Tìm số hữu tỉ a để M là số nguyên.. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.. 1 Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng.. Tớnh độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB.. 2 Gọi M là tr
Trang 1UBND huyện Kinh môn
Phòng giáo dục và đào tạo
đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Môn Toán lớp 9 Năm học 2013 - 2014
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1 ( 2.0 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau :
5 3 10
5 3 5
3 10
5 3
M
1
1 1 )
1 ( 4
) 1 ( 4 )
1 ( 4
x
x x
x x
Câu 2 ( 2.0 điểm)
1) Giải phương trình : x4 x2 7 x2 4x7
2) Cho Tìm số hữu tỉ a để M là số nguyên
5
2 2
a
a M
Câu 3 ( 2.0 điểm)
1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x 2x(xy)2yx2
2) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn 2 2 chia hết cho 7 Chứng minh rằng
2 3
2a ab b
chia hết cho 7
2
2
b
a
Câu 4 ( 3.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AC > AB) đường cao AH (H BC) Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E
1) Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng Tớnh độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB
2) Gọi M là trung điểm của của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng Tớnh số đo gúc AHM
3) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh : GB HD
BC AH HC
Câu 5 ( 1.0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
c b a
c b
a c
b a
c b
a M
2 2
Trang 2Hướng dẫn chấm môn toán
1(2điểm) 1(1điểm)
1 5 3
5 3 1 5 3
5 3 1 5 5 2
5 3 1 5 5 2
5 3 2
5 3 10
5 3 5
3 10
5 3
M M
11
6 44
24 )
1 5 3 )(
1 5 3 (
) 1 5 3 )(
5 3 ( ) 1 5 3 )(
5 3 (
11
2 6
M
0,5
0,25 0,25 1(1điểm)
, với
1
1 1 )
1 ( 4
) 1 ( 4 )
1 ( 4
x
x x
x x
1
2 4
4
1 1 2 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 (
x
x x
x
x x
x x
Q
2 2
1 1 1
1
2
2 2
x
x x
x x
Q
1
2 2
1 1 1
1
x
x x
x x
Q
*Nếu 1 < x <2 ta cú
1
2 1
2 2
1 1 1
1
x x
x x
x x
Q
* Nếu x > 2 ta cú
1
2 1
2 2
1 1 1
1
x x
x x
x x
Q
0,25
0,25
0,25
0,25 2(2điểm) 1(1điểm) x4 x2 7 x2 4x7 ĐKXĐ : xR
) 2 ( 4 7
) 1 ( 7 0
4 7
0 7
0 4 7 7
0 4 7 4
7 7
7 4 7
4 7
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
- Phương trỡnh (1) vụ nghiệm
- Phương trỡnh (2) cú nghiệm là x 3
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là x 3
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 3(ĐKXĐ : ) 5
2 2
a
a
Đặt n( n là số nguyên ) Ta có
a
5
2
Nếu n = 2 0 8 vô lý
Nếu
2
5 2 2
n
n a
n
5
2 0 2
5 2
n
n a
Do n nguyên nên n = 1 khi đó a = 9 ( thỏa mãn) Vậy a = 9
0,25
0,25
0,25
0,25 3(1điểm) 1(1điểm) x 2x(xy)2yx2 (1)
Vì x > 0 nên ( 1) x2 2x(xy)2yx2
2 ) 2 )(
1 (
2 2
2
2 2
2
y x x
x y xy x
x
Do x, y là số nguyên ta có bảng sau
Mà x, y > 0 nên có các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (2; 2) và (3; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25 2(1điểm) Ta có : 2a2 3ab2b27
2 7 7 ) 2 (
2 a2 b2 ab ab ab 2 ab
Do 7ab7( với a, b nguyên)2ab27 vì (2, 7) = 1
Từ đó ta có a2 b2 (ab)(ab)7 Vậy a2 b2 chia hÕt cho 7
0,25
0,25 0,25 0,25 4(3điểm)
D
E M
C B
A
1(1điểm) Xét CDE và CAB có chung C 0
90
CDECAB
Trang 4Nên CDE đồng dạng CAB CD CE CD CA
CA CB CE CB
Xét BEC và ADC có C chung và CD CA
CE CB
BEC đồng dạng ADC (c.g.c) ( Hai góc
tương ứng)
Ta có HD = HA (gt) AHD vuông cân tại H 0
45
HDA
135
135
45
AEB ABE vuông tại A AB = BE.sin m = BE BE =
m 2
0,25
0,25
0,25 0,25
2(1điểm) Ta có tam giác ABE vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến
đồng thời là đường cao ta có : BM.BE = AB2
ABC vuông tại A , đường cao AH
ta có : BH.BC = AB2
BM.BE = BH.BC
Xét BHM và BEC cóB chung và BH BM
BE BC
Nên BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
135
45
AHM
0,25 0,25
0,25
0,25 3(1điểm) Tam giác ABE vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến nên
AM cũng là đường phân giác nên AG là phân giác của BAC Theo tính chất đường phân giác ta có: GB AB
GC AC
mà ABC đồng dạng DEC AB ED
AC DC
DE song song AH song song với AH ED AH HD
DC HC HC
GC HC GB GC AH HC
0,25 0,25
0,25 0,25 5(1điểm) * Ta chứng minh với hai số dương x, y ta luôn có
(*) Dấu bằng xảy ra khi x = y
4
x y x y
* Áp dụng đẳng thức Côsi : Ta có
1
Ấp dụng bất đẳng thức (*)
0,25
0,25
Trang 51 1 1 1 1
Tương tự:
3
M
Giá trị lớn nhất của M là khi a = b = c3
2
0,25
0,25
(Nếu học sinh giải bằng cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa )