Khẳng định nào sai?. Tam giác ABC có đường cao AH a Nếu AH2 = BH.CH thì tam giác ABC vuông tại A b Nếu AB2 = BH.BC thì tam giác ABC vuông tại A c Nếu AH... 8/ Trong các khẳng định sau kh
Trang 1đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp9 : đề số i
I/ Trắc nghiệm ( 8 điểm)
1/ Phép tính 8 2 15- 8 2 15 và
3 4 8
4 10
2 7
3 30
2 11
1
Có kết quả tương ứng là:
a/ 3 5 và 2 6 2 2 b/ 3 5 và 2 2 2 6
c/ 2 3 và 2 2 ( 3 1 ) d/ một kết quả khác
2/ các biểu thức và có nghĩa khi
1
3
2
16
2 x
x
a) x 1 và x 2 b) 0 x 1 và x>2
c) 1 x 1 và x 2 d) một kết quả khác
3/ Tập nghiệm của phương trình x2 x2 4 = x – 2 là:
a) S={ 2 ; -2} b) S={ 0; 2} c) S= d) S = {2}
4/ Số dư của đa thức: n3 + 3n2 + 2n + 5 chia cho 6 là
a) 5 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ( với mọi n z )
5/ a) Giá trị của biểu thức sin4 + cos 4 + 2 sin 2 cos2 bằng
A 2 ; B 3 ; C 1 ; D 0
b) Giá trị của biểu thức sin2 + cotg2 Sin2 bằng:
A 1 ; B cos2 ; C sin2 ; D 2
6/ Cho tam giác ABC có Â < 900 các khẳng định sau khẳng định nào đúng
a) SABC = AB.AC cos A b) SABC = AB.AC sin A
2
1
2 1
c) SABC = AB.AC tgA d) SABC = AB.AC.cotgA
2
1
2 1
7/ Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng Khẳng định nào sai?
Tam giác ABC có đường cao AH
a Nếu AH2 = BH.CH thì tam giác ABC vuông tại A
b Nếu AB2 = BH.BC thì tam giác ABC vuông tại A
c Nếu AH BC = AB.AC thì tam giác ABC vuông tại A
2 2
2
1 1
1
AC AB
Trang 28/ Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng khẳng định nào sai?
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3AC trên AB lấy các điểm D; E sao cho ABC vuông tại A có AD = DE = EB khi đó
a tgAEC + tg ABC =
6 5
b
AEC > 300
c CDE~ ACE
d ACD~ ACE
C
Hình vẽ
II/ Tự luận ( 12 điểm)
2
1 1
2 2
3 9 3
a a
a a
a
a a
a) Rút gọn P
b) Tìm ađể P = 2
c) Tìm các giá trị tự nhiên của a sao cho P là số tự nhiên
2) Giải phương trình:
) (
2
1 2006 2005
3) a) tính giá trị của biểu thức
36 2006 2005 2004 2002 2001
Q
b) Tìm số dư của phép chia 20062006 cho 11
B A
Trang 34/ Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất
đó
M = x - x 2006
5/ Không dùng bảng lượng giác và máy tính Tính côsin của góc 150 ;
cos 150
6/ Cho hình chữ nhật ABCD với AD = t AB ( t>0) lấy M là điểm trên cạnh BC
Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P
Chứng minh rằng 12 1 2 22
AP
t AM
7/ Cho tứ giác ABCD, có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi diện tích của tứ giác ABCD là S
Chứng minh rằng AC + BD 2 2 S
Trang 4Đáp án đề thi đề 1
I/ Trắc nghiệm ( 8 điểm)
Câu1: ( 1điểm)
C đúng Câu2: ( 1 điểm) : D đúng
Câu3: ( 1 điểm) : C đúng
Câu4: ( 1 điểm) : A đúng
Câu5: mỗi câu 0,5 điểm
a) khoanh tròn chữ C
b) Khoanh tròn chữ A
Câu6: ( 1 điểm)
Câu b đúng
Câu7: mỗi ý đúng được 0,25 điểm
a) sai
b) sai
c) đúng
d) Sai
Câu8: mỗi ý đúng được 0,25 điểm
a) đúng
b) Sai
c) đúng
d) Sai
II/ tự luận (12 điểm)
Câu1 ( 3 điểm)
2
1 1
2 )
2 )(
1 (
3 9
a a
a a
a
a a
P
( 0,25 điểm)
) 2 )(
1 (
2 1
4 3
3
3
a a
a a a
a a
a
( 0,25 điểm)
1
1 )
2 )(
1 (
) 2 )(
1 ( ) 2 )(
1
(
2 3
a
a a
a
a a
a
a
a
a
Điều kiện a vaa0 1
b) P = 2 <=> a 1 = 2 a 1 a 1 = 2 ( a 1) ( 0,5 điểm)
a 1 = 2 ( 1 - a) ( 0,5 điểm)
a 3 a=9
<=> <=>
3 a 1
9
1
a
c) Để P là số tự nhiên thì ( 0,5 điểm)
1
2 1
a
từ đó a0 ; 4 ; 9
Trang 5với a= 0 thì P=-1 N
a= 4 thì P = 1 N
Với a = 9 thì P= 2 N
Vậy a = 4 và a =9
Câu2: ( 1điểm) Điều kiện x 2 ; y - 2005 ; z 2006
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm ta có:
1 ).
2006 (
1 ).
2005 (
1 ).
2 ( 2006 2005
x
( 0,5 điểm)
) (
2
1 2
1 2006 2
1 2005 2
1
2
z y x z
y
x
Dấu bằng xảy ra Do đó ta có
x-2=1 ; y+2005 =1 ; x-2006 = 1 ( 0,5 điểm)
<=> x =3 ; y = -2004 ; x = 2007 ( TMĐK)
Câu3: mỗi ý ( 1điểm)
a) Đặt a= 2003 ta có
( 0,75điểm)
36 ) 3 )(
2 )(
1 )(
1 )(
2 )(
3
Q
(a2 9 )(a2 4 )(a2 1 ) 36
= a2(a2 7 )2 a(a2 7 )
Vậy P = 2003 ( 20032 – 7 ) = 8036040006 ( 0,25điểm)
b) 20062006 =20062006 - 42006 + 42006
= 20062006 - 42006 + 42005+1
= 20062006 - 42006+ 4 ( 45.401)
= 20062006 - 42006 + 4( 1024401 – 1401 + 1401)
= 20062006 - 42006 + 4 ( 1024401 – 1401) +4 ( 0,5điểm)
Ta thấy : 20062006 - 42006 ( 2006 – 4) 11
1024401 – 1401 (1024 – 1) 11 => 4 ( 1024 401 – 1401 ) 11
Do đó số dư là 4 ( 0,5điểm)
Câu4: (1điểm) Điều kiện x 2006
M=x-2006 - x 2006 2006
4
8023 )
2
1
2006 2
x
4
8023
Vậy min M= khi x = ( 0,5điểm)
4
8023
4 8023
Câu5: (2điểm) Xét ABC vuông tại A có B = 150 cạnh AC = b
vẽ đường trung trực của BC cắt BC tại I và AB tại K
có: KB = KC => KBC cân tại K ( 0,5điểm)
=> KCB = KBC = 150 : AKC có Â=90 0 ; AKC = KCB + KBC = 300
=> KC = 2AC = 2b và AK = AC 3 = b 3
=> AB = AB2 + AC2 = b2 (2+ 3)2 +b = 4b2 (2+ 3) => BC=2b 2 3 (0,5điểm)
2
1 ) 3 2 ( 2
) 3 2 (
b
b BC AB
C
B
A
K I
Trang 6Câu6: ( 2điểm)
Từ A kẻ AE AP ( E DC )
Ta thấy Â1 = Â3 ( cùng phụ với Â2) do đó tam giác vuông BAM ~ DAE
=> ( 0,5điểm)
AD
AB
AE
AM
Suy ra AD.AM = AB.AE => AE= t AM ( vì AD = t.AB) (
AB
AM AB t AB
AM AD
.
