3 Chứng tỏ rằng trên mặt phẳng tọa độ chỉ có một điểm vừa là điểm cực đại ứng với giá trị m này nhưng lại là điểm cực tiểu ứng với giá trị m khác.. 2 Định m để hàm số có tiệm cận xiên, k
Trang 1Câu I:
Cho hàm số
m x
1 m x ) 1 m ( m x
−
+ + +
−
= ; đồ thị (C m ), m: tham số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1
2) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu Xác định tọa độ các điểm đó
3) Chứng tỏ rằng trên mặt phẳng tọa độ chỉ có một điểm vừa là điểm cực đại ứng với giá trị m này nhưng lại là điểm cực tiểu ứng với giá trị m khác
4) Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị (C m )
5) Tìm m để TCX của (C m ) luôn tiếp xúc với 1 Parabol y = x 2 - 9 cố định
Câu II:
1) Không dùng bảng lượng giác, hãy tính giá trị của: 0 0
250 sin 3
1 290
cos
1
2) Cho phương trình: 3sin 4 x - 2(a + 2)sin 2 xcos 2 x + (1 - a 2 )cos 4 x = 0
a) Giải phương trình khi a = 0
b) Định a để phương trình có nhiều nghiệm nhất trong khoảng ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − π π
2
,
Câu III:
1) Giải phương trình: lg(2 x + x - 13) = x – xlg5
2) Tính tích phân: ∫ tg dx5x
3) Cho f liên tục trên [0, a] và f(a - x) = f(x)
Chứng minh: ∫ = ∫a
0
a
0
dx ) x ( 2
a dx ) x ( xf
Câu IV : Cho mặt cầu có phương trình: (x - 4) 2 + (y - 7) 2 + (z + 1) 2 = 36 (C)
Và mặt phẳng di động có phương trình: (P): 3x + y - z + m = 0
1) Khi m = -9, tính thể tích V của hình nón có đỉnh là tâm mặt cầu còn đáy là hình tròn tiết diện do mặt phẳng (P) cắt (C)
2) Định m để giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng là đường tròn có bán kính lớn nhất
3) Thiết lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng (d):
2
z 1
2
y 3
5
−
−
và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Trang 2Cho hàm số
m x
y
−
1) Khi m thay đổi và khác 0, chứng tỏ rằng đường cong (C m ) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định I
2) Tìm m để tổng khoảng cách từ M thu c (C m ) đến 2 đường tiệm cận bằng 2 2
3) Tìm một hệ thức độc lập giữa tọa độ giao điểm của hai tiệm cận khi m thay đổi Suy ra quỹ tích của giao điểm này
4) Xét Parabol (P): y = ax 2 + bx + c, định a, b, c theo m để Parabol này tiếp xúc với (C m ) tại I và có trục đối xứng là tiệm cận đứng
5) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2
Câu II:
1) Giải hệ phương trình:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
= +
−
0 y 3 x 4 x 2
0 y x 2 y x
2 2
2 2
2
2) Giải bất phương trình: 32log2(x3 + 3x + 4) - 8(x3 + 3x + 4)log23 < 9
3) Chứng minh rằng: nếu a 2 + b 2 + c 2 = 1 thì ab bc ca 1
2
−
Câu III:
Trong một lớp học có 40 học sinh, tìm số cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm 3 người: một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó đời sống thỏa yêu cầu sau:
TH 1 : Không quan tâm đến việc phân công chức vụ
TH 2 : Quan tâm đến việc phân công chức vụ
Câu IV:
Cho 3 mặt phẳng:
(P 1 ): 2x - y + 3z - 1 = 0 (P 2 ): x + 2y - z + b = 0 (P 3 ): x + ay - 6z + 10 = 0 Xác định a, b trong các trường hợp sau:
1) Các mặt phẳng có một điểm chung
2) Các mặt phẳng có một đường thẳng chung
3) Giao của các mặt phẳng là các đường thẳng song song
Trang 3Câu I:
Cho hàm số:
m x
m m 2 x ) 1 m ( mx 2
+
−
− +
− +
=
1) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1
2) Định m để hàm số có tiệm cận xiên, khi đó chứng minh rằng tiệm cận xiên luôn luôn tiếp xúc với một Parabol cố định, xác định phương trình Parabol
3) Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối với đường thẳng có phương trình:
y = -x – (m 2 + m + 1) (d)
4) Định m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị này nằm trong miền x > 0
