kiến thức cần nắm vững 1... bài tập rèn luyện I.. Toán trắc nghiệm Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết Bài 1: Điền vào chỗ ...
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định ( có nghĩa)
Kiến thức ghi nhớ: A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nên nhấn mạnh chổ này vì một số HS hay nhầm khi viết A ≥ 0)
Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a, 2x 5 b, x3 6
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì các căn thức sau xác định:
a, b,
5
4
x
x
2 4
7
( GV nhấn mạnh HS: Phân thức trong căn có tử và mẫu cùng dấu nhưng mẫu phải khác 0)
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:
x
x 1 3
( Nhấn mạnh HS cách kết hợp điều kiện )
Ví dụ 4 : ( Dành cho HS khá giỏi) Tìm điều kiện để các căn thức sau xác định
a, b,
3
2
1
x
x
8
3 5
x x
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A2 A
VD1: Tính: 2 2
5 1 5
( Nhấn mạnh HS khi mở | a – b| nếu a < b thì | a – b | = b – a Đổi chổ hai số )
VD2: Tính: a, 4 7 4 7
b, 2 2 với a ≥ 1
1 1 1
a
VD: Rút gọn: 2 2 với x > 0, x ≠ 1
4
1 2 1
2
x
x x x
Dạng 3: Sử dụng các phép khai phương, nhân chia căn bậc hai:
Ví dụ: a, 6
3
2 2
3
b, 20 3 5 80 5
Dạng 4: Sử dụng các phép biến đổi căn bậc hai
1, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
với b>0
b
a
b
a2
Ví dụ 1: Rút gọn: a, 20 45 3 18 72
b, 48 2 75 108
Ví dụ 2: Rút gọn: 2
1 2 50
8
Trang 22, Khử mẫu
VD: a, ; b, ; c, ( a > 0)
5
2
12
7
2 18
5
ab
3, Trục căn thức ở mẫu:
TH1: Phân tích tử chứa thừa số là mẫu:
Ví dụ: Rút gọn: a,
5 3 10
b, c,
2 1
8 2 2
1
6
3
1 3
3 3 2 1 3
3 3 2
TH2: Nhân thêm với căn ở mẫu
Ví dụ: a, b, ( a > 0 )
3
4
a
2 3
TH3: Nhân với biểu thức liên hợp:
( Lưu ý HS: Sau khi nhân với biểu thức liên
b a
b a C b a
C b
a
b a C b a
C
; 2
hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thì mất căn, nếu không chứa căn thì phải bình phương và mẫu luôn là hiệu)
Ví dụ: a,
1 5
5
b,
7 3
1 7 3
1
c,
2 5
2 2 5
2
d,
6 11
10 6
11
10
RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT
Lưu ý HS một số công thức: Với a ≥ 0 thì:
a = 2;
)
( a a a ( a)3;a 1 ( a 1 )( a 1 ) ;a a 1 ( a)3 13 ( a 1 )(a a 1 )
) 1 ( 1 2
; ) 1 ( 1 2
; ) 1 )(
1 ( 1 ) (
a
a
Dạng 1: Phân tích tử thành tích có chứa nhân tử là mẫu
Ví dụ 1: Rút gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1;
1 1
2 1
1
a
a a a
a
VD2: Rút gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1;
2
1
1 1
1
a
a a
a
a a
Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng có một mẫu là mẫu chung
VD1: Cho M = với x > 0, x ≠ 1
x x x
x x
x
a, Rút gọn M
Trang 3b, Tìm x sao cho M ≤ 0
VD2: Cho biểu thức K = với x > 0, x ≠ 1
x x
x x x
x
2 1
a, Rút gọn
b, Tính giá trị của K tại x = 4 2 3
VD3: Cho P = với x ≥ 0, x ≠ 4
x
x x
x x
x
4
5 2 2
2 2 1
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P = 2
Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tích các mẫu
VD1: Cho Q = với a > 0, a ≠ 1
1 1
2
1
a a a
a a a a
a, Rút gọn
b, Tìm x để Q ≥ -2
Dạng 4 : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khá giỏi) ( GV lấy thêm các ví dụ)
1 2
: 1
1 1
x x
x x
a, Rút gọn
b, Tìm x để P >
2 1
CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I Giải hệ PT bằng phương pháp cộng đại số
VD1: Giải các hệ PT
a, b,
1 3
4 2
y
x
y
x
2
5 2
y x
y x
VD2: Giải các hệ PT:
a, b,
1 3
2
4 2
y x
y
x
1 4 3
1 2
y x
y x
VD3: Giải các hệ PT
a, b,
8 3
3 1
2
y
x
y x
x y x
y y
x
3 3
2 1 2
II Biện luận hệ PT
VD1: Cho hệ PT :
a by x
b ay x
4
Tìm a, b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2; -1)
VD2: Cho hệ PT:
1
5 3
y mx
my x
a, Giải hệ với m =2
b, Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
Trang 4III Giải hệ PT bằng PP thế:
( Nếu cú thời gian cỏc đ/c tỡm thờm một số vớ dụ về cỏc hệ PT mà phải giải bằng
PP thế)
CHUYấN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số:
- Điểm cắt trục tung: x = 0; y = b (0 ; b)
- Điểm cắt trục hoành: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; 0 )
VD1: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x – 3
VD2: Vẽ đồ thị hàm số : y = –x + 5
( Lưu ý HS: Nếu a > 0 thỡ đồ thị hàm số cú chiều đi lờn từ trỏi qua phải, nếu a < 0 thỡ
đồ thị hàm số cú chiều đi xuống)
Dạng 2: Tỡm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến:
VD: Với giỏ trị nào của m thỡ hàm số y = ( m +2)x – 3 đồng biến trờn tập xỏc định
Dạng 3: Tỡm số hạng chưa biết của hàm số:
Lưu ý HS: Cho hai hàm số y = ax + b và y = mx + n ( a, m ≠ 0) Đồ thị của hai hàm số
- Cắt nhau khi a ≠ m ( Cắt nhau tại điểm trờn trục tung khi a ≠ m và b = n)
- Song song với nhau khi a = m, b ≠ n
- Trựng nhau khi a = m, b= n
Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với trục hoành khi a = 0, b ≠ 0
VD1: Cho hàm số y = 3x + b Tỡm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 1; -2)
VD2: Tỡm m để đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành?
