Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện lớp 9 (năm học 2004 2005) môn: Toán44566

Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AC, BD a Tìm quỹ tích của điểm E.. b Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đường tròn có đường kính CD với AE, BE.. Chứng minh rằng IK // AB... đường t

đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lớp: 9 (Năm học 2004 -2005)

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )

Câu 1:(2 điểm)

cho biểu thức: A =

6 1

7







x x

a) Rút gọn A

b) Biết x = 8 - 4 3, Tính giá trị của A

Câu2: ( 2 điểm)

a) Giải phương trình:

x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 Với x,y N 

Câu3: (2 điểm)

Cho ax3 = by3 = cz3 và 2  2  2  2

z y x

Chứng minh: a x2  b y2  c z2  3 a 3 b3 c

Câu 4: ( 3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Các điểm C, D di chuyển trên nửa

đường tròn sao cho góc COD = 900 ( cung AC < cung AD ) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AC, BD

a) Tìm quỹ tích của điểm E

b) Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đường tròn có đường kính CD với AE, BE Chứng minh rằng IK // AB

c) Gọi M là trung điểm của IK, CMR: M là trung điểm của OE

Câu 5: ( 1 điểm )

100

1 3

1 2

1 1

1









đáp án

Câu 1: (2đ)

a) Rút gọn

6 6

7







x

x









 7

1

x x

6 1

6 1









x

x

6 1

( 6 1

) 6 1

(













x x

x

= x  1  6 Vì x  1  6  0 (0,5đ) b) x = 8 - 4 3

có x - 1 = 8 - 4 3 - 1 = 7 - 4 3 = 3- 2.2 3 +22 (0,5đ)

= ( 3 -2)2

Câu 2: giải phương trình

X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 (x,y N) (1)

(1) ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991

Từ (2) x - y nguyên dương (do x,y N và x - y nguyên dương 

Nếu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ( x - y) 2 x - y (0,5đ)

Ta có các ước nguyên dương của 1991 là 1,11,181, 1991 (2) 

(3)















 1

1991

2

y x

y xy

x















 1

181

2

y x

y xy

x

Hệ PT (3) Vô nghiệm

Hệ PT (4) có nghiệm x = 12, y = 1 (t.m) (0,5đ) Vậy nghiệm của hệ PT là x = 12, y = 1

Câu3:

3 3

3

3 2 2 2

z

cz y

by x

x a z

c y

b x

3 3

3

z y

x x a z

cz y

bx x

x

a











x

cz by

x a a a

x

x

a

2 2

2 3

3







Tương Tự:

(0,5đ)

;

2 2

2

3

y

cz by

x

a



z

cz by

x a c

2 2

2



) 1 1 1 (

3 2 2 2 3

3

3

z y x cz by

x a c b

cz by

x

2

2 ) 1 1

1









z y

x

0

3 3 3

3 2  2  2    

Câu 4:(3 điểm)

tìm quỹ tích điểm E , BCE vuông tại C 

góc CBE = góc COD = 450



2 1

góc CEB = 450 E thuộc cung chứa góc 450

giới hạn cung PQ từ P và Q (AP AB ; BQ AB) 

b) góc OKD = góc OCD = 450 = góc AED ( cùng chắn cung OD)

OK // AE góc K1 = I1 (1)

lại có: góc K1 = góc C1 ( tg OKIC nội tiếp ) (2)

góc c1 = góc A ( COA cân ) (3)

Từ : (1),(2),(3) IK//AB

c) Theo chứng minh trên : OK // AE

chứng minh tương tự OI // BE  OIEK là hình bình hành

trung điểm của IK cũng là trung điểm của OE ( ĐPCM)



Câu 5: Ta có

100

1

1

1 

100

1

2

1 



(0,5đ) 100

1

100

1



100

100 100

1 2

1

1

1









đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Môn : Toán 8 Thời gian: 150 phút

Câu 1: (2điểm)

phân tích phân thức thành nhân tử

a) x3 - x2 - 4

b) Tính A = x14 - 10 x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 ( với x = 9)

Câu 2: ( 2điểm)

Cho biểu thức: P = ( )

1

2 1

2











a

a a

a

a

a  1

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P nguyên

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức : A(x) = a2x3 3ax2 - 6x -2a ( a Q)

Xác định a sao cho A(x) (x+1)

b) tìm x,y sao cho

2x2 + y2 + 2xy - 6x - 2y + 5 = 0

Câu 4: ( 3điểm)

Cho hình bình hành ABCD , một đường thằng đi qua đỉnh A của hình bình hành cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E,K,G Chứng minh rằng

a) AE2 = EK EG

b)

AG AK AE

1 1 1



 c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK DG có giá trị không đổi

Câu 5: Rút gọn biểu thức

A = 2 2 2 2 2 2 2 2 1

4

1 4

3

1 3

2

1 2

n

















đáp án + thang điểm Câu 1: (2đ)

a) x3 - x2 - 4 = x3- 8 + 4 - x2 = ( x3 - 23) - (x2 - 22)

= ( x - 2) ( x2 +2x + 22) - ( x - 2) ( x + 2)

= ( x - 2) ( x2 +x + 2)

b) A = x14 - ( x+1)x13 +( x+1)x12 - ( x+1)x11 + +( x+1)x2 - ( x+1)x +( x+1)x

= x14 - x14 - x13 + x13 + x12 - x12 - x11 + - x2 - x + x + 1 = 1

Câu 2: (2đ)

Làm đúng mỗi phần cho một điểm

1

2 1

2











a

a a

a

a

a  1



P =

a

a 1

1) -(a 1) a (

1) (a 2) a ( 1) -(a

2)

a









=

1

2 1

1

2







a

a

b) P Nguyên  nguyên a - 1 Ư(2)

1

2



  1 ;  2

+ Nếu a - 1= -1  a = 0 ( loại)

+ Nếu a - 1= 1  a = 2 (t/m)

+ Nếu a - 1= -2  a = -1 ( loại)

+ Nếu a - 1= 2  a = 3 ( t/m)

Câu 3: (2đ)

a) Chia đa thức A(x) cho (x+1) được:

A(x) = (x+1) [ a2x2 + (3a - a2)x -( 6 + 3a - a2)] + (- a2 + a + 6)

Để A(x) (x-1)   số dư - a2 + a + 6 = 0  a =-2 ; a = 3

b) x2 + 2xy + y2 - 2( x+ y) +1 + x2 - 4x + 4 = 0

[( x+ y)2 - 2( x+ y) +1] + (x - 2)2



( x + y- 1)2 + ( x - 2)2 = 0



Vì



















0 2

0 1

x

y

x

























x x

y x

0 )

2 (

, 0 1) -y

x (

2 2















1

2

y

x

Câu 4: (3 điểm)

a) Chứng minh: AE2 = EK EG

Ta có CD // AB (gt ABCD là hình bình hành)

ED

EB

EG AE 

Tương tự từ AD // BC DAE đồng dạng với BEK ( do BK //AD)  

BK

ED

EK AE 

Từ (1) và (2)  AE2 = EK EG (ĐPCM) (0.5đ)

AE

EK

b) Ta có AED đồng dạng với KEB   

EB

ED

KE AE 

EB ED

ED KE

AE

AE





ED

AK AE 

Tương tự : AEB đồng dạng với GED    hay

ED

EB

GE AE 

ED AE

EB EG

AE

AE





EB

EG AE 

AG

AE

AK AE 

BD

EB BD

BD

BD BD

EB ED

AK

1

AG

1



AK

1

AG

1

AE

1

K

C G

D

c) Ta có và

EB

ED AB

DG 

ED

EB AD

(0.5đ)





AD

BK

AB

DG

1





ED

EB EB

ED

DG BK = AB AD = const ( do AB,AD Không đổi) (ĐPCM) (0.5đ)



Câu5: (1điểm)

3

4 2 2

3

4

5 3

 ( 1 2( 1)

n

n





=

n

n n n

n









4 3 2

) 1 ( 5 4 3 4

.

3

.

2

) 1 (

4

.

3

.

2

.

n

n n

1 2

1







đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp: 9 (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán

Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )

Câu 1: (2 điểm)

cho biểu thức

B = y - 5x y + 6x2

a) Rút gọn rồi tính giá trị của B cho x = - ; y =

3

2

7 4

18

 b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

x - y +1 = 0 và B = 0

Câu 2:(2 điểm)

Giải phương trình

(6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35

Câu3:(2điểm)

Chứng minh rằng

+ + > 2 ( Với a,b,c > 0)

c

b

a

b

c



Câu 4: Trên đường kính AB của đường tròn tâm 0, lấy hai điểm T và S đối sứng nhau qua 0, lấy điểm M trên đường tròn sao cho MA < MB , các đường thẳng MT,MO,MS cắt đường tròn lần lượt tại C,E,D đường thẳng CD cắt đường thẳng

AB tại F Qua D kẻ đường thẳng // với AB nó cắt ME và MC tại L,N

a) Chứng minh LN = LD

b) Hạ OH CD chứng minh HNDE là tứ giác nội tiếp 

c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033

đáp án

Câu 1: (2đ) (ĐK: y 0)

a) B = y - 5x y + 6x2 = y( y - 2x) - 3x y  2x

7 4

18

) 7 4 ( 18





9

) 7 4 (

18 

= 8 - 2 7 = ( 7 -1)2

= - 1

Vậy B = [( 7- 1) + ] [ -1 + 3 ] = (0.5)

3

2 2

7

3

2



3

7 4

22 

b) Theo bài ra ta có (1) Hoặc (2) (0.5)



















0 2

0 1

x y

y x



















0 3

0 1

x y

y x

Giải hệ (1) có (t/m)









 4

1

y x

Giải hệ (1) có (t/m)









 4 9

2 1

y x

Vậy 2 cặp số thoả mãn đề bài ra là: x =1; y = 4 và x = ; y = (0.5)

2

1

4 9

Câu 2: (2đ) Giải PT

(6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1)

(36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35



[12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) (0.5)

Đặt: 3x2 + 5x + 2 = t (3)

(2)với (12t + 1) t = 35

12t2 + t - 35 = 0



3

5

4 7

Thế t = 35 vào (3) ta được: 9x2 + 15x + 1 = 0

PT này có 2 nghiệm: x1 = ;

6

21 5 18

189







x2 = (0.5)

6

21 5 18

189

15   



Thế t = - vào PT (3) có 12x2 + 20x +15 = 0

4

7

( PT này vô nghịêm vì = 10 2 - 12 15 = - 80 <0)

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x = ; x = (0.5)

6 21 5



6

21

5 



Câu3:(2đ) do a,b,c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có

2   1

a

c

b



a

c b a a

c

b     1



c

b

a

a



 2

Dấu "=" xẩy ra    1 hay a = b+ c

a

c b

c a

b

  b c a

b



 2

b

a

c

  b c a

c





2

Cộng từng vế của (1), (2),(3) ta được

+ + 2 ( do a + b + c>0 ) (0.25đ)

c

b

a

b

c

 

dấu "=" xẩy ra  a + b + c = 0 ( vô lý, vì a + b + c > 0)























b c a

c b a

a c b



do đó không xẩy ra dấu"="

c

b

a

b

c



Câu4: (3điểm)

Chứng minh LN = LD

Ta có: ND // TS

NL // TO và LD//OS



theo định lý talét ta có ( vì cùng = ) (0.5)

LD

OS NL

TO 

ML MO

b) ta có OH CD (gt)

HC = HD (1)



LN = LD (2)

Từ (1) và (2)  LH là đường trung bình của CDN   LH // CN

CME = HLE (đồngvị)



Mà CME = CDE ( Cùng chắn cung CD)

HLE = HDE tứ giác HLDE nôi tiếp (0.5)

c) do HLDE nôi tiếp  HEL = HDL (cùng chắn cung LH ) (0.5)

mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900

EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) (0.5)



Câu5: (1đ)

P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033

= x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004

= ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 (0.5đ) ( vì ( x -3y + 2)2  0 x,y ; và ( x -5) 2  0 x

dấu "=" xẩy ra 

















0 5

0 2 3

x

y x













 3 7 5

y x

Vậy P min = 2004 tại











 3 7

5

y x

đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Môn : Toán 6 Thời gian: 150 phút

Câu1: (2điểm)

Tính bằng cách hợp lý nhất

20

1

30

1 42

1 56

1 72

1 90

1 110

1 132

1 156 1

b) Q =

10 490 58 55 52 10

7 4

1

6 5310 3 2 4567 9 123 18























Câu2: (2 điểm)

a) cho phân số hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số trừ đi số đó và

463 537

lấy mẫu số cộng với số đó thì được một phân số bằng

9 1

b) tìm x biết :

360 : [41 - (2x-5)] =22 5

Câu 3: (2đ)

a) cho biết (3a + 2b) 17 (a,b N )

Chứng minh (10 a + b) 17 

b) chứng minh 88 +220 17

Câu4: Trên đường thẳng xy ta lấy một điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ tia Om và On

a) kể tên các góc trong hình

b) giả sử góc xOm = 500 , yOn = 700 hãy chứng tỏ rằng tia Om nằm giữa hai tia

Ox và On Tia On nằm giữa hai tia Oy và Om

c) Tính số đo góc mOn

Câu 5:

!

! 2

! 5

! 2

! 4

! 2

!

3

!

2

n







Chứng tỏ rằng M < 1

đáp án

Câu1: (2 điểm)

P = 

5

.

4

5

.

6

7 6

1

13 12

1 12 11

1 





=

13

1 12

1 7

1 6

1 6

1 5

1

5

1

4

1         

b) Tử số của Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310

= 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000

Mẫu số Q = 1 + 4 + 7 + 10 + 52 + 55 + 58- 49.10

= = 590 - 490 = 100 (vì từ dẫy 1,4,7 ,58 có 20 số )

2

20

)

58

1

( 

VËy Q = 1800

100

000

180 

C©u 2: (2 ®iÓm)

a) gäi sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ a theo bµi ra

ta cã

9

1 463

537







a a

9( 537 - a ) = (463 + a)

 10a = 4370

a = 437

b) t×m x

360 : [41 - ( 2x -5)] = 22.5

41 - (2x -5) = 360 : 20

41 - (2x -5) = 18

2x -5 = 41 - 18

2x -5 = 23

C©u 3: (2 ®iÓm)

a) Ta cã: 3a + 3b 17

10(3a + 2b) 17

10a + 20b 17 (1)

mµ 17b 17  (2) (30a + 20b) -17b 17

hay (30a + 20b) 17

( §PCM) 17

10 17

17b

17

b)

3(10a







b

a











b) chøng minh: 88 + 220 17

ta cã 88 + 220 = 3 8 + 220 = 224 + 220

) 2 (

= 220 (24 + 1)

= 220 17 17

c©u 4: ( 3 ®iÓm)

a) cã 6 gãc trong h×nh vÏ lµ

gãc xOm, gãc xOn, gãc xOy, gãc mOn, gãc mOy, gãc nOy

b) ta cã xOn + nOy = 1800 mµ nOy =700

nªn xOn = 1100

Trªn nöa mÆt ph¼ng bê ch­a tia Ox cã hai tia Om vµ On

Mµ xOm < xOn (500 < 1100 ) nªn tia Om n»m gi÷a hai tia Ox vµ On

Ta cã yOm + mox =1800 mµ mOx =500

Nªn yOm = 1300

Trªn nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oy cã hai tia On, Om

Mµ yOn < yOn (700<1300) nªn tia On n»m gi÷a hai tia Oy, Om c) tia On n»m gi÷a hai tia Oy, Om.Nªn ta cã yOn + nOm = yOm hay 700 + nOm = 1300

nOm = 600



C©u 5:(1®)

!

1

! 5

1

! 4

1

! 3

1 (

n







) 1 (

1 4

5

1 3 4

1 2

.

3

1

(

n

n







1

1 4

1 3

1 3

1

2

1

(

n











M < 2

n n

2 1 ) 1

2

1

(   

M < 1 (do n > 3) <§PCM>

Họ và tên : Lê xuân hiền đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Đơn vị : Trường THCS

Nghĩa Trung - Việt yên

Lớp: 7 (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán

Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )

Câu 1: (2 điểm )

Tính giá trị của biểu thức

a) (2

2

1 7 ) 7

1 3 6

1 4 ( :

)

4

1

3

6

1









b)

52

.

2

65 2

13

.

2

9

11

11 

Câu 2: (2điểm)

a) Cho x,y Z Chứng minh rằng (6x + 11y)  31

Khi và chỉ khi (x + 7y)  31

b) Chứng minh rằng ( 89 - 224) 7

Câu 3: (2đ)

y x

z z

x

y z

y















Câu 4: (3điểm)

Cho ABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao AH ở miền ngoài của ABC, ta vẽ    vuông cân ABE và ACF đề nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH ( M,N thuộc AH)

a) chứng minh EM + HC = NH

b) chứng minh rằng EN // FM

Câu5: (1đ)

cho P =

60 57 54

12 13

10 7

12 10

4 7

12 7

.

4

.

1

12







Chứng minh rằng P <

2 1

Đáp án

Câu 1(2đ).

a) Ta có

12

65 12

5 5 4

1 6

1 5 4

1 3 6

1

42

43 7

22 6

25 7

1

3

6

1

4      



86

455 43

42 12

65

42

43

:

12









= 86

645 86

445 2

15

86

445    



43

95 86

190 

26 2

78 2 26 2 2

) 65 13 ( 2 52

.

2

65 2

13

.

2

10 11 9

11 9

11

11









26

.

2

3

.

26

.

2

10

11





C©u 2: (2®)

a) ta cã: (6x + 42y)







 31 31y

31 11y) (6x





31

 31

)

7

(

6 x y 



31

)

7

(x y 



cã (x 7y)  31  6 (x 7y)  31

(6x + 11y) +31y 31

(6x + 11y) 31 (do 31y 31)

VËy (6x + 11y) 31  (x 7y)  31 (0.5) b) ) ta cã 89 - 224 =(23)9 - 224 = 227 - 224 (0.5)

= 224(23 -1) = 224 7 7  (§PCM) (0.5)

C©u3: ( 2®iÓm)

Tõ ®Çu bµi ta cã

(1)

z y x z y x

z y x y

x

z z

x

y z

y

























+) NÕu (x + + y + z) = 0  x = y = z = 0 [do(1)] (0.5) +) NÕu (x + + y + z) 0   Tõ(1) x y z

y x

z z

x

y z

y















1 3 2

1

3x = x= (0.5)



































y

z

x

x

z

y

z

y

x

2

12

12

1



2

1 1 2



 x

x



2

3 

2 1

y=



2

1 2

2



 y

y



6 5

z = -2

1

3

2



 z

z



6 5

Vậy +) Nếu (x + y + z) = 0  x = y = z = 0

+) Nếu (x + y + z) 0   x = ,y = , z = - (0.5)

2

1

6

5

6 5

Câu4: (3điểm)

a) ta có F1 = A1 ( góc có cạnh tương ứng vuông góc) (0.25)

AFN = CAH ( do F1 = A1 ; AF = AC (gt) và N = H = 900 )

AN = HC (1)



Tương tự: BAH = EAM AH = EM (2)   (0.5)

Từ (1),(2)  AN + AH = HC + EM

b) Ta có EM = AH , AH = NF ( do ANC = ANF) 

M1 = N1 mà M1 , N1 ở vị trí so le trong EN // FM (ĐPCM) (0.5)

Câu5: (1điểm)