Th i gian: 150 phút
Bài 1: (4 đi m)
a) Rút g n: A 13 25 1 2 2 13 25 1 2 2
x x 1 y y 1 1 Tính x + y
Bài 2: (5 đi m) Gi i ph ng trình:
a) 13 3x 3x 11 3x224x 50
x 2x 3 x 1 x 3x 3
c) 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
Bài 3: (4 đi m)
a) Cho a, b, c > 0 Ch ng minh: a 1 b b 1 4c c 1 9a 12 abc
b)
Cho a, b, x, y lƠ các s th c vƠ x, y > 0 Ch ng minh: 2 2 2
a b
a b
Cho ba s th c d ng x, y, z th a mãn x y z 3 Ch ng minh r ng:
2
x yzy xz z xy
Bài 4: (1 đi m) Giá bán c a m t h p bút lƠ 21.250 đ ng M ng ngƠy 30/4 ng i bán gi m giá l n th nh t
n ngƠy Qu c t thi u nhi ng i bán l i gi m giá m t l n n a, nên giá bán ch còn l i lƠ 19.176 đ ng
H i m i l n ng i bán gi m giá bao nhiêu ph n tr m, bi t r ng s ph n tr m m i l n gi m giá lƠ s ch có
m t ch s
M lƠ đi m b t k trên (d) T M v 2 ti p tuy n ME vƠ MF v i đ ng tròn (O) (E, F lƠ 2 ti p đi m) G i N
vƠ B lƠ giao đi m c a EF v i OM vƠ OA
a) Ch ng minh: ON.OM = OA.OB
b) V ti p tuy n AD, AC đ n (O) (C, D lƠ 2 ti p đi m) Ch ng minh: C, D, B th ng hƠng
c) Xác đ nh v trí c a M đ SMEF nh nh t
Bài 6: (2 đi m) Cho tam giác ABC vuông t i A ng cao AH vƠ trung tuy n BM c t nhau t i O, CO c t
AB t i D Qua A v đ ng th ng (d) song song v i BC (d) c t CD, BM t i E vƠ F
a) Ch ng minh: HB MC DA 1
HC MA DB
b) Gi s AC = BH, ch ng minh CD lƠ phơn giác ACB
H T
QU N BÌNH TH NH (2015-2016)
Trang 2
Bài 1: (4 đi m)
a) Rút g n: A 13 25 1 2 2 13 25 1 2 2
A 13 25 1 2 2 13 25 1 2 2 A > 0
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
A 13 2 5 1 2 2 2 13 2 5 1 2 2 13 2 5 1 2 2 13 2 5 1 2 2
A 26 2 2 2 13 2 5 1 2 2
A 26 2 2 2 169 26 2 2 25 1 2 2
A 26 2 2 2 146 24 2
A 26 2 2 2 12 2
A 26 2 2 2 12 2
A 50
A 5 2 do A > 0
x x 1 y y 1 1 Tính x + y
Ta cĩ: 2 2
x x 1 y y 1 1
x 1 x x 1 x y y 1 x 1 x
x 1 x y y 1 x 1 x
y y 1 x 1 x 1
Ta cĩ: 2 2
x x 1 y y 1 1
x x 1 y 1 y y 1 y y 1 y
x x 1 y 1 y y 1 y
ĐỀ THI HSG LỚP 9 – QUẬN BÌNH THẠNH – (2015-2016)
Trang 3x y x y
x y 0
Bài 2: (5 đi m) Gi i ph ng trình:
a) 13 3x 3x 11 3x224x 50
i u ki n: 11 x 13
3 3
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:
1 13 3x 14 3x
13 3x
1 3x 11 10 3x
3x 11
13 3x 3x 11 2 VT 2
Ta có: 2 2
3x 24x 50 3 x4 2 VP2
Do đó, đ d u ‘’=’’ x y ra khi
1 13 3x
1 3x 11 x 4
x 4 0
V y S 4
x 2x 3 x 1 x 3x 3
t x 3x 3, t 0
t2 x23x 3 x2 t2 3x 3
Khi đó, ph ng trình tr thƠnh:
2
2
2
t 3x 3 2x 3 x 1 t
t x xt t
t xt x t 0
t t x 1 x t 0
t x t 1 0
t x
t 1
TH1: t = x x2 3x 3 x x2 0 2 x 0 x 1
x 1
x 3x 3 x
x 3x 3 1 x 3x 3 1 x 1 x 2 0 x 1 hay x2 nhan
V y S 1; 2
c) 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
Trang 4t
2 2
2 2
1 71
a b 2x 8 a b a b 2 x 4 x 4
2
b 2x x 1
Ph ng trình tr thƠnh:
2
a b a b
a b
2
2 a b a b a b
a b a b 2 0
a b 2 0 do a b 0
a b 2
2x x 9 2x x 1 2
2x x 9 2x x 1 4 2x x 1 4
2 2x x 1 x 2
x 2
4 2x x 1 x 4x 4
x 2
x 0
x 0
8 x 8
7
V y S 0;8
7
Bài 3: (4 đi m)
a) Cho a, b, c > 0 Ch ng minh: a 1 b b 1 4c c 1 9a 12 abc
Ta có: a 1 b b 1 4c c 1 9a 12 abc
a ab b 4bc c 9ca 12 abc
a 4bc b 9ca c ab 12 abc
Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:
a 4bc 2 a.4bc 4 abc
b 9ac 2 b.9ac 6 abc
c ab 2 c.ab 2 abc
a4bc b 9ca c ab12 abc
Trang 5b) i) Cho a, b, x, y lƠ các s th c vƠ x, y > 0 Ch ng minh:
