Đề thi học sinh giỏi ptth năm học 2000 2001 môn thi: Toán44194

Cho tam giác ABC... Đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD có bán kính bằng 2 Tìm phương trình H 1.. Tính thể tích tứ diện ANBD1 3.

Đ CHO B NG A VÀ B NG B Bài 1:

Cho phương trình: sin4x+(1 sin )− x 4 =m

1 Gi i phương trình v i 1

8

m=

2 V i nh ng giá tr nào c a m thì phương trình ñã cho có nghi m

Bài 2:

1 Cho a b c, , là ba c nh c a m t tam giác, còn x y z, , là ba s tho mãn:

0

ax+by+cz=

Ch ng minh r ng: xy+yz+zx≤ 0

2 Cho x≥ 0 Ch ng minh r ng: log (1 2 ) log (32 x 3 x ( 2) )x

Bài 3:

Cho a a1; ; ;2 a n (n> 3) là các s th c tho mãn:

;

Ch ng minh r ng: max a a{ 1; ; ;2 a n}≥2 V i n≤ 3 thì k t lu n còn ñúng không?

Bài 4:

Cho hình h p ch nh t ABCD A B C D ' ' ' ' có AA' 2 = AB= 8 , a E là trung ñi m c a c nh

AB và M là m t ñi m trên c nh DD' sao cho DM a 1 AD F

AC

  là m t ñi m di

ñ ng trên c nh AA'

a Tìm ñi m F trên c nh AA' sao cho CF+FM có giá tr nh nh t

b V i F tho mãn ñi u ki n câu a, hãy tính góc t o b i hai m t ph ng ( , , )D E F

và m t ph ng ( , ', ')D B C

c V i gi thi t F tho mãn ñi u ki n câu a và các ñư ng th ng AC' và FD

vuông góc v i nhau, Tính th tích c a hình h p ABCD A B C D ' ' ' '

Bài 5: ( H c sinh b ng B không ph i làm bài này)

S GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI H C SINH GI I PTTH NĂM H C 2001 - 2002

Môn thi : Toán

Th i gian làm bài: 180 phút

Đ CHO B NG A VÀ B NG B

Bài 1:

Cho b t phương trình:

2cos x3 + (m− 1)cos x2 + 10cosx+m− > 1 0 (1)

1 Gi i b t phương trình khi m= − 5

2 Tìm m ñ b t phương trình (1) tho mãn v i m i 0;

3

x  π

∈ 

Bài 2:

Gi i phương trình:

1

x

cosx−sinx + cosx+cos x =

Bài 3:

Gi i phương trình sau v i x∈ (0; 2):

2

1 2 1

4

x

x x

x

Bài 4:

Bi t ña th c 2001 2000

f x =x +a x + +a x+a có 2001 nghi m th c phân bi t và

1996 1996; 1998 1998

a = a = Ch ng minh r ng: a1997 > 1997

Bài 5:

1 Cho t di n OABC có góc tam di n ñ nh O vuông, ñư ng cao OH =h,

OA=a OB=b OC=c Ch ng minh r ng:

3

acotA bcotB+ +ccotC≥ h

2 Có th chia m t ña giác l i ñã cho thành m t s t giác không l i ñư c không? Hãy

ch ng minh ñi u kh ng ñ nh c a mình

Chú ý: H c sinh thi b ng B không ph i làm bài 5 2

Đ CHO B NG A Bài 1 ( 4 ñi m):

Cho h phương trình: log (3x x+ay) log (3 = y y+ax) 2 =

1 Gi i h khi a = 2

2 Tìm t t c các giá tr c a a ñ h có ba nghi m phân bi t

Bài 2 ( 4 ñi m):

+

= +

1 V i a= ch ng minh r ng luôn tìm 1 ñư c 2 ñi m và ch có hai ñi m trên ñư ng cong sao cho

ti p tuy n t i ñó song song v i ñư ng th ng có phương trình: 2x− 2y+ = 1 0

2 Tìm giá tr l n nh t c a a ñ t p giá tr c a hàm s ña cho ch a ño n [0; 1]

Bài 3: ( 4 ñi m):

