Tìm GTLN đó.
Trang 1TÀI LI U ÔN T P TOÁN 9
BI N I, N GI N BI U TH C CH A C N TH C B C HAI
Lý thuy t:
1 i u ki n đ c n th c có ngh a: A có ngh a khi A 0
2.Các công th c bi n đ i c n th c
2
A A AB A. B (A 0;B 0) c A A ( 0; 0)
2
( 0)
A B A B B A B A B2 (A 0;B 0)
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B
2 2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
2
( 0; 0; )
A B
gi i các bài toán d ng rút g n bi u th c ch a c n b c hai, thông th ng chúng ta s u
tiên th c hi n theo th t sau:
2
a b m n (n u có)
2)Phân tích t và m u các phân th c thành nhân t Thu g n phân th c (n u đ c)
3)Th c hi n theo th t phép toán (Ngo c Nhân, chia C ng, tr )
4)Bình ph ng hai v
5) t n ph
Bài 1: Tính:
2
a b m n
B n ch t v n đ : VD: 8 2 15
Ta nh m th y: 15 = 3.5 = 15.1 L i có: 3 + 5 = 8 (còn 15 + 1 = 16)
V y ta ch n hai s : 3 và 5 đ phân tích: 8 = 3 + 5 = 2 2
3 5 Và: 15 3 5 Nh v y ta có:
8 2 15 5 2 5 3 3 ( 5 3) 5 3
S d ng máy tính Casio đ tìm hai con s 3 và 5 này nh sau:
*V i máy tính: Fx–570VN PLUS ho c máy tính 570ES:
–B m Mode ch n: 5 ch n: 3
–Nh p: 1 = (b t k bài nào, luôn nh p a = 1)
–8 = (là s đ i c a 8 – T c nh p b = – 8)
15 = (Là s bên trong c n nh , c = 15)
–B m ti p: =
Ta đ c k t qu hi n th trên màn hình là: X1 = 5 –B m ti p: =
Ta ti p t c đ c k t qu th 2 là: X2 = 3
*V i máy tính lo i 500Ms ho c 570MS :
B m : Mode Mode Mode 1 2
Sau đó c ng nh p : a, b, c theo cách làm trên
Bài t p áp d ng:
Trang 21) 11 2 10 2) 9 2 14 3) 4 2 3 4) 11 6 2
5) 27 10 2 6) 72 10 7) 15 2 14 8) 3 2 2
9) 4 2 3 10) 5 2 6 11) 7 2 6 12) 14 2 13
13) 94 5 14) 12 6 3 15) 27 10 2 16) 18 6 5
17) 21 4 5 18) 28 6 3 19) 15 10 2 20) 46 6 5
17) 6 20 18) 8 28 19) 12 44 20) 5 24
21) 8 60 22) 7 48 23) 9 56 24) 7 24
25) 3 5 26) 4 7 27) 5 21 28) 6 35
29) 7 40 30) 8 15 31) 9 77 32) 10 99
D ng ch a ch (v i đi u ki n t t c các c n đ u có ngh a):
1) x 1 2 x 2 2) x 1 2 x 3) x 2 2 x 3
4) x 2 2 x 1 5) 2x 1 2 2(x 1) 6) 2x 1 2 2x
7) 2x 5 2 (x2)(x3) 8) 2x 1 2 (x2)(x3)
9) 2x 1 2 (x1)(x2) 10) 2x 1 2 x2 x 2
11) 2x 3 2 x23x 2 12) 2x 2 2 x2 2x 3
b)Tính toán, rút g n linh ho t:
D ng đ n gi n:
7
3 3 2
1
4) 12 75 5)
25
36 25
24 1 9
7
2 6) 0,04.25 7) 90.6, 4 8) 9 17 9 17 9) 125 3 48
10)5 5 203 45 11)2 324 85 18
12)3 12 4 27 5 48 13) 12 75 27
14)2 187 2 162 15) 5 20 80
16) 3 123 2 24 17) 1 3
2 3
3 1
Các d ng khác:
1)2 5 125 80 605 2)
5 1
8 2 5
10 2 10
3) 15 216 3312 6 4)
162 30
27 5 48 18
12 8 2
5)
75
4 6 27
1 3 3
16
3 2
3 2 3 2
3 2
Trang 3
2 10
) 5 3 ( 5 3
5
3 3
4 6 27
9) 8 32 25 12 4 192 10) 2 3 ( 5 2 )
11) 3 5 3 5 12) 4 10 2 5 4 10 2 5
13)
4 5 2
5 8 2
14) 21 6 6 21 6 6
5 3 5 3
4 2 3
19) 2 3 2 3 6 20)
8
23)2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2 24) 2 3 1 3;
25) 3 2 2 6 4 2 26) 2 3 : 2 3 2 2 3
28) 3 5 3 5
29)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
30) 6 2 5 6 2 5 31) 8 2 15 23 4 5
32) 3 2 52 6 33) 13 30 2 9 4 2
34) 4 7 4 7
35) 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
36) 2 2 3 7 2 3 6 7 2 3 6 7 2
37)
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
38)4 15 10 6 4 15
39) 3 5 10 23 5 40) 12 3 7 12 3 7
41) 4 10 2 5 4 10 2 5
( 3 2) ( 2 3) 43) 7 2 10 7 2 10
2
1 4
48)
3
1 1 5 11
33 75 2 48 2
Trang 450) 45 63 7 5 51) 5 35 15
52) 32 50 27 27 50 32 53) 12 48 108 192: 2 3
54)2 112 5 7 2 63 2 28 7 55)2 27 3 48 3 75 1921 3
56)7 24 1505 54 57)2 20 503 80 320
3
2 2 2
9 3
1 5
60)
3
1 1 5 75 2 3
1 5
64)
2
2 1
1:
3 1 1 3 1 1
Bài 2: Rút g n các bi u th c:
Bi u th c s :
45 4 41 45 4 41 4) 13 30 2 94 2
5) 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
6) 227 30 2 123 22 2 7) 3 11 6 2 5 2 6
10) 2 3 5 13 48 11) 7 48 28 16 3 7 48
12) 5 35 48 10 7 4 3 13) 4 102 5 4 102 5
14) 94 42 5 9442 5
Bi u th c ch a ch :
Trang 51) x x11 x x11:
2 1
2 2
x x
(V i x>0, x 1) 2)
x
x x x
x
x
1 1
2
(v i x>0)
3)
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
4)
x
x x x
x x x x
x
5)
1
1 1
1 1
2
x x
x
x x
x
x
6)
1 2 1 2
1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x x
x
x x x x
7)
x x x x
x x
1 :
1
x y xy
4
a
1 1
1 1
1
x
x x
x
11)
:
12)
x
x x x
x x
x
x
3
1 3 1
4 2 : 3 1
2 3
13) 2x x x1x x11:xxx21
14)
: 4
x
1 1
1
x x x
x x
16) m2 m 1 m2 m 1 17) m 2 2 m 1 m 2 2 m 1
Bài 3: Tìm các giá tr c a x Z đ các bi u th c sau có giá tr nguyên
1)A = 6
x 1 2)B =
14 2x 3 3)C =
4)D =
5) x x
x
3 2
2 1
x
3 2
2
x
3 2
x
3 2
x
4
16
10) 3
2
x
x
1 2
x x
2
x x
x x
14) 3
x
x
2
2 1
x
16)
2
2 1
x
2
2
x x
4
x
a)Rút g n P
b)Tìm giá tr c a x đ P = – 1
c)Tìm m đ v i m i giá tr x > 9 ta có m( x3)P x 1
HD câu C:
5
18 4
4
x x m x
m x
a)Tìm đi u ki n c a x đ A xác đ nh
Trang 6b)Rút g n bi u th c A
c)Tìm giá tr c a x đ A > 0
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
a)Rút g n bi u th c A
b)Tính giá tr c a bi u th c A khi x 3 8
c)Tìm giá tr c a x khi A = 5
a)Tìm đi u ki n đ i v i x đ bi u th c C xác đ nh
b)Rút g n bi u th c C
c)Tính giá tr c a bi u th c C khi x 6 20
d)Tìm các giá tr nguyên c a x đ C có giá tr nguyên
a)V i giá tr nào c a a thì bi u th c A không xác đ nh
b)Rút g n bi u th c A
c)V i giá tr nguyên nào c a a thì A có giá tr nguyên?
a)Rút g n bi u th c B
b)Tính giá tr c a B khi x 3 8
c)V i giá tr nào c a x thì B > 0? B< 0? B = 0?
a)Tìm đi u ki n c a a đ B xác đ nh Rút g n B
b)V i giá tr nào c a a thì B > 1? B< 1?
c)Tìm các giá tr c a x đ B = 4
a)Rút g n bi u th c A
b)Tính giá tr c a A khi x = 7 + 4 3
c)V i giá tr nào c a x thì A đ t giá tr nh nh t
a)Tìm đi u ki n đ i v i a đ bi u th c C xác đ nh Rút g n bi u th c C
b)Tìm các giá tr c a a đ C = 1
c)Khi nào thì C có giá tr d ng? Có giá tr âm?
Bài 13: Cho
2
a)Rút g n P
b)Ch ng minh : N u 0 < x < 1 thì P > 0
c)Tìm giá tr l n nh t c a P
Trang 7Bài 14: Cho bi u th c B 1 1 x3 x
a)Tìm đi u ki n đ bi u th c B xác đ nh
b)Rút g n bi u th c B
c)Tìm giá tr c a x khi B = 4
d)Tìm các giá tr nguyên d ng c a x đ B có giá tr nguyên
a)Tìm đi u ki n c a x đ A có ngh a, rút g n A
b)So sánh A v i 1
Bài 16: Tìm giá tr c a x đ
a)x2− 2x + 7 có giá tr nh nh t b) 2 1
x 2x 5 có giá tr l n nh t
c)
2
2
2x 5
2x 1
có giá tr l n nh t d)
2 2
x 2x 1
x 4x 5
có giá tr nh nh t
Bài 17: Rút g n bi u th c: A = x 2 2 x 3 x 1 4 x 3 v i 3 x 4
a)Rút g n P b) Tìm giá tr nh nh t c a P
c)Tìm x đ bi u th c Q =2 x
P nh n giá tr là s nguyên
Bài 19: Ch ng minh 52 64920 6 52 6 9 311 2
v i x>0 ,x1 a)Rút g n A HD: a) A= 4a
b)Tính A v i a = 4 15 10 6 4 15
v i x0 , x1
a)Rút g n A b)Tìm GTLN c a A HD: a)A =
1
x
x x
b)NÕu x = 0 th× A = 0
-NÕu x 0 th× A =
1
x x
:
a)Rút g n A b)So sánh A v i 1
A
HD: a) A = 9
6
x x
2
9
A - 0 A
x
x x
a)Tìm x đ bi u th c A xác đ nh b)Rút g n A
Trang 8c)v i giá tr nào c a x thì A < 1 d)Tìm xZ đ AZ
HD a) x0 , x9, x4 b)A= 3
2
x
v i x0 , x1
a)Rút g n A b)Tìm GTLN c a A
c)Tìm x đ A = 1
2 d)CMR : A 2
3
HD:a) A = 2 5
3
x x
b)
17 5
3 x
x x y y
x y
y x
a)Rút g n A b)CMR : A 0
HD:a A) xy
x xy y
2 3
b A
x xy y
x
Ví i x,y 0
x
V i x > 0 , x1
a) Rút g n A b)Tìm x đ A = 6 HD:a) A = 2x x 1
x
v i x > 0 , x4
a)Rút g n A b)Tính A v i x = 6 2 5 HD:a)A = 1 x)b)
v i x > 0 , x1
a)Rút g n A b)Tính A v i x = 6 2 5 HD: A = 3
2 x
a)Rút g n A b)Tìm xZ đ AZ HD:a)A =
3
x
x
:
1
x
x
a)Rút g n A b)Tìm x đ Z AZ c)Tìm x đ A đ t GTNN
d)Tìm x đ AZ
HD:a)A = 1
1
x x
1
) x
b A
Trang 9
2
A nguyên nguyên nên đặt:
n Z
n
n
1
1 2
1 1
9
x
a)Rỳt g n A b)Tỡm x đ A < –1
3
a
a)Rỳt g n A b)Tớnh A v i x = 6 2 5 c)CMR : A 1
HD: a)A = 4
4
x
x b) c)Xột hi u A – 1
x
v i x > 0 , x1
a)Rỳt g n A b)So sỏnh A v i 1 HD:a)A = x 1
x
x
9
x x
a)Rỳt g n A b)Tỡm x đ A =6
5 c)Tỡm x đ A < 1
HD: a)A =
3 1
x x x
Bài 34: Cho A =
2
a)Rỳt g n A b)CMR n u 0 < x < 1 thỡ A > 0
c)Tớnh A khi x =3+2 2 d)Tỡm GTLN c a A
HD:a) A = x(1 x)
2
a)Rỳt g n A b)CMR n u x0, x1 thỡ A > 0 HD:a) A = 2
1
x x
1
x
v i x > 0 , x1, x4
a)Rỳt g n A b)Tỡm x đ A = 1
2
v i x0 , x1
a)Rỳt g n A b)Tớnh A khi x= 0,36 c)Tỡm xZ đ AZ
Trang 10Bài 38: Cho A = 1 3 2
x x x x x
v i x0 , x1
a) Rút g n A b) CMR : 0 A 1 HD: a) A =
1
x
x x
a Rút g n A b)Tìm x nguyên sao cho A nguyên
HD:a)A = 5
3
x b)T ng t bài 29
v i a 0 , a9 , a4
a)Rút g n A b)Tìm a đ A < 1 c)Tìm aZ đ AZ
HD: a) A = 1
3
a a
a)Rút g n A b)Tìm x đ AZ c)Tìm x đ A < 0
HD:a) A = 2
1
x x
Bài 42: Cho bi u th c:A =
1 2
2 2 1
x
x x
( x 2; x 3) a)Rút g n A b) Tính A khi x=6
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x
a)Rút g n B b)CMR: 3B < 1 v i đi u ki n thích h p c a x
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a)Rút g n C b) Tìm x Z sao cho C Z
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
( x 0; x 9)
a)Rút g n D b) Tìm x sao cho D<
3
1
c)Tìm GTNN c a D
x
x x
x x
x
x x
1
2 2
1 2
3 9 3
( x 0; x 1) a)Rút g n E b)Tìm x Z sao cho E Z
3 : 1 1
3
2
x
x
a) Rút g n F b) Tính giá tr c a F khi x= 4 2 5
1 1
3 : 1 1 3 1
1 5 5
2
x
x x
x
x x
( x > 1; x 10) a)Rút g n F b) CMR: F < 3
Trang 11Bài 49: Cho bi u th c: H=
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
( x 0; x 9) a)Rút g n H b) CMR H > 0 v i đi u ki n xác đ nh c a H
Bài 50: Cho bi u th c: K =
3
3 2
1
2 3
3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
( x 0; x 9) a)Rút g n K b)Tìm x đ K = 0,5
c)Tìm x đ K nh n giá tr l n nh t Tìm giá tr l n nh t đó
Bài 51: Cho bi u th c: L =
4
12
x
x x
( x 2; x 3) a)Tìm x đ L đ t GTLN Tìm GTLN đó b) Tìm x sao cho L = 2x
1
1 1 1
2
x x
x
x x
x
x
a)Rút g n M b) Tính giá tr c a M khi x = 28–6 3 c) CMR : M<
3 1
1 1 1
1 :
1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
x
a)Rút g n N b) Tính giá tr c a N khi x= 4 2 3 ; y= 4 2 3
c)Bi t x+ y =4 Tìm giá tr nh nh t c a N
Bài 54: Cho bi u th c:
P
a)Tìm đi u ki n c a x và y đ P xác đ nh Rút g n P
b)Tìm x,y nguyên th a mãn ph ng trình P = 2
HD:
a) i u ki n đ P xác đ nh là: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0
P x xy y.
b)P = 2 x 1 1 y 1
Ta có: 1 y 1 x 1 1 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 0 x 4
Bài 55: Cho hàm s f(x) = x2 x4 4
a) Tính f(–1); f(5) b)Tìm x đ f(x)=10 c) Rút g n A=
4
) (
2
x
x f
khi x 2
HD: c)
) 2 )(
2 (
2 4
) (
x x
x x
x f
+)V i x > 2 suy ra x – 2 > 0 suy ra
2
1
x
A ;
+)V i x < 2 suy ra x – 2 < 0 suy ra
2
1
x A
1
x
x x
1 1
x
x x
1 1
x x
a)Rút g n P b)Ch ng minh: P < 1
3 v i x 0 và x 1
Trang 12HD:a) i u ki n: x 0 và x 1 P =
1
x
x x
Bài 57: Tính giá tr c a bi u th c:
HD: Tr c c n th c m u A=
2
1( 99 3)
ab
b a ab
b a
1
ab
ab b a
1
2 1
a)Tìm đi u ki n xác đ nh c a D và rút g n D
b)Tính giá tr c a D v i a =
3 2
2
c)Tìm giá tr l n nh t c a D
HD: a) – i u ki n xác đ nh c a D là a0;b0;ab1 D =
1
2
a a
c)Áp d ng B T cauchy ta có :2 aa1D1 V y MaxD=1
1
A
1 1
x x
1)Tìm K X c a bi u th c A 2)Rút g n A
3)Tính giá tr c a bi u th c A khi 1
6 2 5
x
4)Tìm giá tr nguyên c a x đ bi u th c A nh n giá tr nguyên
5)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c A b ng –3
6)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c A nh h n –1
7)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c A l n h n 2
1
x
8)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c A – 1 Max
9)So sánh A v i x1
B
3 2
x x
1)Tìm x đ bi u th c B xác đ nh 2)Rút g n B
3)Tính giá tr c a bi u th c B khi x = 11 6 2
4)Tìm giá tr nguyên c a x đ bi u th c B nh n giá tr nguyên
5)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c B b ng –2
6)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c B âm
7)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c B nh h n –2
8)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c B l n h n x 1
3
1
x
kq: x 1 1)Bi u th c C xác đ nh v i nh ng giá tr nào c a x? 2)Rút g n C
3)Tính giá tr c a bi u th c C khi x = 8 2 7
4)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c C b ng –3
5)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c C l n h n 1
3
Trang 136)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c C nh h n 2 x 3
7)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c C nh nh t
8)So sánh C v i 2
x
D
2 3
x
1)Tìm K X c a bi u th c D 2)Rút g n D
3)Tính giá tr c a bi u th c D khi x = 13 48
4)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c D b ng 1
5)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c D âm
6)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c D nh h n –2
7)Tìm giá tr nguyên c a x đ bi u th c D nh n giá tr nguyên
8)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c D l n nh t
9)Tìm x đ D nh h n 1
x
E
1)Tìm a đ bi u th c E có ngh a 2)Rút g n E
3)Tính giá tr c a bi u th c E khi a = 24 8 5
4)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E b ng –1
5)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E d ng
6)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E nh h n a3
7)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E nh nh t
8)So sánh E v i 1
1)Tìm K X c a bi u th c F
2)Rút g n F
3)Tính giá tr c a bi u th c F khi a = 6
4)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c F b ng –1
5)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E nh h n a1
6)Tìm giá tr c a a đ giá tr bi u th c E nh nh t
7)Tìm giá tr c a a đ F F ( 2 1
4
8)So sánh E v i 1
a
M
1)Tìm x đ M t n t i và Rút g n M
2)CMR n u 0 <x < 1 thì M > 0 (1 x 0; x 0 M 0)
3)Tính giá tr c a bi u th c M khi x = 4/25
4)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c M b ng –1
5)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c M âm ; M d ng
6)Tìm giá tr c a x đ giá tr bi u th c M l n h n –2