Câu II:
1) Giải phương trình:
a) 3tg3x – 4tg2x = tg 2 2xtg3x
b) sin 3 x – cos 3 x = sin 2 x – cos 2 x
2) Tìm giới hạn:
x sin
x cos 1 lim
x
+
π
→
3) Giải phương trình: log ( x2 1 ) logx 1x 2
Câu III:
1) Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số:
a)
( 2 )2
4
1 x
1 x y
+
+
=
1 x
y = +−
2) Chứng minh rằng: dx ln 2
1 x
nx cos
1
0
≤ +
∫
3) Rút gọn biểu thức sau: C + 2 C + 3 C + + ( n + 1 ) Cn, n ∈ Z+
n
2 n
1 n
0 n
Câu IV:
1) Viết phương trình của mặt cầu có tâm ở trên đường thẳng: ( )
⎩
⎨
⎧
=
− + +
=
−
−
+
0 14 z y 5 x 4
0 7 z y 4 x 2 : D
tiếp xúc hai mặt phẳng: (P 1 ): x + 2y – 2z – 2 = 0 , (P 2 ): x + 2y – 2z + 4 = 0
−
x cos x sin
dx
; dx x 1 x
x
1
6 6
5 5
Trang 4Cho hàm số: y = x 3 – 2mx 2 + (2m 2 – 1)x – m(m 2 – 1) (C m )
1) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất
2) Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 thỏa điều kiện: x 1 + x 2 = x 1 x 2
3) Định m để đồ thị của đường cong (C m ) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương
4) Định m để (C m ) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành
5) Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong (C 4 )
Câu II:
2
3 3 x 5 x
x
5 3
x x
4x
2
+
−
+ + +
2) Cho phương trình: x a
2
1 x 2
a) Giải khi a = 1
b) Định a để phương trình có nghiệm
Câu III:
1) Giải bất phương trình: log x (x 3 + 1).log x+1 x > 2
2) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình:
g(x) = mx 2 – 4x + 3m + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi giá trị x > 0
Câu IV:
1) Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
x cos x
sin
2
1 2
2
−
≥ +
2) Không dùng bảng lượng giác, hãy tính sin 18 0
Câu V:
1) Cho các phương trình của mặt cầu và đường thẳng: (C): x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 6y + 4z – 15 = 0 (D):
⎩
⎨
⎧
=
−
−
=
− +
−
0 z 2 y x
0 30 z 8 y 11 x 8
Viết phương trình các mặt phẳng đi qua (D) và tiếp xúc với mặt cầu (C)
2) Cho 3 điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2)
a) Chứng minh rằng: 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tính chu vi và diện tích ΔABC
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC
d) Tìm tọa độ điểm I sao cho: IA + 2 IB + 3 IC = 0
Trang 5Câu I:
Cho hàm số: ( )
m 2 x
6 m 2 x 1 m x
+
− + +
=
1) Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu
2) Tìm điểm cố định mà đồ thị (C m ) đi qua, từ đó suy ra tập hợp những điểm cố định mà (C m ) không qua
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị trong trường hợp bài toán có hai cực trị 4) Tìm m để hàm số có 2 cực trị và tiệm cận xiên của hàm số tiếp xúc với A(3, 2) Khảo, vẽ với giá trị m vừa tìm được (nếu có)
Câu II:
1) Giải phương trình:
a) (x – 2)[log 2 (x – 3) + log 3 (x – 2)] = x + 1
b) cos(sin2x) = 1
2) Tìm: lim (3 x3 3 x2 x2 2 x )
+∞
→
Câu III:
1) Cho tam giác ABC có AB = AC và
7
A π & = Gọi độ dài cạnh đáy là a, cạnh bên là b
Chứng minh: a 5 – 4a 3 b 2 + 3ab 4 – b 5 = 0
2) Chứng minh rằng: nếu hai trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông hợp thành 1 góc α thì
5
4 cos ≥ α
Câu IV: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
(d 1 ): ( t R ) ; (d
t 2 1 z
t 2 1 y
t 2
x
∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
=
−
=
+
=
2 ):
3
1
z 1
2
y 1
3
−
−
1) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 )
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 )
Câu V: Tính tích phân
π
e e
e J
; x cos 1 x sin
dx
Trang 6Câu I:
Cho hàm số: y = 3x 2 – (6m + 5)x 2 + (7m + 11)x – 2(m + 3)
1) Khảo vẽ với m = 0
2) Giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành?