1 Gi i phương trình:

2cos x( − 45 ) −cos x( − 45 )sin 2x− 3sin 2x+ = 4 0

2. Cho tam giác ABC O là m t ñi m trong tam giác sao cho:

OCA OAB OBC= = =α

Ch ng minh r ng: cotα =cotA cotB+ +cotC

Bài 4 ( 2 ñi m):

V i x k≠ π là góc cho trư c Tìm gi i h n:

n

Bài 5 ( 6 ñi m):

Cho t di n ABCD có CD vuông góc v i ( ABC), CD CB= , tam giác ABC vuông t i A M t

ph ng quan C vuông góc v i DB c t DB DA, l n lư t t i M I, G i T là giao ñi m c a hai ti p

tuy n t i A và C c a ñư ng tròn ñư ng kính BC trong m t ph ng ( ABC)

1 Ch ng minh b n ñi m , ,C T M I, ñ ng ph ng

2. Ch ng minh IT là ti p tuy n c a m t c u ñư ng kính CD và m t c u ñư ng kính CB

3. G i N là trung ñi m c a AB , K là ñi m trên CD sao cho 1

3

S GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI H C SINH GI I PTTH NĂM H C 2003 - 2004

Môn thi : Toán

Th i gian làm bài: 180 phút

Đ CHO B NG B Bài 1 ( 6 ñi m ):

1 Cho ñư ng cong (C ) có phương trình: y= + 1 s inx v i ;3

2 2

x π π 

c a hoành ñ giao ñi m c a ti p tuy n v i (C ) và tr c hoành

2 Cho hàm s :

2

s ch có m t c c tr duy nh t

Bài 2 ( 5 ñi m):

Gi i các phương trình:

1 s inx s inx sin + + 2x+ cosx= 1

2. log7x=log (3 x+2)

Bài 3 ( 5 ñi m):

2

x  π

∈   c a phương trình: 2 sinx 2 cosx

π

2 Không dùng máy tính, hãy so sánh log20032003 và log20042004

Bài 4 ( 4 ñi m):

Cho góc tam di n Oxyz

1 A là m t ñi m trên Oz sao cho OA = 25a ( a > 0) Kho ng cách t! A ñ n Ox và Oy tương

ng là 7a và 2a Tính kho ng cách t! A ñ n mp(Oxy), bi t góc xOy = 600

2 Cho xOy= yOz=z xO =600 Đi m A ( khác O) c ñnh trên Oz v i OA = d không ñ#i M, N

OM +ON = d

Ch ng minh ñư ng th ng MN luôn ñi qua m t ñi m c ñnh

Đ CHO B NG A Bài 1 ( 6 ñi m ):

1 Cho ñư ng cong (C ) có phương trình: y= + 1 s inx v i ;3

2 2

x π π 

  Tìm giá tr nh

nh t c a hoành ñ giao ñi m c a ti p tuy n v i (C ) và tr c hoành

2 Cho hàm s :

2

    , v i m là tham s Xác ñ nh m ñ hàm s ch có m t c c tr duy nh t

Bài 2 ( 3 ñi m):

Tìm t t c các giá tr c a a ñ h phương trình sau có ñúng hai nghi m:

2







Bài 3 ( 5 ñi m):

1 Xác ñ nh s nghi m 0;

2

x  π

∈   c a phương trình: 2 sinx 2 cosx

π

2 Cho 1 < + < + <a 1 b 1 c Ch ng minh : log (c c+a) log < c b− c

Bài 4 ( 4 ñi m):

Cho góc tam di n Oxyz

1 A là m t ñi m trên Oz sao cho OA = 25a ( a > 0) Kho ng cách t! A ñ n Ox và Oy tương ng là 7a và 2a Tính kho ng cách t! A ñ n mp(Oxy), bi t góc xOy = 600

2 Cho xOy= yOz=z xO =600 Đi m A ( khác O) c ñ nh trên Oz v i OA = d không ñ#i

M, N là hai ñi m chuy n ñ ng trên Ox và Oy sao cho 1 1 1

OM +ON = d

Ch ng minh ñư ng th ng MN luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh

S GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI H C SINH GI I PTTH NĂM H C 2004 - 2005

Môn thi : Toán

Th i gian làm bài: 180 phút

Đ CHO B NG A Bài 1 ( 5 ñi m)