x y x y
Ta có : 2 2 2
a b
a b
2
a y x y b x x y xy a b
xy x y xy x y
a xy a y b x b xy a xy 2abxy b xy
a y 2abxy b x 0
ay bx 0
(b t đ ng th c đúng)
ii) Cho ba s th c d ng x, y, z th a mãn x y z 3 Ch ng minh r ng:
2
x yzy xz z xy
Áp d ng b t đ ng th c 2 2 2
a b
a b
, ta có:
2
x yz y xz x yz y xz
1
x yz y xz z xy x yz y xz z xy
Áp d ng b t đ ng th c 2 2 2
a b
a b
, ta có:
2
x yz y xz z xy x y z xy yz xz
T (1) vƠ (2), ta suy ra:
3
x yz y xz z xy x y z xy yz xz
Ta d ch ng minh: xy yz xz x y z
2
x y z xy yz xz 2 x y z
2 x y z
x y z xy yz xz
2 x y z
x y z xy yz xz
2
x y z xy yz xz
Mà x y z 3
Trang 6Nên 2
x y z 3
4 2
x y z xy yz xz
T (3) vƠ (4), ta có: x2 y2 z2 3
2
x yz y xz z xy
Bài 4: (1 đi m) Giá bán c a m t h p bút lƠ 21250 đ ng M ng ngƠy 30/4 ng i bán gi m giá l n th nh t
n ngƠy Qu c t thi u nhi ng i bán l i gi m giá m t l n n a, nên giá bán ch còn l i lƠ 19176 đ ng H i
m i l n ng i bán gi m giá bao nhiêu ph n tr m, bi t r ng s ph n tr m m i l n gi m giá lƠ s ch có m t
ch s
G i x% lƠ s ph n tr m gi m giá l n I *
1x, y9, x,yN
G i y% lƠ s ph n tr m gi m giá l n II
S ti n gi m giá l n I : 21250x
100 (đ ng)
S ti n gi m giá l n II : 21250 21250x y
100 100
Theo đ bƠi, ta có ph ng trình : 21250 21250x 21250 21250x y 19176
xy 100x 100y 976
x 100 y 100 9024 1
*
1 x, y 9 99 x 100 91
x, y N
99 y 100 91 x,y N
Nên t (1) x 100 94 hay x 100 96 x 6 hay x 4
y 100 96 y 100 94 y 4 y 6
V y ng i bán gi m giá 2 l n, 1 l n 4%, 1 l n 6%
M lƠ đi m b t k trên (d) T M v 2 ti p tuy n ME vƠ MF v i đ ng tròn (O) (E, F lƠ 2 ti p đi m) G i N
vƠ B lƠ giao đi m c a EF v i OM vƠ OA
d
D
B N E
M
Trang 7 ON OB ONB OAM g g
OA OM ON.OM A.OBO
b) V ti p tuy n AD, AC đ n (O) (C, D lƠ 2 ti p đi m) Ch ng minh: C, D, B th ng hƠng
Ta cĩ:
2
2
OE ON.OM
OB OD ON.OM OA.OB OD OA.OB
OD OA
OE OD
Xét OBD và ODA, ta cĩ:
BOD ODA
OB OD
OD OA
OBD ODA c g c
0 OBDODA90 DBOAt i B mƠ DCOAt i A nên DBDC(Tiên đ -clit)
C, D, B th ng hƠng
c) Xác đ nh v trí c a M đ SMEF nh nh t
Xét (O), ta cĩ:
ON là khoảng cách từ O đến dây EF
ON OB quan he ägiữa đường vuông góc và đường xiên
OM OA quan he ägiữa đường xiên và đường vuông góc
OB ON quan he ägiữa đường xiên và đường vuông góc
OM OB OA ON
OM ON OA OB
MN AB 2
T (1) vƠ (2), ta suy ra 1 EF.MN 1 CD.AB S MEF 1 CD.AB
D u “=” x y ra ON OB M A
OM OA
V y giá tr nh nh t c a S MEF là 1 CD.AB
Bài 6: (2 đi m) Cho tam giác ABC vuơng t i A ng cao AH vƠ trung tuy n BM c t nhau t i O, CO c t
AB t i D Qua A v đ ng th ng (d) song song v i BC (d) c t CD, BM t i E vƠ F
d
D' D
H A
Trang 8a) Ch ng minh: HB MC DA 1
HC MA DB
HB OH
AE OA
HC OH
Mà
MC BC
MA AF
DA AE
DC BC
nên HB MC DA AF BC AE 1
HC MA DB AE AF BC
b) Gi s AC = BH, ch ng minh CD lƠ phơn giác ACB
CHA CAB g g
CB AC
mà AC = BH (gt) nên CA HC
1
CB BH
T a có: HB MC DA 1 HB DA DA HC
HC MA DB
MC MA
T (1) vƠ (2), ta có:DA CA
DB CB
V CD’ lƠ đ ng phơn giác c a ABC D ' A CA
D ' B CB
Mà DA CA
DB CB(cmt) nên D ' A DA D ' A D ' B
D ' B DB DA DB
Áp d ng tính ch t dãy t s b ng nhau, ta có:
D ' A D ' B D ' A D ' B AB
1 D ' A DB D ' D
DA DB DA DB AB
Mà CD’ lƠ đ ng phơn giác c a ABC (cách g i)
Nên CD lƠ đ ng phơn giác c a ABC CD là phân giác ACB
H T