 3 )

1









 







x

x x

x

Đặt

1

2    







t t

a

t x

x

Phương trình này vô nghiệm

0 1 1

1 1

0 2

3

2 1

2































x x x

x t

t

t

phương trình này có nghiệm kép x=-1 0

1 2 2

1

2          

x x t

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x=-1

Nhận xột: Giải phương trỡnh “hồi quy” bằng những phộp biến đổi tương đương và “đổi biến”

ta đưa về phương trỡnh bậc hai trung gian rồi trả biến sẽ tỡm được nghiệm phương trỡnh

“hồi quy” ban đầu

* Số nghiệm của phương trỡnh “hồi quy” phụ thuộc vào số nghiệm của phương trỡnh bậc hai

- Nếu phương trỡnh bậc hai trung gian vụ nghiệm thỡ phương trỡnh ban đầu vụ nghiệm

- Nếu phương trỡnh bậc hai trung gian cú nghiệm t1,t2nhưng cỏc phương trỡnh

+ Vụ nghiệm thỡ phương trỡnh đầu vụ nghiệm

+ Cũn lại phương trỡnh đú cú nghiệm nào thỡ phương trỡnh đầu cú nghiệm đú.

3.6 Phương trỡnh dạng a[(fx)] 2 +bf(x) + c = 0 (1)

Trong đú a  0; (fx) là một đa thức biến x; x là ẩn số của phương trỡnh

a) Cỏch giải:

- Sau khi tìm TXĐ của phương trình đổi biến bằng cách đặt (fx) = t Ta đưa phương trình

về dạng : at2 + bt +c =0 (2)

Đây là phương trình bậc hai ta đẫ biết cách giải

- Nếu phương trình bậc hai trung gian (2) có nghiệm t = t0 Ta sẽ tiến hành giải tiếp phương trình (fx) = t0

là nghiệm của phương trình (1)

x + x + x - x+ =

Giải

Biến đổi vế trái của phương trình ta có:

(x + 3 )x - 4(x + 3 )x + 3

(x + 3 )x - 4(x + 3 )x + = 3 0

3

Giải phương trình (3) ta được hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = 3

Với t1 = 1 từ (2) ta có 2 phương trình này có hai nghiệm phân biệt là

và 1

3 13

x

2

 

2

 



Với t2 = 3 từ (2) ta có phương trình này có hai nghiệm phân biệt là x1 3 21 và

2

 

 2

x

2

 