VD3: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ẵ) và song song với đường thẳng 2x + y = 3 Tỡm a và b ?
VD4: Biết đường thẳng y = ax + b điqua điểm P ( -1;2) và cắt đường thẳng y = 2x – 3 tại một điểm trờn trục tung Tỡm a và b?
VD5: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) và điểm B(-2; 1) Tỡm a và b? VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d cú PT: y = (m -1 )x + n
a, Với giỏ trị nào của m và n thỡ d song song với trục Ox
b, Xỏc định phương trỡnh của d, biết d đi qua điểm A (1; -1) và cú hệ số gúc bằng -3
CHUYấN ĐỀ 4: GIẢI PHƯƠNG TRèNH ax 2 + bx + c = 0
Chuyên đề 5: Phương trình bậc hai
Phần II kiến thức cần nắm vững
1 Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
+Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
b
2
Trang 5+Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
a
b
2
a
b
2
2 Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a b
+Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
a
b '
a
b '
3 Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (a0)
thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 =
a
b
a c
b) ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = 1; x2 =
a c
+Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = -1; x2 =
a c
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình :
x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
Phần II bài tập rèn luyện
I Toán trắc nghiệm (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m 0) có =
Nếu thì phương trình vô nghiệm
Nếu thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
Trang 6b) Phương trình px2+qx+k = 0 (p 0) có ’= (với q = 2q’ )
Nếu ’ thì phương trình vô nghiệm
Nếu ’ thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu ’ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 =
a b
a c
B Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 0)
thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 =
a
c
a b
C Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
D Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
E Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a c
F Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a c
G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0
H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
a
c
B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c
C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là
a
b
a c
D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là
2
1
2 3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: ≥ 0)
Trang 7II Toán tự luận
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán
Bài 1: Giải phương trình
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1;
2
51 ) 49 (
1
2
51 ) 49 (
2
x
+ Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1 50
+ Lời giải 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
50
1 50
).
1 ( 50 49
50 ) 1 ( 49
2 1 2
1
2 1
x
x x
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1 50
b) Giải phương trình (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)
= (2 3)2- 4(2- 3)(– 2 – 3) = 16; = 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 ;
) 3 2
(
2
4 3 2
) 3 2 ( 2
4 3 2
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3; b’ = 3; c = – 2 – 3)
’ = ( 3)2- (2- 3)(– 2 – 3) = 4; = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1;
3 2
2 3
3 2
2 3
x
+ Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3+ (- 2 - 3) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
Trang 8x1 = 1; x1 = ( 7 4 3 )
3 2
3
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1 3x2 – 7x - 10 = 0
2 x2 – 3x + 2 = 0
3 x2 – 4x – 5 = 0
4 3x2 – 2 3x – 3 =
0
5 x2 – (1+ 2)x + 2 = 0
6 3x2 – (1- 3)x – 1 = 0 7.(2+ 3)x2 - 2 3x – 2 + 3 = 0
8 x2 – – 6 = 0x
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21
*Bài tập tương tự:
1 Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b)
) 4 )(
1 (
8 1
x x x
x
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) (x2 - 2)(x + 3) = 0 (x+ 2)(x- 2)(x + 3) = 0
x = - 2; x = 2; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2; x = 2; x = - 3
b) Giải phương trình (2)
) 4 )(
1 (
8 1
x x x
x
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) 2x(x- 4) = x2 – x + 8 x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Trang 9Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t 0) thì (3) 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 = 23
Nên: t1 = (thoả mãn t 0) ;
5
13 5
2
23 ) 3 (
t2 = 2 (loại)
5 2
23 ) 3 (
Với t = x2 = x =
5
13
5
13
5
13
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 =
5
13
5 13
d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 Nên t1 = 1; t2 =
3
1
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0 Nên x1 = ; x2 =
2
5
1
2
5
1
t2 = x2+x = 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
1
3
1
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = ; x2 =
2
5
1
2 5 1
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1 x3+3x2+3x+2 = 0
2 (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3 x4 – 5x2 + 4 = 0
4 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5 x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6 10 1 3
1
x x
x
7 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
x
x x
x
9
x x
x
2
6 3 5 2
Bài 4: Cho phương trình x2 + 3x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
2 2
1 1
x
2 2 2
1 1
x
x
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = 3; x1.x2 = 5
Trang 10A = 15;
5
1 5
3
1 1
2 1
2 1 2 2
x x
x x x x
B = x1 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 )2 2 ( 5 ) 3 2 5
5
1 ) 5 (
5 2 3
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
D = (x1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) = ( 3 )[ 3 2 5 ( 5 )] ( 3 3 3 15 )
* Bài tập tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
2 2
1 1
x
2 2 2
1 1
x
x
E = ; F =
2 3 1 3 2 1
2 2 2 1 2
1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x
2 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
Loại toán rèn kỹ năng suy luận (Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2 Vô nghiệm < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6 Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
a b
a c
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’< 0 1- k < 0 k > 1 phương trình vô nghiệm
Nếu ’= 0 1- k = 0 k = 1 phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0 1- k > 0 k < 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k