Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2001 2002 đề thi môn: Toán43846

ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho ĐỀ THI MÔN: TOÁN học sinh THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.. ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho ĐỀ THI MÔN: TOÁN học sinh THPT Thời gian làm bài:

Trang 1

ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho ĐỀ THI MÔN: TOÁN học sinh THPT)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

-Câu 1 Cho hpt (với m là tham số).

3 3

  





 



a) Giải hệ với m=1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ chỉ có nghiệm dạng x y

Câu 2 Tìm số p lớn nhất sao cho (a b b)( c c)( a) p 1 a3 b c , a b c, , 0

Câu 3 Cho tứ diện ABCD vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD), cho

AH=h Gọi B C D1, 1, 1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H lên các đường thẳng

AB AC AD

a) Cmr B C D B C D, , , 1, 1, 1 cùng thuộc một mặt cầu (S) Giải sử BCD là tam giác đều cạnh a

Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) theo h.

b) Cho A,H cố định còn B,C,D thay đổi Cmr (S) luôn đi qua hai điểm P,Q cố định, chỉ rõ

cách xác định hai điểm P,Q.

1( ) 1 1 1; 2( ) 2 2 2

f x a x b xc f x a x b xc

nguyên dương, mỗi đa thức đều có nghiệm nhưng chúng không có nghiệm chung Với mỗi số

tự nhiên n (n=0,1,2, ), gọi là ước chung lớn nhất của d n f n1( ) & f n2( ) Cmr dãy  d n là một dãy bị chặn

Câu 5 Hãy xác định tất cả các hàm số f :฀ ฀ thỏa mãn hai điều kiện sau:

) (2001) 2004

ii f

   



฀

-

Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 2

-Câu 1 Cho bpt x (1 3 | |)(3x mx2x)

a Gbpt với m 2 b Tìm GTLN của m để bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x

Câu 2 Cho hệ phương trình

2 2 2





 a) G/sử ( ;x y z0 0; 0) là nghiệm của hệ Chứng tỏ rằng Max x y z 0; 0; 04

b) Giải hpt

5 5

1 , , , 0 &

1

a b x y

  





2 3 2 3

1

a x b y 

Câu 4 Cho ฀ G/sử h/số f x( ) xác định trên tập số nguyên x và thỏa mãn hệ điều

( ) ( ) ( )







a) Cho  2 & (2)f 0 Cmr f x( )  0, x 2

b) Tìm tất cả các giá trị của h/s ( ).f x

Câu 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi F là giao điểm hai đường chéo AC,BD E

là giao điểm AD, BC M,N lần lượt là trung điểm AB, CD Cmr 1

2

EF  CD  AB

-

Trang 3

-Câu 1 Cho h/s P x( )cos3xm(cosxsin2x)2,(m฀)

a Tìm Max, min của h/s khi m=1

b Tìm các giá trị của m để h/s đạt cực trị tại 2 ,

6

x  k   ฀k

Câu 2 Giải hpt



Câu 3 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và có một góc không nhỏ hơn 900

a Tính diện tích của tam giác khi A=90, B=30

b Tim diện tích lớn nhất của tam giác ABC

Câu 4 Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D,E,F không

trùng với các đỉnh của tam giác s/c các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng qui Gọi

Giả sử 4 tam giác ADR, BEQ, CFD, PQR đều có

PBF CD Q AEBF R AE CD

diện tích bằng 1

a Cmr BQP ฀BPA

b Cmr các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tích của chúng

Câu 5 Tìm tất cả các đa thức bậc n với hệ số thực, có nghiệm thực và t/m điều kiện

f x f x  f x x  ฀x

-

Trang 4

-Câu 1 Giải các phương trình sau

log ( x 5x 5 2004)log (x 5x2010)2

Câu 2

a Xác định k lớn nhất để Bpt sau đúng với mọi x thuộ đoạn [0;1]: 2 2

k x   x x  x

Câu 3 Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CH Một đường thẳng (d) di động luôn song song với cạnh AB cát AC tại M và cắt BC tại N Dựng hcn MNPQ với P,Q thuộc AB J là tâm hcn MNPQ Cmr I, J, K thẳng hàng.

Câu 4 Cho a b, 0;a b 1 Cmr a b 1 1 5

a b

   

Câu 5 Xét các tam thức bậc hai 2 thỏa mãn điều kiện:

( )

f x ax bxc

1

2

f x   x

Tìm GTLN của biểu thức P2006a2 2005b2

-

Trang 5

-Câu 1 Gpt: x x( 22) 3

Câu 2 Gbpt:3 x 1 2x  4 3 x 2

Câu 3 Tìm m để hệ sau có nghiệm và giải hệ với giá trị tìm được của m:

3







Câu 4 Cho các số dương a, b,c t/m: a+b+c=1 Tìm GTLN của biểu thức

P 3a 1 3b 1 3c1

Câu 5 Cho a,b,c>0 Cmr:

Còn một bài hình

-

Trang 6

-Câu 1 Ghpt:

3

2







Câu 2 Gpt 2log (cot )3 x log (cos )2 x

Câu 3 Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để với mọi  ฀x ta có

a(cosx 1) b2  1 cos(axb2)0

Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng 2, chiều cao h Gọi C1(O;r)

là hình cầu nội tiếp C2(K;R) là hình cầu tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp Biết O, K cách đều mp (ABCD)

a Cmr

2

r

h



b Tìm h và suy ra thể tích hình chóp

Câu 5 Cho f là h/s liên tục trên [0;1] t/m f(0) f(1) Cmr với bất kì số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số thực c [0;1] s/c ( )f c f c( 1)

n

-

Trang 7

-Câu 1 Giải phương trình:

2

3

6 2 (x ).