Cho hàm s y=x4 − 6x2 + 5

1 Kh o sát s bi n thiên và v$ ñ th ( )C c a hàm s

2 Cho ñi m M thu c ( )C có hoành ñ là a Tìm t t c các giá tr c a a ñ ti p tuy n

c a ( )C t i M c t ( )C hai ñi m phân bi t khác M

Bài 2 ( 5 ñi m):

1 Tính ñ o hàm c p n c a hàm s : 2

2

2

x

−

− −

2 Tính tích phân: 1 2

0

2

x − x+m dx

∫

Bài 3 ( 4 ñi m):

1 Xác ñ nh m ñ phương trình sau có b n nghi m phân bi t:

x − x= x−m −

2 Xác ñ nh m ñ phương trình sau có ba nghi m phân bi t

2

1 2

2

Bài 4 ( 4 ñi m):

Cho ñư ng tròn ( ) :C x2 +y2 − 10x− 2y+ 25 0 =

và ñư ng tròn 2 2

1

( ) :C x +y − 4x+ 4y+ = 4 0

Hãy vi t phương trình các ñư ng th ng ti p xúc v i c hai ñư ng tròn trên

Bài 5 ( 2 ñi m):

Goi α β γ, , là ba góc t o b i ñư ng th ng d theo th t v i ba ñư ng th ng ch a ba c nh

, ,

BC CA AB c a tam giác ñ u ABC Ch ng minh r ng:

16(sin α.sin β.sin γ +cos α.cos β.cos γ) 1 =

Đ CHO B NG B Bài 1 ( 5 ñi m)

Cho hàm s y=x4 − 6x2 + 5

1 Kh o sát s bi n thiên và v$ ñ th ( )C c a hàm s

2 Cho ñi m M thu c ( )C có hoành ñ là a Tìm t t c các giá tr c a a ñ ti p tuy n

c a ( )C t i M c t ( )C hai ñi m phân bi t khác M

Bài 2 ( 5 ñi m):

1 Tính ñ o hàm c p n c a hàm s : 2

2

2

x

−

− −

2 Tìm h nguyên hàm c a hàm s : ( ) 3

x

f x

=

Bài 3 ( 4 ñi m):

1 Xác ñ nh m ñ phương trình sau có b n nghi m phân bi t:

x − x= x−m −

2 Xác ñ nh m ñ phương trình sau có ba nghi m phân bi t

2

1 2

2

Bài 4 ( 4 ñi m):

Cho ñư ng tròn ( ) :C x2 +y2 − 10x− 2y+ 25 0 =

và ñư ng tròn 2 2

1

( ) :C x +y − 4x+ 4y+ = 4 0

Hãy vi t phương trình các ñư ng th ng ti p xúc v i c hai ñư ng tròn trên

Bài 5 ( 2 ñi m):

Goi α β γ, , là ba góc t o b i ñư ng th ng d theo th t v i ba ñư ng th ng ch a ba c nh

, ,

BC CA AB c a tam giác ñ u ABC Ch ng minh r ng:

16(sin α.sin β.sin γ +cos α.cos β.cos γ) 1 =

S GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI H C SINH GI I PTTH NĂM H C 2005 - 2006

Môn thi : Toán

Th i gian làm bài: 180 phút

Đ CHO B NG B Bài 1 ( 2 ñi m):

Kh o sát s bi n thiên và v$ ñ th hàm s : 2 2 2

1

y

x

= +

Bài 2 ( 2 ñi m):

Tìm t t c các giá tr c a m ñ hàm s 2 2 2

1

y

x

=

+ có c c ñ i, c c ti u và kho ng cách t! hai ñi m c c tr ñó c a ñ th hàm s ñ n ñư ng th ng x+ + =y 2 0 b ng nhau

Bài 3 ( 2 ñi m):

Gi i h phương trình:









Bài 4 ( 2 ñi m):

Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: 2x2+3mx− = −1 x 2m

Bài 5 ( 2 ñi m):

Ch ng minh r ng n u trong tam giác ABC tho mãn h th c:

2 2

C tanA tanB+ = cot thì tam giác ñó cân

Bài 6 ( 2 ñi m):

Cho Elíp ( ) : 2 2 1

E + = và ñi m I(1;1) Hãy l p phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua I và

c t ( )E t i hai ñi m A B, sao cho I là trung ñi m c a AB

Bài 7 ( 2 ñi m):

