Tìm các số tự nhiên dạng abcd biết abcd 11và abc,bc là số chính phương.. CMR: giá trị của biểu thức: không phụ thuộc vào vị trí của M và I.. Tìm vị trí của O để: nhỏ nhất.
Trang 1PHềNG GD&ĐT
Đề khảo sát đội tuyển Toán 9
Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số tự nhiên dạng abcd biết abcd 11và abc,bc là số chính phương
Câu 2 (2 điểm)
36 12
2 3
78 29
2 : 6 6
6 7
4 1 4 3 1 2 1
4 4
x x
x x
x x x
x x x x
x x -1,5
P
1 Rút gọn P
2 Tìm x để P = 15
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải phương trình: 2x2 8x6 x2 12x2
Câu 4 (1 điểm)
Tìm đa thức P(x) biết:
P(x) chia cho (x -3) dư 3
P(x) chia cho (x+4) dư (- 4)
P(x) chia cho (x2 + x – 12) được (x2 + 3) và còn dư
Câu 5 (1 điểm):
Tìm Min của: P x2008 2008x2008
Câu 6 (1 điểm):
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 2
1
1 1
1
1 a
CMR:
8
1 abc
Câu 7 (1 điểm):
Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đường thẳng cắt BC tại M và cắt DC tại I CMR: giá trị của biểu thức:
không phụ thuộc vào vị trí của M và I
2 2
AI AM
1
Câu 8 (1điểm):
Cho O nằm trong ABC Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của ABC lần lượt tại A,B,C Tìm vị trí của O để:
nhỏ nhất
C O
OC B
O
OB A
O
OA
P
Trang 2đáp án
Câu
1
Vì abcd 11 acbd 11
Mà abc 2cd 11 (1)
Mặt khác: 9 2cd 18 2cd 0 ; 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
+TH1: 2c – d =0d 2c 9 c 4 mà bc là số chính phương
0 ; 1 ; 4
c
Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phương đã tận cùng là 0 thì phảI có hai
chữ số tận cùng là 00
Nếu c = 1 thì
2
9812 9
8 81
d
abcd a
b bc
10
6 64
a
b bc
+TH2: 2c – d =11
0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6
7 18
11 2
c
c c
d
Mà c lẻ vậy c 1; 5
6
9816 8
9 81
d
abcd b
a bc
8
7258 2
7 25
d
abcd b
a bc
Vậy có duy nhất số 9812 thoả mãn
Câu
2
) 3 (
2
6 3
) 26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( ) 6 ( 2
26 )
26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( ) 6 ( 2
8 2 18 3
) 26 )(
3 (
) 6 3 )(
6 ( 6
4 2
3
) 6 3 )(
6 (
) 26 )(
3 ( : ) 1 )(
6 (
) 1 )(
4 ( 1
) 1 )(
1 ( 2
3
36 6 18 3
76 26 3 :
6 6
4 4
1
1 2
3
6 2 2
3 3
2 2 6
7
2 3 2
6
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x P
ĐKXĐ:
26 2 3 1 1
x x x x x
Trang 3b/
9 28 9 32 30
10 2
30 10 2
3 10 2 15
6 2
6 3 15
x
x x
x
x x
x x
x
x P
Vậy với x= và x= thì |P| =15
9
32
9
28
Câu
3
Giải phương trình: 2x2 8x 6 x2 1 2x 2 (1)
ĐK
1
1
x x
) 1 )(
1 ( ) 3 )(
1 ( 2
| 1
|
1 )
3 )(
1 ( 2 ).
1 )(
1 (
4 8 4 ) 6 8 2 )(
1 ( 2 1 6
8 2 )
1
(
2
2 2
2 2
2
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x
+ Nếu x =-1 thoả mãn
+ Nếu x 1 ta có PT:
loai x
x x
x x
x x
x
x x
x
7
1 1
6 2
0 1
) 1 ( ) 3 )(
1 (
2
1 )
3 )(
1 (
2
2
Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x=-1
Câu
4
+ Vì P(x) chia cho x2+ x -12 được thương là x2 +3 và còn dư Do đó P(x) là đa thức bậc 4 và số dư là: ax + b
Vậy P(x) = (x2+ 3 )(x2 +x – 12) + ax +b
+ P(3) = 3 3ab 3
+ P(-4) = -4 4ab 4
x x
x x
x P b
a
0
36 4 9 )
(
36 3 3 12 )
(
2 3 4
2 2 3
4
x x x x x P
x x
x x x
x x P
Câu
5
1
1 2008 1
11 2008
1 2008 1
1 1
2008
2008 2008 2007 2008
P
x x
P
x x
P
Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Trang 4Câu
6
Từ
) 1 )( 1 (
2 1 1
) 1
1 1 ( ) 1
1 1 ( 1 1
2 1
1 1
1 1
1
c b
bc c
c b
b c b
a
c b
a
T2
) 1 )(
1 (
2 1 1
) 1 )(
1 (
2 1 1
b a
ab c
c a
ac b
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta có:
8
1
abc
Câu
7
Trên tia đối của tia DC lấy điểm E | BM = DE
Ta có: ABM = ADE (2 cạnh góc vuông )
AE AM A
A
1 2;
TA Có
AEI
A A
A A A A AEI
1 2
3 1 2 3
Vuông tại A Có CD vuông góc với EI
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1
1
a AI AM
hay
AI AE AD
Câu
8
Ta có : S1 = SBOC ; S2 = SAOC; S3 = SAOB
6 3
2 1 2
1 3
2 1 '
2
1 ' '
1 3 3 1 3
2 2 3 1
2 2 1
3 1
3 2
3 2
1
3 2 ' 3 '
2
S
S S
S S
S S
S S
S S
S
S
S S S
S S S
S S P
S
S S OC
OC
S
S S OB
OB
T
S
S S S
S S
S OA
OA
B OA C OA
Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3
Hay tam giác ABC là tam giác dều