3) Tìm m để hàm số có 2 cực trị và 2 cực trị đó đối xứng gốc 0
4) Tìm m để y = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến đến (C 0 ) đi qua A(0; 3)
Câu II:
1) Giải bất phương trình:
x cos 2 3
x 4 4
x 2
≤ + ⎟⎠+
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
2) Giải phương trình: ( x + 1 ) 2 x − 1 − 2 x − 8 = 0
Câu III:
1) Chứng minh rằng ΔABC có góc A = 120 0 khi và chỉ khi: 3
A cos C sin B sin
C cos B cos A
+ +
+ +
−
2) Tính :
dx x cos 1
x sin x B
dx x 2 cos
x sin x sin A
2
0
6
0
3
∫
∫
π
π
+
+
=
+
=
Câu IV: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng:
(d):
⎩
⎨
⎧
=
− +
−
= +
−
+
0 7 z 2 y x
0 1 z y x 2
và hai điểm M 1 (2, 1, 5); M 2 (4, 3, 9) Tìm điểm I ∈ (d) sao cho IM 1 + IM 2 nhỏ nhất
Câu V:
1) Định a để bất đẳng thức: x – ax 2 ≤ ln(1 + x) luôn luôn đúng với mọi x ≥ 0
2) Tính: /2
0
cosx
cosx + sinx
∫
Trang 7Câu I: Cho hàm số: ( ) ( m m ) x 1
2
x 1 m 2 m 2 x
2
x
1) Với giá trị m nào để (C m ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1
3) Tìm m để hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại
4) (C m ) cắt trục hoành tại A(2,-1) viết phương trình tiếp tuyến đến (C -1 ) và đi qua A
Câu II:
1) Giải phương trình: cos 2 x
8
15 x sin x cos 2
2) Cho tam giác ABC và ΔA 1 B 1 C 1 có:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
1
1 1
A A
2
C tg 2
B tg 2
C tg 2
B tg
&
&
Chứng minh ΔABC đồng dạng ΔA 1 B 1 C 1
Câu III:
Trong hệ trục trực chuẩn cho elip (E): 1
9
y 16
= +
1) Viết phương trình đường thẳng qua I(1, 2) biết đường thẳng đó cắt elip tại 2 điểm A, B mà I là trung điểm của AB
2) Tìm quỹ tích các điểm M của mặt phẳng mà từ đó mà kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với elip
3) Chứng minh rằng 2 tiếp tuyến của elip đi qua P(4, -3) vuông góc với nhau
Câu IV:
1) Tính diện tích hình (E) giới hạn bởi: 1
4
y 9
= +
2) Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1, 0, 0); B(0, 0, 1); C(2, 1, 1)
a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác Tính chu vi và diện tích ΔABC b) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
c) Tính các góc của ΔABC và đường cao hạ từ A
d) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với đường thẳng
⎩
⎨
⎧
= + +
−
= + +
−
0 9 z 5 y
x
0 2 z y x
3
Trang 8Câu I:
Cho hàm số: x ( m 1 ) x 4 x 1
3
1 m
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
1) Tìm m để hàm số đồng biến trong (-1, 2)
2) Tìm điểm A trên đồ thị hàm số (1) sao cho tại đó tiếp tuyến với đồ thị có phương không đổi với mọi giá trị của m
3) Tìm m để (C m ) luôn có cực đại và cực tiểu mà có 1 giá trị cực trị nằm trong (2, 3) giá trị cực trị kia nằm ngoài (2, 3)
Câu II:
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
≤ +
+
≥ +
−
5 m 2
1 m 2 y 2 xy 4 x 7
3 y 2 xy 4 x 5
2 2
2 2
2) Giải và biện luận tham số m theo bất phương trình:
( x 1 ) log ( x x 2 )
m x
2 m
