Đề thi HSG lớp 9 quận Bình Thạnh – (20142015) môn Toán43891

OA cắt BC tại H.. Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E.. Hai tia BE, CF cắt nhau tại H.. Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC tại P, Q.. a Chứng minh: 

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P 1 x : x 3 x 2 9 x

a) Rút gọn

b) Tìm x Z  để x P Z  

Bài 2: (5 điểm) Giải phương trình:

a) 3 x 1 3 7 x 2  

b) x 24x 2 2x 3 5  

6x 5 3x 2 x 1   35

Bài 3: (4 điểm)

a b  c d  a c  b d Tìm giá trị nhỏ nhất của:

x 1  x 2x 5 

b) Cho ba số a, b, c dương thỏa a b c 1  

Bài 4: (2 điểm)

a) Cho a b c 0   Chứng minh: a b c 3 3 3 3abc

b) Cho x,y,z 0  và 1 1 1 0

x y z    Tính: 2 2 2

yz xz xy

x y  z Bài 5: (3,5 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) OA cắt BC tại H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) tại E (E khác D) và cắt BC tại I a) Chứng minh: AHE ADO

b) Chứng minh: HE CE

Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E Hai tia BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC tại P, Q

a) Chứng minh: AHQ BIH

b) Chứng minh: H là trung điểm của đoạn thẳng PQ

  HẾT  

ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN BÌNH THẠNH – (2014-2015)

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P 1 x : x 3 x 2 9 x

a) Rút gọn



2

2

3

b) Tìm x Z  để x P Z  

Đặt M x P 

TH1: x là số nguyên

     

x 1;3;5 x 1;9;25

TH2: x là số vô tỉ

M x 2  x 2 x 3

M x 2M x 2 x 3   

 M 2 x x 2M 3    

Nếu M 2 thì      



x 2M 3

M 2

ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN BÌNH THẠNH – (2014-2015)

HƯỚNG DẪN

Thử lại, thế x = 7 vào  



3

x 2 ta được:



3 7 2 3

Vậy x1;7;9;25 thì x P Z   

Bà 2: (5 điểm) Giải phương trình:

a) 3 x 1 3 7 x 2  

3 x 1 3 7 x 2 3 x 1 3 7 x 2 3

 

3 3

b) x 24x 2 2x 3 5  

Điều kiện:   x 3

2

x 4x 2 2x 3 5 x 2x 1 2x 3 2 2x 3 1 0 x 1 2x 3 1 0

  



  



x 1 0

x 1 nhận 2x 3 1 0 Vậy S  1

6x 5 3x 2 x 1   35

  2  

6x 5 3x 2 x 1   35

2

Đặt  t 36x 260x 24, phương trình trở thành: 

 t 1 t 420    t 2 t 420 0  t 2 21t 20t 210 0    t 21 t 20  0

TH1:  t 21 0 36x 2 60x 24 21 0   36x 260x 45 0  12x 220x 9 0 (vônghiệm)  

TH2:  t 20 0 36x 2 60x 24 20 0   36x 2 60x 4 0  9x 215x 1 0  















x

6

x

6

Vậy      

Bài 3: (4 điểm)

a b  c d  a c  b d Tìm giá trị nhỏ nhất của:

x 1  x 2x 5 

Ta có: a 2b 2  c 2d 2  a c   b d  (1)

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b c d ac bd 2

TH1: ac bd < 0 thì (2) luôn đúng  (1) đúng

TH2: ac bd 0  , khi đó (2) trở thành:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

a c a d b c b d a c 2adbc b d

a d b c 2adbc

ad bc 0 bất đẳng thức đúng

a b  c d  a c  b d Dấu ‘’=’’ xảy ra khi ad = bc

Ta có: x 2  1 x 2 2x 5  x 21 2  1 x 2 2 2

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

2

2 2

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của x 2  1 x 2 2x 5 là 10 

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi 2x 1 1 x    x 1

3 b) Cho ba số a, b, c dương thỏa a b c 1  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta có:







Nên a b b c a c 6 2 2 1 a 1 b 1 c

Bài 4: (2 điểm)

a) Cho a b c 0   Chứng minh: a b c 3 3 3 3abc

Ta có: a b c 0       a b c a b   3  c 3 a 3b 33ab a b   c 3

 

a 3b 33ab c   c 3 a 3b 3c 3 3abc

b) Cho x,y,z 0  và 1 1 1 0

x y z    Tính: 2 2 2

yz xz xy

x y  z

3 3 3

2 2 2 3 3 3

Áp dụng câu a) ta có:                 

3 3 3

Do đó:       

2 2 2

yz xz xy xyz.3 1 1 1 3

x y z

Bài 5: (3,5 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) OA cắt BC tại H Vẽ đường kính BD, AD cắt (O) tại E (E khác D) và cắt BC tại I a) Chứng minh: AHE ADO







2

2

AH.AO AE.AD

AD AO

AB AE.AD HTL

 









HAE DAO góc chung AHE và ADO, ta có: AH AE cmt

AD AO

 AHE ADO c g c   AHE ADO 

b) Chứng minh: HE CE



CID EIB 2 góc đối đỉnh ICD và IEB, ta có:

ICD IEB 90  ICD IEB g g   

 

IC ID tsđd  IC IE

H I E

C O

B

A

D

Xét  

 









CIE BID 2 góc đối đỉnh ICE và IDB, ta có: IC IE cmt

ID IB

 ICE IDB g g 

ICE = IDB HCE = ADO

mà AHE ADO (cm câu a) nên  AHE HCE 

Mặt khác: AHE CHE 90 nên   0  HCE CHE 90 ,   0 HEC 90 0HE CE 

Bài 6: (1,5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) Đường tròn tâm I đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E Hai tia BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng qua H vuông góc với IH cắt AB, AC tại P, Q

b) Chứng minh: AHQ BIH

Ta có:





0

0 0

EHQ QHI IHB 180

EHQ IHB 90 QHI 90 PQ HI tại H

mà EHQ EQH 90  0EHQ vuông tại E nên  EQH BHI AQH BHI 

Xét AHQ và BIH , ta có:

 







AQH BHI cmt

HAQ HBI cùng phụ ACB

c) Chứng minh: H là trung điểm của đoạn thẳng PQ

Ta có:









0 0

AHP AHQ 180 2 góc kề bù

HIC HIB 180 2 góc kề bù AHP HIC

Xét AHP và CIH , ta có:

 







AHP HIC cmt

HAP HCI cùng phụ ABC

Ta có:

HP HQ

mà CI = BI nên HP = HQ







Suy ra H là trung điểm của PQ (vì P, H, Q thẳng hàng)

  HẾT  

Q P

H

E F

I A