Cho hình l p phương ABCD A B C D ' ' ' ' có c nh b ng 1 Đi m M n m trên c nh AA' Tìm v trí c a ñi m M ñ tam giác BMD' có di n tích bé nh t Tính di n tích bé nh t ñó

Bài 8 ( 2 ñi m):

Vi t phương trình ñư ng tròn ( )C có tâm I n m trên ñư ng th ng d: x− = 1 0 và ti p xúc

v i hai ñư ng th ng a b, có phương trình l n lư t là: x− + =y 1 0 và x− − =y 1 0

Bài 9 ( 2 ñi m):

Tính tích phân: 4

0

dx I

cosx

π

=∫

Bài 10 ( 2 ñi m):

Cho x> 0, ch ng minh r ng: sinx≤x

Câu 1 ( 7 ñi m):

1 Kh o sát s bi n thiên và v$ ñ th hàm s : 2 1

1

y x

+ +

= + (1)

2 Tìm k ñ ñư ng th ng: (2 −k x) − + =y 1 0 c t ñ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t

,

A B sao cho cá ti p tuy n v i d th hàm s (1) t i A và B song song v i nhau

3 Ch ng minh r ng phương trình: x2 + + =x 1 (x+ 1) 9 −x2 có ñúng hai nghi m

Câu 2 ( 5 ñi m):

1 Áp d ng khai tri n nh th c Niutơn c a (x2 +x) 100 , ch ng minh r ng:

2 Cho tích phân 2 ,

n

sin nx

a cos x

−

∫ Tìm a sao cho I2006, I2007, I2008 theo th t

y l p thành m t c p s c ng

Câu 3 ( 7 ñi m):

1 Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho ñư ng tròn :

( ) :C x +y − 4x+ 6y− = 3 0 có tâm I và ñư ng th ng ∆ :x by+ − = 2 0 Ch ng minh

r ng ( )C và ∆ luôn c t nhau t i hao ñi m phân bi t P Q, v i m i b Tìm b ñ tam giác PIQ có di n tích l n nh t

2 Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho các ñi m A(2;0;0), (0;8;0), (0;0;3)B C và

N là ñi m tho mãn: ON =OA OB OC+ + M t m t ph ng ( )P thay ñ#i c t các ño n

, , ,

OA OB OC OD l n lư t t i các ñi m A B1, , , 1 C1 N1 Hãy xác ñ nh to ñ ñi m N1

sao cho:

2007

OA +OB +OC =

Câu 4 ( 1 ñi m):

Tìm t p h p các ñi m M trong không gian có t#ng bình phương các kho ng cách ñ n các

m t c a m t t di n ñ u ABCD cho trư c b ng m t s dương k không ñ#i

S GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI H C SINH GI I THPT NĂM H C 2007 - 2008

Mụn thi : Toỏn

Th i gian làm bài: 180 phỳt à

Cho h m số 1 (C)

1

x y x

ư

= +

1 Khảo sát sự biến thiên v vẽ đồ thị (C ) của h m số

2 Xác định điểm M thuộc đồ thị ( C ) của h m số sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ l số nhỏ nhất

1 Cho h m sốy= +x 1 ưx2 ưm Xác định m=? để y≤0 trên tập xác định của nó

2 Trong mặt phẳng Oxycho hypebol (H) có phương trình x22 y22 1

a +b = Biết tâm sai e=2; Hình chữ nhật cơ sở của nó cắt Ox; Oy tại A;C v B;D Đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD có bán kính bằng 2 Tìm phương trình (H)

1 GiảI phương trình 4 osc 2xư 4 os2xcosc 2xư 6sin cosx x+ = 1 0

2 Cho a≥ 0 Giải v biện luận bất phương trình sau theo a:

3 4 +6 2 2 ư +9 + ≥3 0

3 Giải hệ phương trình sau:

 + =





2 2

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1

Biết A1(0;0;0); B1(a;0;0); D1(0;a;0); A(0;0;a) Gọi M; N lần lượt trung điểm các

cạnh AB; B1C1

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M v song song với hai đường thẳng AN; BD1

2 Tính thể tích tứ diện ANBD1

3 Tính góc v khoảng cách giữa các đường thẳng AN v BD1

Cho + 2 =(2+ 2 n=1,2,3 Tìm lim) →∞