.
0,5điểm)
Trong tam giác vuông AED có: 2 2 2 2 12 12 1 2 22 (đpcm)
.
1
1
AP
t AM AB
AP AM
t AB
( 0,5điểm)
Câu7: (1,0điểm)
Vì tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau
Nên S = AC BD AC.BD 2S ( 0,5điểm)
2
.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho AC và BD ta có:
AC + BD 2 AC BD
(0,5điểm)
S BD
AC 2 2
( Hết )
E
B
M A
Trang 7Đề thi học sinh giỏi môn toán đề 2 A/ Trắc nghiệm (8điểm)
Câu1: Tính 12 12 12 phép tính có kết quả là:
a) -3 và 4
b) 3 và 4
c) 3
d) 4
Câu2: Cho hàm số y = ( m + 1) x – 3m2 – 2 ( với m là tham số) Hãy trọn khẳng
định đúng nhất:
a) Hàm số nghịch biến mR
b) Hàm số đồng biến với mR
c) Hàm số không đồng biến
d) Hàm số đồng biến khi m 0
Câu3: Tập nghiệm của phương trình x 1 = 3x 5 là :
a) S = 2; ; b) S = { } ; c) S= { }
2
3
2
2 1
d) S= { }
2
3
8 4 2
1
13 13 13
M
a) 3 2 2 ; b) 3 2 1 ; c) ; d)
2
4
2 3
4
2 3
Câu5: Tìm m để đa thức: 6x3 – 4x2 + 2x – m +3 chia hết cho: 2x -3 kết quả là: a) ; b) ; c) m = 37 ; d) m = 58
4
69
m
2
69
m
câu6: Cho ABC có: BC = 14cm ; đường cao AH =12cm ; AC + AB = 28cm Khi
đó độ dài AB và AC là:
a) 12cm và 16cm ; b) 11cm và 17cm ; c) 13cm và 15cm ; d) 10cm và
18cm
Câu7: Cho ABC Trên BA; CB và AC lấy lần lượt các điểm A’ , B’ , C’ sao cho: AA’ = AB; BB’ = BC; CC’ = AC Khi đó ta có:
a) SA’B’C’ = 3.SA B C ; b) SA’B’C’ = 7.SAB C ; c) SABC = 7.SA’B’C”
d) SABC = 3 SA’B’C’
Câu8: Hãy trọn các khẳng định đúng
a) cos 2 - sin2 = 1 – 2 sin 2
sin
( với (0 0;900))
cos cos
sin
Trang 8d)
2
cos
1
1
tg
B/ Tự luận ( 12 điểm)
1
1 1 (
) 4 4 (
) 1 ( 4 )
1 ( 4
x x
x
x x
x x
P
a) Tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa rồi rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị của biểu thức tại x 5 2 3
Câu2: a) tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy
b)cho a, b Q ; m, n Q và a , b là các số vô tỉ thoả mãn:
chứng minh m
Q b
n
a
Câu3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
x
y y
x x
y y
x x
y y
x
44 22 22
4 4
2007
1
3
1 2
1 1
1
2 2
2
Câu4: Cho ABC có C = 900 ; BC = AC; đường trung tuyến AM; kẻ CE AM
( E AB) Chứng minh rằng; AB = 3EB
Câu5: Cho ABC cố định Hai điểm D, E thứ tự chuyển động trên cạnh AB; AC sao cho: Tìm tập hợp trung điểm M của DE