9

x x

x

2

2 0

(x,y )

8 ( 2 )

   



  

Câu 3 Tìm tất cả các số thực a b p q, , , sao cho phương trình:

(2x 1)  (axb)  (x pxq) x ฀ Câu 4 Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7 Các điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh

AB, AC sao cho AN=BM Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM Biết diện tích tam giác BOC bằng 2

a Tính tỷ số MB

AB 

b Tính góc ฀AOB.

Câu 5 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: xyyzzx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

P

-Hết -Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: SBD:

Trang 8

LỜI GIẢI VẮN TẮT

Câu 1

*) Cách 1 (ngắn nhất) Nhận xét x 3

9, 0. a a x a x 6 2

            x 3 2.

*) Cách 2 Vì x 3, nên bình phương hai vế

*) Cách 3 Đạo hàm, khảo sát (dài)

Câu 2 (Hệ đẳng cấp bậc 2, xét 2 trường hợp âm, dương – bằng 0 không thỏa mãn) Sử dụng phương pháp thế biểu thức,

Câu 3 Điều kiện cần.

+ Cho x=0 được: 20 10

1 b q (1)

+ Cho 1, phương trình đã cho có vế trái không dương, vế phải không âm, điều đó cho ta

2

x

hai phương trình: 1 2 (2)

0 (3)

4 2

p q

 







  



(2 1) ( 2 ) ( ) (4)

2 4

p

Trong (4), cho x=1 ta được 20 3 10

1 ( ) (5)

4 2

p b

  

3 1

1

4 2 4 2

1

4

3 1

( Lo¹i)

4 2 4 2

    



    



   



là 20

20

1

1 ; 2

2

Điều kiện đủ Thay vào sẽ thấy hiển nhiên.

Câu 5 Xét

2 2

( ) ( 3 ) ( 3( ) 3 )

3

x

y yz

         



4

3 3 3 3

P

   

Trang 9

(Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu 1 Cho hàm số ( là tham số thực) Tìm tất cả các giá trị của m để

2

y

mx m



hàm số xác định với mọi x1

2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16 (xR)

Câu 3 Giải hệ phương trình: 33 1 2( 22 ) ( , )

x y R





Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh

AD và DC sao cho AM x CN,  y với 0 x 1; 0 y 1 và 0 (kí hiệu là

45

góc)

a) Chứng minh rằng x  y 1 xy

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BMN.

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:

2 2

2

4

5

x x

x







Câu 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P



trong đó a là tham số thực và 1 5

4

a

   -

Trang 10

(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu 1.(2,5 điểm)Giải phương trình x2 7 x 2 x   1 x2 8x 7 1,(x฀).

Câu 2.(2,0 điểm) Giải hệ phương trình

3







Câu 3.(1,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f x( )(2m3)sinx(2m x) đồng

biến trên ฀

Câu 4.(2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa BC, a 2

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD.

a) Chứng minh rằng AC (BMN)

b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với

đường thẳng BM Tính khoảng cách từ S đến (P) theo a và b

Câu 5.(1,5 điểm) Cho 2 2 2 Tìm GTLN của biểu thức:

x y z x  y z 

P y z x  xyz

-

Trang 11

(Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu 1 (2 điểm) Giải hệ phương trình

 

x y z

z y x x y z

z x y







฀

Câu 2 (2.5 điểm).

1 Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số 2 2 tại đúng

( 1)

y x  hai điểm phân biệt.

2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho phương trình sau có nghiệm thựcm

| sin 2 | (x  m 2) | sin | (2x  m) | cos | 2x  m 0

Câu 3 (3 điểm).

1 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại B với ABa AA,   2 ,a A C  3a Gọi

M là trung điểm cạnh C A  , I là giao điểm của các đường thẳng AM và A C Tính thể tích của khối

tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC)

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABC và đường thẳng có  phương trình  :x 3y  1 0 Giả sử D     4; 2 ,E 1;1 ,N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ và trung điểm cạnh B AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm của cạnh M BC nằm trên đường thẳng và điểm có hoành độ lớn hơn 2  M

Câu 4 (1.5 điểm) Cho các số thực a b c, , với a 3 và đa thức   3 2 có ba nghiệm âm

P x x ax bx c phân biệt Chứng minh rằng b c  4.

Câu 5 (1 điểm) Tìm số các cặp sắp thứ tự ( ; )A B hai tập con của tập hợp S {1, 2, 3,  , 2011} sao cho số phần tử của tập hợp AB là chẵn.

 Hết 

Họ và tên thí sinh ……… SBD ………….

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	216,95 KB