Câu III:
Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
2sin 7 x + (m – 1)sin 3 x + (2m 3 – 2m – 1)sinx = 0 (1)
2sin 6 x + (2 – m)cos 2 x + 2m 3 – m – 2 = 0 (2)
Câu IV:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu: (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2z = 0
1) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (α): y + z – 1 = 0 cắt (S) Xác định tọa độ tâm của đường, tìm giao tuyến (ξ) và tính bán kính của nó
2) Thiết lập phương trình (β) đi qua đường thẳng (d):
4
z 1
1
y 1
13 x
=
+
=
−
− và tiếp xúc (S)
3) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (α) và (β)
Câu V:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (ξ m ): x 2 + y 2 – 2mx + 2(m + 1)y – 1 = 0
Tìm quỹ tích tâm của đường tròn (ξ m )
Trang 9Câu I:
1) Cho: y = (2m – 4)x 3 + (2 – m)x 2 + (5 – 7m)x + m + 2
Chứng tỏ đồ thị có 3 điểm cố định thẳng hàng
2) Tìm đạo hàm cấp n của: y = ln(4x 2 + 4x – 3)
Câu II:
Trong các cặp nghiệm số (x 0 , y 0 ) của bất phương trình:
logx 2+y 2 + ≥
Hãy tìm cặp (x 0 , y 0 ) có tổng (3x 0 , y 0 ) lớn nhất
Câu III:
1) Cho ΔABC có các đường trung tuyến là m a ; m b ; m c Gọi S là diện tích ΔABC Chứng minh:
3
m m m
+ +
+ +
=
2) Chứng minh:
) N n ( a
cos a g cot 1
a cos a
tg a
cos ga cot
1
a cos
tga
n n
n n
n
∈ +
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
Câu IV:
Trong không gian Oxyz cho A(2, 0, -1) và vectơ a = ( 9 , 0 , 1 ) Gọi (Δ) là đường thẳng qua A với vectơ chỉ phương a
1) Chứng minh rằng: tập hợp các điểm M thuộc mặt phẳng Oxy mà góc giữa đường thẳng AM bằng 60 0 là một hyperbol Viết tọa độ các tiêu điểm của Hyperbol (H)
2) Gọi (P 1 ), (P 2 ) là các mặt phẳng qua A và chứa 1 trong 2 tiệm cận của H CMR tích các
khoảng cách đến 2 mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ) là một đại lượng không đổi
Câu V:
+ +
=
−
1
0
1 2
2
1 x x
dx L
;
dx 2 x 2 x x K
Trang 10Câu I:
Cho hàm số: y = x 3 + 3mx 2 + 2mx + 6 (1)
1) Tìm m để hàm số có cực tiểu và cực đại
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu và cực đại của đồ thị (1)
3) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành tại 1 điểm duy nhất
Câu II:
1) Giải phương trình: cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0
2) Cho: a > 0; b > 0; a + b = 60 0 Chứng minh:
3
1 tgb
Câu III:
Trong không gian Oxyz cho A(1, 2, -1); B(7, -2, 3) và đường thẳng (d):
2
2
z 2
2
y 3
1
−
−
= +
1) Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) và đường thẳng AB cùng thuộc 1 mặt phẳng
2) Tìm điểm I ∈ (d) sao cho IA + IB nhỏ nhất
3) Cho M 0 (2, 5, -3), tìm tọa độ hình chiếu của M 0 trên đường thẳng AB và tìm điểm đối xứng điểm M 0 qua đường thẳng AB
Câu IV:
Cho A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Để kiểm soát số xe gắn máy, người ta lập các bảng số xe mỗi bảng số xe có 4 chữ số
1) Hỏi lập được bao nhiêu bảng số xe như thế?