AE
CE
BD
AD
Câu6: a) Cho a, b, c R +: a+b+c= abc
b.c = a2
CMR: a2 3
c) cho x; y ; z >0 thoả mãn : 2
1
1 1
1 1
1
x
CMR: x y z
8 1
Trang 9Đáp án đề số 2:
A/ Trắc nghiệm ( 8 điểm)
Câu 1: ( 1 điểm)
Đặt: A 12 12 12 A2 12 A
( A-3 ) ( A+4) = 0
A =3 ( vì A>0) ( 0,5điểm)
( 0,5điểm) vậy : A = 3
Câu2: (1điểm)
Đáp án đúng: b) HS đồng biến mR
Câu3: ( 1điểm)
đáp án đúng a) : S =
2
3
; 2
Câu4: đáp án đúng c) (1điểm)
2
4
2 3
M
Câu5: (1điểm)
đáp án đúng a)
4
69
m
Câu6: (1điểm) đáp án đúng c ; 13cm và 15cm
Câu7: (1điểm) đáp án đúng b ; SA’B’C’ = 7.SABC
Câu8: (1điểm) đáp án đúng: a, b, c
B/ Tự luận
Câu1: ( 2điểm)
(1điểm) a) * ĐKXĐ: x>1 ; x 2 ( 0,25điểm)
* P = với x>2
1
2
x
với 1<x<2 ( 0,75điểm)
x
1 2
b) Tại x=5+2 3 => P = 3 -1 ( 1điểm)
Câu2: (2điểm) ( x2 – 7) y2 = (x+y)2
(1điểm) => x2 -7 = k2 ( kz) do (x+y)2 là số chính phương
( x-k)(x+k)= 7
=> (x;y) = { (0;0); (4; -1) ; (4;2); (-4;1) ; (-4;-2)}
b) Giả sử:
b n a m
b n a m b n a m b
n a m
(1điểm) m a n bQ m aQ
m an bQ n bQ ( vô lý)
điều phải chứng minh
Câu3: (2điểm)
(1điểm) a)
x
y y
x x
y y
x x
y y
x
44 22 22
4 4
Trang 10=
2
5 2
5 ) 2
1 ( ) 2
1 ( ) 1 ( ) 1
2
2 2 2
x
y y
x x
y y
x
Dấu “=” xảy ra 1 0
2
2
y x
1 0
2
2
x y
0 hệ vô nghiệm
2
1
y
x
0
2
1
x y
Do đó: Biểu thức không có gía trị nhỏ nhất
b)
2007 2006
1
3 2
1 2 1
1 1 2007
1
2
1
2
1
2 2
(1điểm) =
1+1-2007
1 2006
1
3
1 2
1 2
1
= 2
2007
1
Câu4: (2điểm)
(1điểm) Vẽ hình đúng và viết GT, KL chính xác
Gọi O là trung điểm AB Lấy D đối xứng với C qua O
Nối AD, BD Gọi BD CE = {K} ( 1điểm)
C/m ACM = CBK CM KB AC
2
1
BEK ~ AEC
AE
EB
3 2
1
Câu5: (2điểm)
Vẽ hình viết GT, KL chính xác ( 0,5điểm)
vẽ EF // AB ta có:
BD
AD AE
CE BF
CF AE
CE
BD
AD
BF
CF
(1,5điểm) DF//AC Nên tứ giác ADFE là hình bình hành và M là trung điểm
đường chéo DE MA = MF
M di chuyển trên đường trung bình ABC( qua hệ từ vuông góc đều song song )
Câu6: a) vì a; b; c >0
bc
abc a
c b a
2
(1điểm) abca3 a3 abca 2 bc
a3 a 2 a2 3aa2 3
A
D
P
B
F
C
E
Q
C
K
M
B
0
E
H
M K
Trang 11) 1 ).(
1 (
2 1 1
1
1 2 1
1 1
1
1
1
yz z
z y
y x
z y
x
) 1 )(
1 (
2 1
1
xz y
) 1 )(
1 (
2 1
1
xy z
Nh©n vÕ (1); (2) vµ (3) ta ®îc
) 1 )(
1 )(
1 (
8 ) 1 )(
1 )(
1 (
1
xyz z
y x
(®pcm)
8
1
xyz