Đề thi ôlympic môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ Hưng43396

Gọi M là một điểm di động trên AC.. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O.

Trường THCS Mỹ Hưng

ĐỀ THI ễLYMPIC MễN TOÁN LỚP 8

(120 Phỳt) ( năm học 2013 – 2014)

Câu 1 : (6 điểm)

a) Giải phương trình :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2















x

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

A = 3















c b

c a

b a

c b a

Câu 2 : (5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.

b) Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1

Cõu 3 (3 điểm )

a Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

9

a    b c

b Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tinh: a2011 + b2011

Bài 4 : ( 6 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên AC Từ C

vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O Chứng minh rằng :

a ) OA.OB = OC.OH

b ) Góc OHA có số đo không đổi

c ) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

Đỏp ỏn – hướng dẫn chấm

Câu 1 : (6 đ)

a) (3 đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

Phương trình trở thành :

1 ) 7 )(

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1

















x

18

1 7

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1























x

18

1 7

1 4





x

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0

Từ đó tìm được x=-13; x=2; ( 0,25đ) b) (3 đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Từ đó suy ra a= ; ( 1,5đ )

2

; 2

; 2

y x c z x b z









































) (

) ( ) (

2

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A ( 0,25đ )

2

1





Câu 2 : (2đ)

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25

Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2 2abb2)3ab=

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;

Do vậy (a+b)(ab)2 3ab chia hết cho 9

b ) ( 3 đ ) n5 + 1 n 3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n 3 + 1

n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1

Hay n2 – n n 2 – n + 1

1 n2 – n + 1

 

Xét hai trường hợp:

t/m đề bài

+ n2 – n + 1 = - 1  n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn

Cõu 3

a Từ: a + b + c = 1  ( 1đ )

1

1

1

   





   





   



3

    

Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 1 ( 0,5 đ )

3

b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002

 (a+ b) – ab = 1

 (a – 1).(b – 1) = 0

 a = 1 hoặc b = 1 ( 1 đ )

Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)

Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) ( 0,5 đ )

Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

Cõu 4 ( 6 đ )

a) BOH ~ COA (g-g)    OB OH OA.OB = OC.OH ( 2 đ )

OC  OA  b) OB OH (1)

OC  OA  OA OH

OC  OB

OHA và OBC có chung (2)

Từ (1) và (2) OHA ~ OBC (c.g.c)

(không đổi) ( 2 đ )

 ฀OHAOBC฀

c) Vẽ MK  BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM BK BM.BH = BK.BC

BC BH

(3)

CKM ~ CAB (g.g) CM.CA = BC.CK

CB CA

(4)

Cộng từng vế của (3) và (4) ta cú: BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK

= BC(BK + CK) = BC2 (không

đổi) ( 2 đ )

C K

B

O

A

H M