Bài giảng môn toán lớp 12 Chủ đề 3: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit45350

Tìm m để phương trình a có hai nghiệm thực phân biệt.. Suy ra phương trình không có nghiệm với x0.

Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo

Chủ đề 3: phương trình, bất phương trình

mũ và lôgarit

1.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

3 2 2

1

2

2









x x x

x

x x

Hướng dẫn:

Ta có log3(x2 x1)log3(2x2 2x3) x2 3x2

) 3 2 2 ( log ) 3 2 2 ( ) 1 (

log ) 1

( 2    3 2    2    3 2  

Xét hàm số f(t)tlog3t, với t 0, ta có 0 Suy ra hàm số đồng

3 ln

1 1 ) (

t t

biến trên khoảng (0;).

Suy ra f(x2 x1) f(2x2 2x3) (x2 x1)(2x2 2x3) x2 3x20

.













2

1

x

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 2 2 5.

1

x

Hướng dẫn:

1



1





x

Xét hàm số ( ) 2 2 5, với

1

 x xx

x

0 2 ln 2

1 2 ln

2

)

(

'

1 2





x

x x

Bảng biến thiên:

0 0

1 -1

+ 

-3

+ 

-3

+  0

- 

f(x)

f'(x)

x

Suy ra     















1

0 1

0 )

x

x x

f

Vậy nghiệm của bất phương trình là x1;01;

2.Phương pháp chuyển thành hệ:

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) 20102x  2010x 12 12 (HSG Tỉnh NA 2010-2011)

b)22x  2x6 6; c) ;

1 ) 1 2 ( log 2

3x  3 x 

H ướng dẫn:

a)Đặt x và , u>0,v>0

u 2010  2010x12

v

Suy ra 















 12

12

2

2

u v

v u





















0 ) 1 )(

(

12

2

v u v u

v u



















0 1

12

2

v u

v u















 1

0 11

2

u v

u u























2

1 5 3 2

1 5 3

v u

2

1 5 3 log 2

1 5 3

x x

Vậy nghiệm của phương trình là

2

1 5 3 log2010 



x

c)Đặt t log (23 x1) ta có hệ phương trình:

.

x

u

u

x





Xét hàm số f x( )3x2x1, ta có: 2

'( ) 3 ln 3 2;x ''( ) 3 (ln 3)x 0,

mà f '(0)ln 3 2 0; f '(1)3ln 3 2 0;

suy ra f x'( )0 có nghiệm duy nhất x0(0;1).

Ví dụ 3.Giải phương trình: log5(3 3x1)log4(3x 1)

Hướng dẫn:

Đặt log5(3 3x 1) log4(3x 1),

t t



















t x

t x

4

1

3

5 1 3

3



















t x

t t

4 1 3

5 2 3















































t x

t t

4 1 3

0 1 5

2 5

1 3

5

2 5

1 3 )



























t t

t

4.Phương pháp đổi biến số:

3

2 1

10 1

10 log3x   log3x  x

Hướng dẫn:

3

2 1

10 1

10 log3x   log3x  x  log3x  log3x log3x

3 3

2 1

10 1



.

3

2 3

1 10 3

1

10 log3 log3 























x x

x t

3

log

3

1 10











.

3

10 1 0

3 2 3

3

2

1  2      

t

t

3

10

1



3

1 10 3

1

10 log3    









x

Bài tập:

Câu 1.Giải các phương trình:

3 2

2

1

2

2









x x x

x

x x

3x6x 2x

Câu 2.Giải các phương trình sau:

a)3x  x2 1; b) (HSG Tỉnh NA 2004) ;

2 4006 2005

2003x  x  x

2

3 (

3

Câu 3 Giải phương trình:

a)4x (5x).2x 4(x1)0 ;

b) 4 1 (5log2 ).2 14(log2 1)0.

x

x x x

Câu 4 Giải phương trình:

2

1 ) 7 2 8

(

logx1 x  x 

b) log2( x22)3log2 x x3 2 x25;

3 2

1 log

) 4 ( 3

2

1













x

x x

x

x

Câu 6 Tìm m để phương trình

a) có hai nghiệm thực phân biệt.

2 cos

2

x x m x

b) log22 x2log2 x3 m(log2 x3) có nghiệm x32;

Câu 7.Tìm m để bất phương trình :

a) 4xm.2xm30 có nghiệm.

b) log2(x2 2xm)8 log4(x2 2xm)100 nghiệm đúng với mọi x[0;2].

c) 92x2x (2 1).62x2x  42x2x 0 nghiệm đúng với mọi

m m

2

1 [ ] 2

1

; (  



x

d) log5(x2 4xm)log5(x2 1)1 nghiệm đúng với mọi x(2;3);

Câu 8.Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm thực

4 log ( 2 3) 2 log (2 2) 0.

2 1 2 2

2

2















m x x

m

x

Câu 9.Giải các phương trình:

log (x6 x)log x tlog3 x xlog 7 113log 7x 2x

c) log (73 x2)log (65 x19);

Hướng dẫn:

Xét hàm số f x( )log (73 x 2) log (65 x19), ta có :

5

7 2 6 19

Suy ra x1 là nghiệm dương duy nhất của phương trình.

Với x0 ta có : log (73 x2) 1 và log (65 x19)log 19 15  Suy ra phương trình không có nghiệm với x0.

Câu 10.Giải các phương trình:

a) 22x  2x 6 6 b) log2 log2 1 1.

2 ln ln( 2 ln ) 0

3

x  x x x x  t 3 x2 lnx

Câu 11.Giải các phương trình:

3

131 2 ( log 44 3 2

5

2x  x  x  2  x x 3x 2log3(2x1)1

Câu 12.Giải phương trình: log2( x22)3log2 xx3 2 x25.

Câu 13.Giải các phương trình:

a)32log2 2 1log23 8 2 0; b) ;

x x

x

2

5 2

1 2

3 log











x

5.Phương pháp đổi biến không hoàn toàn:

Câu 14 Giải phương trình:

a)4x (5x).2x 4(x1)0 ; d)3.25 2 (3 10).5 2 3 0;

x

x

b) 4 1 (5log2 ).2 14(log2 1)0.

x

x x x

3 2

1 log

) 4 ( 3

2

1













x

x x

x

x

0 16 ) 1 ( log ) 1 ( 4 ) 1 ( log ) 2 (x 32 x  x 3 x  

6.Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Câu 15 Giải phương trình:

2

1 ) 7 2 8

(

logx1 x  x  log (8 ) log ( 1 1 ) 2

2 1 2

4

1 ) 3 (

log

2

1

2 8

4

7.Phương pháp phân tích thành nhân tử:

Câu 16.Giải phương trình:

a)42x x2 2x3 42 x2 2x34x4; b) 2x2x 4.2x2x22x 40;

c) 4x2x 21 x2 2(x 1 )2 1;

Câu 17.Giải phương trình:

6 24 2

3

3

8    12.3x 3.15x 5x1 20

Câu 18.Giải bất phương trình:

4 x15.2 x x 16 x 0