TUY N SINH L P 10 CHUYÊN LAM S N , THANH HÓA
MÔN THI : TOÁN ( th i gian 150 phút )
N m h c 2007 – 2008
Câu 1 : ( 2,5 đ)
1) Cho bi u th c P = 2x 1 x 1 x x x
x x 1 x x 1 1 x Tìm đi u ki n c a x đ P có ngh a và hãy rút g n bi u th c P
2) Gi i ph ng trình 2
x 2x 7 3 (x 1)(x 3)
Câu 2 : ( 2đ)
1) Cho ph ng trình x2– ( a + b ) x – ab = 0 ( x là n ) có 2 nghi m x1 , x2
Tìm x1 , x2 bi t r ng x12 + x22 + 2 = 2 ( x1 + x2– 2 x1x2 )
2) Gi i h ph ng trình
2 2
(x x)(x y) 4 (x 1) y 1
Câu 3 ( 1,5 đ)
Trên m t ph ng t a đ Oxy cho đ ng th ng d có ph ng trình y = mx – m + 1 ng th ng d c t tr c hoành t i A và tr c tung t i B ( A, B không trùng v i g c t a đ O ) G i H là chân đ ng cao h t O c a tam giác OAB Tìm m bi t OH = 3
5
Câu 4 ( 3 đ)
Cho đ ng tròn O ngo i ti p tam giác đ u ABC và đi m M b t kì trên cung nh BC ( M không trùng v i B và
C ) N i MA c t BC t i N Ch ng minh r ng :
1) MB + MC = MA
2) 1 1 1
3) 1 1
MB MC đ t giá tr nh nh t khi và ch khi MB + MC đ t giá tr l n nh t
Câu 5 : ( 1 đ)
Cho x , y là các s th c th a mãn đi u ki n x3
+ y3 = - 2
Ch ng minh - 2 x y 0
Trang 2S l c bài gi i
Câu 1 : 1) i u ki n x 0 , x ≠ 1 P = x - 1
2) t x 1 x 3 = t ( t 0 ) thì t2– 3t – 4 = 0
T đó t = 1 ho c t = - 4 ( lo i )
V y x = 1 5
Câu 2 : 1) i u ki n ( a +b )2+4ab ≥ 0
Áp d ng Viét ta đ c ( a – 1 )2
+ ( b – 1 )2
= 0 suy ra a = b = 1
V y x1,2 = 1 2
2) t u = x2+ x , v = x + y ta đ c h ph ng trình uv 4 u v 2
V y ( x ; y ) = ( 1 ; -3 ); ( - 2 , 0)
Câu 3 : Ta có A ( m 1
m ;0) , B ( 0 ; 1 – m ) v i m ≠ 0 suy ra OA = m 1
m ; OB = 1 m
Trong tam giác vuông OAB ta có 1 2 12 1 2
2
+5m+2 = 0
V y m = - 2 ho c m = - 1
2
Câu 4 : 1) Trên đo n AM l y đi m D sao cho MD = MC thì CMD đ u
Suy ra CD = CM và ACD BCM Xét tam giác ACD và tg BCM có :
AC = BC ; ACD BCM và CD = CM
Suy ra ACD BCM ( c – g – c ) V y AD = BM
Nên MB + MC = AD + DM = MA ( đi u ta ph i ch ng minh )
O A
M D
N
Trang 32) Vì CD // BM nên CD ND MD MN MD 1
Mà CD = MD = MC nên
1
MB MC MB MC MA R ( áp d ng tính ch t ( x + y )
2 ≥ 4xy )
V y 1 1
MB MC t giá tr nh nh t khi và ch khi
MB +MC l n nh t Khi đó MA = 2R
Câu 5 : Vì x3 + y3 = - 2 < 0 nên x3 < - y3 x + y < 0
Vì ( x – y ) 2≥ 0 nên ( x + y )2≥ 4 xy
Suy ra : ( x + y) 3 4xy ( x + y ) Do đó - 2 = x3
+ y3 = ( x + y )3– 3xy ( x + y ) 1
4( x + y )
3
( Thay xy 1
4( x + y )
2
Suy ra x + y ≥ - 2 đi u ta ph i ch ng minh
GV : Hu nh Ng c Hi p s u t m vƠ l c gi i