2) Có bao nhiêu bảng số xe mà 4 chữ số khác nhau?
3) Có bao nhiêu bảng số xe mà có chữ số sau lớn hơn chữ số trước?
Câu V:
1) Cho Hyperbola: 4x 2 – y 2 = 4 (H)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (H) tại M − ( 2 , 12 )
b) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với (H)
2) Trong không gian cho 4 điểm: A(0, 0, 3); B(1, 1, 5); C(-3, 0, 0); D(0, -3, 0)
a) Tính: ( AB BC ) CA + CD2 AB
b) Tính diện tích ΔACD Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng
Trang 11Câu I:
Cho hàm số: ( )
β + α +
β
−
− α
= x
x 1
y Với α, β là tham số, α ≠ 0
1) Hãy xác định β sao cho họ đồ thị hàm số đã cho đi qua đúng 1 điểm cố định ≠ 0 Từ đó tìm tập hợp những điểm cố định mà đồ thị không thể đi qua
2) Với β vừa tìm được Chứng tỏ họ đồ thị luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng đó
3) α = 2, β = 3 tính tổng khoảng cách từ điểm M(0, 2) đến 2 đường tiệm cận là bé nhất
Câu II:
1) Cho a, b, c dương thỏa điều kiện:
1 c 2
1 b 2
1 a
2
1
≥ +
+ +
+ +
Tìm giá trị lớn nhất của tích a.b.c
2) Tìm m để phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất:
1 mx
Câu III:
1) Cho
2
; 3
π
≤ β α
≤
π Chứng minh:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
β
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
α
≤
− β +
cos
1 1 cos
1 1
cos cos
2
2) Tìm giá trị của
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π π
∈ α
2
,
4 sao cho giá trị lớn nhất của:
y = x 4 – 2x 2 sinα - 2(1 + cosα) 3
trên đoạn [-(1 + cosα); (1 + cosα)] là nhỏ nhất
Câu IV:
Viết phương trình các cạnh của ΔABC biết A(2, 2) và 2 đường trung tuyến
x – 3y + 2 = 0; 2x + 5y – 8 = 0
Câu V:
Cho đa thức P(x) = (2x – 1) 2006 viết dưới dạng khai triển là:
P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a k x k + + a 2006 x 2006
1) Tìm hệ số a 2003
2) Tính: a 1 + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + + (2006) 2 a 2006
Trang 12Câu I:
Cho hàm số:
m x 2
1 mx x
+
+ +
1) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị của (1) luôn luôn đi qua
∀m ≠ ±2 Từ đó tìm tập hợp những điểm mà đồ thị (1) không thể đi qua dù bất kỳ m nào 2) Với giá trị nào của m thì điểm cố định đó cũng là điểm cực tiểu và điểm cực đại của hàm số 3) Khi m = 0 tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị và các tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 45 0
4) Tìm m để (C m ) luôn tiếp xúc với Parabol y = -x 2 + 1 cố định
Câu II:
1) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
+ +
= +
−
2 2
2
m 1 x x
1 y
x
1 1 x m y 3
2) Giả sử: x, y, z > 0 và
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ +
>
+ +
=
z
1 y
1 x
1 z y x
1 xyz
Chứng minh rằng có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
Câu III:
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2cos2x – 2sinx + m + 1 = 0
2) Cho tam giác ABC có:
4
1 C cos C cos ).
B A cos(
B sin A sin2 + 2 − − − 2 = Tìm góc C
Câu IV:
Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm M(1, 0, -2) và qua đường tròn (ξ):
⎩
⎨
⎧
= +
−
−
=
−
−
− + +
+
0 3 z 2 y x
2
0 3 z 2 y 4 x 2 z y
Câu V:
1) Giải phương trình: x3 + 3 = 43 4 x − 3
2) Chứng minh rằng: ∫π = π ∫π
0
2 0
2 xdx cos x
3) Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển của:
8
x
5 x 2 ) x (
⎠
⎞
⎜
⎝
=