Tia phân giác góc DBE cắt cạnh BC tại I.. CMR : a Tam giác DIE vuông b Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.. Đề CHíNH THứC.
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
Môn : Toán
(dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011
Câu I (2,5 điểm)
1 Giải phương trình: 4 3
2 8 2 4 17
2 x x x
2
2 12 17 2 12
4
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x2
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x2 x 2y2 y 2xy2 xy 3
Câu IV : (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE Tia phân giác góc DBE cắt cạnh BC tại I CMR :
a) Tam giác DIE vuông
b) Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 19 26 2 2011 (a4 b4)
b a
-
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh………
Chữ ký giám thị 1: ………chữ ký giám thị 2: …………
Đề CHíNH THứC
Trang 2tự giải -Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
Môn : Toán
(dùng cho thí sinh thi vào chuyên tin)
Câu I (2,5 điểm)
1 Giải phương trình: 4 3
2 8 2 4 17
2 x x x
a)Giải phương trình 4 3
2 8 2 4 17
2 x x x
x2 2 2x 22 17 4 2x3 8 2x
x x
x x
x x
x4 8 2 4 4 2 3 4 2 8 2 17 4 2 3 8 2
0 13
12 2
x
Đặt t = x2 (t 0)
Ta cú phương trình; t2 + 12t – 13 = 0
phương trình cú hai nghiệm phõn biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)
t=1x2 = 1x=+_1
2
2 12 17 2 12
4
2
8 12 2 9 8 12 2 9 2
2 12 17 2 12
2
1 2 2 2 1 2 2 2 2
2 2 3 2
2
2 2
1 2 1 2 2
1 2 1
2
2 12 17 2 12
4
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x2 2
12 3 2 6
( x2 +5 x - 6) ( x2 + x - 6) = 12 x2 ta thấy x =0 khụng phải là nghiệm của phương
trỡnh chia 2 vế cho x2 ta cú = 12 (1)
x
x
x 1 6
x
x
x
x 1 6
thỡ (1) sẽ là (a +2)(a - 2) = 12 a 2 - 4 = 12 a2 = 16
4
4
a a
với a= 4 ta cú = 4 = 1 x2 – x - 6 = 0 giải ra ta cú x1= 3 và x2 =-2
x
x
Đề CHíNH THứC
Trang 3với a= - 4 ta cú = -4 = -7 x2 +7x - 6 = 0 giải ra ta cú phương
x
x
trình có hai nghiệm phân biệt x1 = vậy nghiệm của phương trỡnh
2
73 7
; 2
73 7
2
x
là S =
2
73 7
; 2
73 7
; 2
;
3
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: x2 x 2y2 y 2xy2 xy 3
2y2x-2y2+ xy – y +1 + 2 – x2 –x = 0
2y2( x-1) + y(x-1) + 1- x2 +1-x + 1 = 0
2y2( x-1) + y(x-1) - ( x-1) ( x+1) -( x-1) +1=0
( x-1)(2y2 + y –x-1-1) +1 = 0
( x-1)(2y2 + y –x-2) +1 = 0
( x-1)(2y2 + y –x-2) = -1 vỡ x ; y là số nguyờn
1 2 2
1 1
1 2 2
1 1
2 2
x y y x
x y y x
0 3 2
2
0 3 2
0
2
2
y
y
x
y
y
x
) ( 2 3 1 2
) ( 2 3 1 0
loai y
y x
loai y
y x
vậy nghiệm của phương trỡnh là : S = x;y 0 ; 1 ; 2 ; 1
Câu IV: (3 điểm):
K
F
O
I
E
D
C B
A
a/ Tam giác DIE vuông
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt DI kéo dài tại F và cắt AB tại K
Dễ thấy
Trang 4 EKC cân tại E => EK = EC
EDF cân tại E => ED = EF
Mà ED = DB + EC => EF = BD + EK, mặt khác EF = EK + KF
Suy ra : BD//=FK => Tứ giác BDKF là hình bình hành
=> BK cắt DF tại trung điểm của BK và DF(t/c)
Gọi O là trung điểm của DE => OI là đường TB của hình thangBDEK
=> => Tam giác DIE vuông tại E
F
K I
E
D
C B
A
b/ Ta chứng minh DI luôn đi qua điểm F cố định, Thật vậy
Tương tự , ta gọi giao của phân giác góc DEC và BC là K, ta chứng minh được DKE 90o
; Gọi giao điểm của DI và EK là F => AF là đường phân giác của BAC => AF cố định (1)
Ta dễ dàng chứng minh được : FB AB thật vậy :
Tứ giác DIKE nội tiếp đường tròn đường kính DE
=>IDE BKE 180o
(Kề bù)
CKEBKE
(đối đỉnh)
BKF CKE
BDFFDE
Từ 4 đẳng thức trên => BDF BKF => tứ giác BDKF nội tiếp
=> FBD DKF90o=> FB AB
AB cố định => BF cố định (2)
Từ (1) và (2) => F là điểm cố định
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1
Trang 5T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: T = 19 26 2 2011 (a4 b4)
b a
GIẢI:
) (
6 ) (
19 6
19
2 2
2 2 2
ab b
a b
a
) (
2 2 1
) ( 3 ) (
16
2 2
2 2
2
b a ab
b a b
a
) (
2 2 1
3 ) (
16
2 2
2 2
b a ab
b a
áp dụng bu nhi a copxky cho hai bộ số : b ; a
1 ; 1
(12+12)(a2+b2) ( a.1+b.1) 2 hay 2 (a2+b2) ( a+b) 2 dấu = khi a =b =
2 1
16 (a2+b2) 8.( a+b)2
ta có a > 0 ; b > 0 nên ab > 0 ; a2+b2 > 0 áp dụng so si ta có
dấu = khi a= b =
2 2
2
2 2
2
b a ab ab
b
a
2 4
1
b a
2 1
= = 88 dấu = khi a= b =
) (
.
2
.
2
1
3 ) (
16
2 2
2
2
b a
ab
b
a
2 2
2 2
2
2 2
1
3 8
ab b
a
b a
2
2
1 2 1
3 8
2 1
Mà a4 + b4 (a2 + b2)2 dấu = khi a= b =
2
1
2 1
tương tự : a2 + b2 (a+ b)2 nên a4 + b4 = (a+ b)4=
2
1
2
1 2 2
2
1
b
a
8
1
8 1
dấu = khi a= b =
2 1
Vậy T 88 + 2011 khi va chỉ khi khi a= b =
8
1
2 1