Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC.. Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xu
Trang 1GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TRƯƠNG QUANG
AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP DẠY
KÈM LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016
(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: 3 , biết
3 2 2 3 2 2 2015, 17 12 2 17 12 2 2016
b) Giải phương trình:
Bài 2: a) Giải hệ phương trình:
2 2
3 4 (1)
12 6 +9 (2)
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên
(ab 2013)(bc 2014)(ca 2015)
P
abc
Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
3
Chứng minh tam giác ABC đều
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy M bất
kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của
N xuống đường thẳng PD
a) Chứng minh AH vuông góc với BH
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng
Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .Số báo danh
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016
Bài 1:
a) Ta có
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
(1) Tương tự: (2)
3 24 2
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được
x y xy xy xy xy
Vậy M = 20 2
b) Ta có
x x x x x x x x
Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với
(với )
1
x
5t 3t 14 0(t 1;t 1) (t 2)(5t 7) 0
2 7 5
t t
x
5
t
2
0
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1
Bài 2:
a) Từ phương trình (1) ta suy ra: 2 2 thế vào phương trình (2) thu gọn ta
9 12 x 3x 3y
được:
0
* Nếu 2 2 thế vào phương trình (1) ta được
0
x y y x y x
phương trình này vô nghiệm
2x 3 4x 2(x 1) 1 0
* Nếu 2 2 , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được:
3
1
x
y
+ Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2)
+ Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1)
Trang 3b) Ta có ( 1)( 1)( 1) 1 1 1 1 , vì a, b, c là các số tự
nhiên do đó để P là số nguyên khi và chỉ khi 1 1 1 1 là số nguyên
M
Do vai trò như nhau nên ta giả sử a<b<c suy ra a 1;b 2;c 3 Do đó
(Vì M là số nguyên)
1 1 1 1
Nếu (a 1)(b 1) 4 , vì a b c 3c a b c 3c (a 1)(b 1)(c 1) 4 3c 4(c 1)
trái với Suy ra
4
c
c 4 (a 1)(b 1) 2;3
+ Nếu ( 1)( 1) 2 1 1 2 5 thoả mãn bài ra
+ Nếu ( 1)( 1) 3 1 1 2 9 thoả mãn bài ra
Vậy các số tự nhiên a, b, c phân biệt thoả mãn bài toán là (a, b, c) = (2, 3, 5) và các hoán vị.
Bài 3:
Từ giả thiết ta suy ra a > 0 ; b > 0 ; c > 0 và 3 3
(với x a b 0;y b c 0;z c a 0) x y 2 y z 2 z x 2 0
Vậy tam giác ABC đều
2 2 2
0
Bài 4: Từ bài ra ta có hình vẽ sau:
E I
H
P
N
M
C B
A
D
a) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông cân tại A mà D là trung điểm của BC nên
Trang 4và AD là tia phân giác của Do nên suy ra tứ
giác ANM P là hình vuông Mặt khác tứ giác ANHP có 0 0 0 nên
90 90 180
nội tiếp đường tròn đường kính NP suy ra 0(cùng chắn cung AP)
45
Xét tứ giác BDHA có 0 0(hai góc kề bù) suy ra tứ
giác BDHA nội tiếp suy 0
b) Theo câu ta có 5 điểm A, P, H, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AM và
NP suy ra 0 suy ra 3 điểm B, H, M thẳng hàng nên (1)
90
45
Vì BI// AD nên BI vuông góc với BC suy ra 0 Gọi E là trung điểm của AB ta có
45
ta giác EBI vuông cân tại E nên EB = EI = EA suy ra tam giác IAB vuông cân tại I Xét tứ giác AIBH có 0 0 0 nên nội tiếp suy ra (2)
90 90 180
45
Từ (1) và (2) BHN BHI suy ra ba điểm H, N, I thẳng hàng
Bài 5: Ta có 2 2 2 2 (dấu “=” xảy ra khi a = b)
2
F
1
1
1
1
x y x y y z y z z x z x
x y x y y z y z z x z x
) 4 x y z 4
z x
Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1khi x = y = z =
4
1 3
