Đề thi thử học sinh giỏi lần 11 năm học 20132014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề43935

1 Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng BDMN.. 2 Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. Chứng minh rằng d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A,B.. Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn C sao cho d

SỞ GD&ĐT HOÀ BèNH

TRƯỜNG THPT 19-5 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 11 NĂM HỌC 2013-2014 Mụn TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề, khụng sử dụng

mỏy tớnh bỏ tỳi.

Cõu I (4 điểm) Cho hàm số y  x3 3x22 (C)

1) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đú vuụng gúc với đường thẳng

d x y 

2) Tỡm trờn đường thẳng (d): y = 2 cỏc điểm mà từ đú cú thể kẻ được ba tiếp tuyến đến

đồ thị (C)

Cõu II (6 điểm) Giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:

1) tan(5 -x) + = 2

2

1 + cosx

3

3)

x y x y







Cõu III (4 điểm)

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3 và góc BAD

2

a

= 600 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'

1) Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN)

2) Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Cõu IV (3 điểm)

Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 và đường thẳng (d) có

x y  x y  phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B

Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Cõu V (3 điểm)

1) Tỡm a để phương trỡnh sau cú nghiệm:

( Dự bị KA-02)

9 x  a2 3 x 2a 1 0 2) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:

S cos3A2cosAcos2Bcos2C

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11

Câu I 2/ Gọi M(m; 2)  d Phương trình đường thẳng  qua M cĩ dạng: yk x m(  ) 2 

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)  Hệ phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt:



x x k

2

3 2 ( ) 2 (1)

     





m hoặc m m

5 1

3 2

   



 



Câu II.

cosx+1 0 cosx+1 0

5 1

sin x=





Vậy x= 2 và x= (k Z) là 2 nghiệm

6 k

2

2) x2; x 1 33

3) (2)  x y Đặt a = 2x; b = (2) 

3

   





y

ab

3 1

  

 



Hệ đã cho cĩ nghiệm: 3 5; 6 , 3 5; 6

Câu III.

Chứng tỏ AC’ BD

C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN Suy ra AC’ (BDMN)

Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’ Nếu dùng cách hiệu các thể tích thì phải chỉ ra cách tính Tính đúng diện tích hình thang BDMN Suy ra thể tích cần tìm là:

3 3 16

a

Câu IV

(C) cĩ tâm I(2;2), bán kính R=2

Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:

Hay A(2;0), B(0;2)

0 2

2 0

0

x y

x y

y

 



  









 Hay (d) luơn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B

Ta cĩ 1 (H là hình chiếu của C trên AB)

2

ABC

S฀  CH AB

Dễ dàng thấy CH max

ax CH max

ABC

2

C

x





฀

(2; 2)

d I







฀

฀

฀C(2 2; 2 2) C(2 2; 2 2) S฀ABC max

Câu V.

1) Đk 1   x 1 Đặt t= 2 Ta thấy

1 1

Nên

2

1 1 2

3 3   x  3    3 t 9

Bài tốn quy về: Tìm a để phương trình t2- (a+2)t +2a +1 =0 (1) cĩ nghiệm t thoả

3   t 9

H 4

A

y

x

M

2

2 O

C

(1)f(t)= 2 2 1

2

a t



số nghiệm của phương trỡnh (1) trong 3   t 9 bằng số giao điểm của đường thẳng y=a và

đồ thị hàm số f(t) =

2

2

t

 



Lập bảng biến thiờn ta được kết quả: 64

4

7

a

 

2) S cos3A2cosAcos2Bcos2C=cos3A2cosA2cos(BC)cos(BC)

cos3A2cosA1cos(BC)

Vì cosA0,1cos(BC)0nên Scos3A, dấu bằng xẩy ra khi cos(B  C)1 hay

Nhưng , dấu bằng xẩy ra khi hay A =

2

1800 A

C

1 3

Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều