Đề thi khảo sát học sinh giỏi Lần 1 năm học: 2016 2017 môn thi: Toán 944309

a Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.. b Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.. HD c H là giao đi

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN

TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1

Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)

ĐỀ BÀI Câu 1 (4,0 điểm)

1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

2 3

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6



























x x x

x x

x x

x x

x

Điều kiện x 0, x 4; x 9 ; x 1  

2) Rút gọn biểu thức: B =

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2















Câu 2: (3,0 điểm).

Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất

Câu 3: (4,0 điểm)

a Với  3 Tính giá trị của biểu thức: B =

5 2 17 5 38

.

5 14 6 5



3x  8x  2

b Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho

(3x+1) y đồng thời (3y + 1) x. 

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H Chứng minh rằng:

a) SABC = 1AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

2 b) tanB.tanC = AD

HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF

d) HB.HC HC.HA HA.HB 1

AB.AC  BC.BA  CA.CB 

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2

x  y  y  z  z  x  2015 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

y z z x x y

Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Các tia

AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K Chứng minh rằng:

3 2

IM  IN  IK 

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và Tên thí sinh: Lớp:

SBD: Phòng

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN

TRƯỜNG THCS NGA THIỆN KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN 1 HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày 29/ 10/ 2016

1)

2điểm

A 2(x 4 x 3)(2 x ) 2x 10 x 12 3 x x 2

A 2(2 x )( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x )( x 1

Do x 0; x 1; x 4; x 9   

A =

) 2 )(

3 )(

1 ( 2

) 3 ( 2 ) 1 ( 3 3 ) 6 ( 6

x x

x

x x

x x

x





















A =

) 2 )(

3 )(

1 ( 2

6 2 3 3 3 6 6

x x

x

x x

x x x x





















A =

) 2 )(

3 )(

1 ( 2

) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 6 2 (

x x

x

x x x

x x

x x





















) 2 )(

3 )(

1 ( 2

) 2 )(

3 )(

1 (

x x

x

x x

x













2 1

0,75

0,75

0,5

1

(4đ)

2)

2điểm

6

B

2

  

1,0

0,75

0,25

2

(3đ) (1,5đ) a. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là:

(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m  mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m  (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m



























1

1 0

1 2

0

o o o

o

o o

y

x y

x

y x

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N

(-0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2) + Với m ≠ 1 và m ≠ 2

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung

Ta có: x = 0  y = 1 , do đó OA =

1

m

1 1

m

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành

Ta có: y = 0  x = 1 , do đó OB =

2

m

1 2

m

Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có:

2

1 ) 2

3 ( 2 5 6 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 1

2 2

OB OA

h

Suy ra h2  2, max h = 2 khi và chỉ khi m = 3

2

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = 2 khi và chỉ khi m = 3

2

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

3

2

3

5 3 5

5 (3 5)

x

 

Từ tính được B = - 1

1,25

0,75

3

(4đ)

b Dễ thấy x y Không mất tính tổng quát, giả sử x > y

Từ (3y + 1) x   *

3y 1 p x p N .

Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x

p < 3 Vậy p

 Với p = 1: x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4 y 4 y     

Mà y > 1 nên y 2; 4

+ Với y = 2 thì x = 7

+ Với y = 4 thì x = 13

 Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y +   

5

Vì 3x + 1 y nên 9y + 5 y suy ra 5 y , mà y > 1 nên y = 5,   

suy ra x = 8

Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng

Vậy các cặp (x; y) cần tìm là:

(7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

4

H

E F

* Ta có: SABC = 1.BC.AD.

2

ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = 1

2 BC.AB.sinA

ABE vuông ở E có AE = AB.cosA BFC vuông ở F có BF = BC.cosB ACD vuông ở D có CD = AC.cosC

Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

1,0

1,0

b(1,5đ) Xét ABD có tanB = AD; ACD có tanC =

BD

AD CD suy ra tanB.tanC = (1)

2 AD BD.CD

Do HBD฀ CAD฀ (cùng phụ với ACB฀ ) nên BDH  ADC (g.g)

 BD.DC = DH.DA

Kết hợp với (1) được tanB.tanC =

2

DH.AD  DH

0,5

0,5

0,5 c(1,5đ) Chứng minh được AEF  ABC (g.g) AEF฀ ABC฀

Tương tự được CED฀ CBA฀ nên AEF฀ CED฀ mà BE  AC

= 900 Từ đó suy ra  EH là phân

trong của DEF

Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DEF

0,5

0,5

0,5

d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC

Dễ thấy CHE  CAF(g.g) CH CE

BHC BHC ABC ABC

CBA

CAB

CA.CB S

1 AB.AC  BC.BA  CA.CB S S S 

0,25

0,25

0,25

0,25

5

x  y ; b  y  z ; c  z  x a; b; c  0

a    b c 2015

Ta có: 2 2 2 2 2 2 

a  b  c  2(x  y  z )

Tương tự:

,

 T a2 b2 c2 b a2 b2 c2 c a2 b2 c2 a

(a b c )

a b c

 

2

(a b c)

a b c

(a b c)(a b c)

a b c

2015.9

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2015

3

  

Vậy min T 2015 khi

2 2

3 2

  

0,25

0,25

Đặt

1 1

ABC BIC

S

y z IA



0.5

Chứng minh tương tự ta có:





6

(2đ)

3 2

x x y y z z

IM  IN  IK 

1.0

A

B

I