Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông năm học 2013 –2014 môn thi: toán Chuyên (thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)43523

S GIÁO D C VÀ ÀO T O

K L K THI CHÍNH TH C

K THI TUY N SINH L P 10 TRUNG H C PH THÔNG

N M H C 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN

(Th i gian 150 phút không k th i gian giao đ )

Ngày thi: 25/6/2013

Câu 1: (3,0 đi m)

1) Gi i ph ng trình:  2  2 

x  x x  x 

2) Gi i h ph ng trình:

y x

x y











Câu 2: (4,0 đi m)

1) Tìm s t nhiên n l n nh t sao cho 2015 vi t đ c d i d ng:

1 2

2015 a a a n, v i các s a a1, 2,,a n đ u là h p s

2) Tìm s d khi chia 2013 2014

2012 2015 cho 11 3) Cho a, b, c là nh ng s d ng th a mãn đ ng th c ab bc  ca  2

Câu 3: (1,5 đi m)

Cho n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB G i C là đi m chính gi a cung AB, M

là m t đi m b t k trên cung AC Tia phân giác c a COM c t BM t i đi m D Ch ng

minh r ng khi đi m M di đ ng trên cung AC thì đi m D thu c m t đ ng tròn c đ nh

Câu 4: (1,5 đi m)

Cho tam giác đ u ABC L y đi m P tùy ý trong tam giác ABC T đi m P h PD,

PE, PF l n l t vuông góc t i các c nh BC, CA, AB Tính t s BD CE AF

PD PE PF

S L C BÀI GI I

Câu 1: (3,0 đi m)

x  x x  x   x x x x 

2 2

2 2

3

4 9 144 25

4 9 169



10 4 25 16 40



2 2

3 3 10 0

3 3 10

a b

a b





2

3 2

1 2

a

a

 



 



1

3

2

1 2

2

a     (TM K) b x y

+) 3a3b10 (không x y ra) Vì 0 5, 0 5

4 2

a b

V y h có m t nghi m duy nh t 4

4

x y





 



Câu 2: (4,0 đi m)

1) Ta có h p s nh nh t là 4 mà 2015 4 503 3    n 503

+) N u n = 503 thì 2015 a1 a2 a503  có ít nh t m t a i i  1, 2,,503 là s

l , gi s là a1   a1 9 a1 a2a503  4 502 9 20172015 (không th a

mãn)

+) N u n = 502, ta có: 2015 4 500 6 9    V y n = 502

2) Ta có: 2013 2014  2013   2014

2012 2015  2012  1 20132  1

2012  1 B 2012 1 B 2013 B 11

20132  1 B 2013 2  1 B(11)2  1

2014 10 201

2  1 16 2   1 16B 11 1  1 16B 11   1 1 B 11 15B 11 4

2 1024 11 93 1   B 11  ) 1

2012 2015 cho 11 là 4 3) V i a, b, x, y là các s d ng ta ch ng minh 2 2    2

1





2 2 2 2

1

a y b x x y xy a b

a xy a y b x b xy a xy b xy abxy

a y b x abxy

0

ay bx

x y

2

a b c

 

  v i a, b, c, x, y, z là các s

d ng

x  y z

2

a b c

2

2 3 2

a b b c c a

ab bc ca









Câu 3: (1,5 đi m)

Ta có  1 

2

CBM  COM COD (góc n i ti p và góc

tâm, OD là phân giác COM )

Xét t giác BCDO, ta có:  CBDCOD (cmt), O và

B n m cùng m t n a m t ph ng b CD  O, B

cùng thu c m t cung ch a góc d ng trên đo n

th ng OB Do đó t giác BCDO n i ti p

90

BOC (vì CACB OC AB)

V y t giác BCDO n i ti p đ ng tròn đ ng kính BC, mà BC c đ nh nên D thu c

đ ng tròn c đ nh đ ng kính BC (cung OC hình v )

Câu 4: (1,5 đi m)

t AB = BC = CA = a

Qua P k SL // AB (S  AC, L  BC), IK // BC (I 

AB, K  AC), MN // AC (M  AB, N  BC) Rõ ràng

các t giác ABLS, BCKI, ACNM là các hình thang

cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác

đ u có PF, PD, PE l n l t là các đ ng cao

 BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC,

MF = IF

 BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI

+ SE + NC + IF

 BD + CE + AF = AE + BF + CD

Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a

3 BD+CE+AF= a

2

T (*) và (**) có BD+CE+AF=3a a 3: = 3

PD+PE+PF 2 2

N

M

K I

L

S F

E

D

A

P