Cho tỉ lệ thức.. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N.. Chứng minh: HMN cân. Hết.
Trang 1PHÒNG GD- ĐT NGÃ NĂM
TRƯỜNG THCS TÂN LONG
***
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Môn : Toán Năm học : 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút ( Không kể phát đề )
Bài 1: Thực hiện phép tính (5 điểm).
4
9 9
5 3
2 :
4
3
1 1 1
4
1 3
1 2
1 19
45
c 10 19 29 6
9 20 9
15
27 2 7 6 2
.
5
8 3 4 9 4
5
Bài 2: (5 điểm)
a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b Tìm x, biết: 3 : 2 1 =
2
1
x
22 21
Bài 3: (5 điểm) a Cho tỉ lệ thức
d
c
b a
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
b.Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y
15
2 3 5
2xy y z
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên tia đối
của tia KA lấy D , sao cho KD = KA
a Chứng minh: CD // AB
b Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N
Chứng minh rằng: ABH = CDH
c Chứng minh: HMN cân.
Hết
Trang 2PHÒNG GD- ĐT NGÃ NĂM
TRƯỜNG THCS TÂN LONG
***
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Môn : Toán Năm học : 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút ( Không kể phát đề )
4
9 9
1 : 4
3 4
9 9
5 3
2 : 4
3
4
36 4
9 1
9 4
3
b
4 3 1
1 2 1
1 19
45 4
1 3
1 2
1 19
45
1 1 1
= 1
19
19 19
26 19
45
c 10 19 29 6 =
9 20 9
15
27 2 7 6 2 5
8 3 4 9 4 5
6 3 29 19
19 10
9 3 20 2 9 2 15 2
3 2 7 3 2 2 5
2 3 2 3 2 5
=
5 3 7
3 2
3 2 5 3 2
18 29
2 18
29
8
1 7 15
9 10
0,75đ 0,75đ
0,75đ
0,75đ 1đ
1đ
2 a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
-12x – 20 = 16
-12x = 16 + 20 = 36
x = 36 : (-12) = -3
b Tìm x, biết: 3 : 2 1 =
2
1 x
22 21
- Nếu Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
2
1
x
3 : 2 1 =
2
1 x
22 21
: (2x – 1) =
2
7
22 21
2x – 1 = : =
2
7 22
21
3
11 21
22 2
2x = + 1 =
3
11
3 14
x = : 2 = >
3
14
3
7 2 1
- Nếu Ta có:
2
1
x
3 : 2 1 =
2
1 x
22 21
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 3: (1 - 2x) =
2
7
22 21
-2x = - 1 =
3
11
3 8
x = : (-2) =
3
8
2
1 3
4
Vậy x = hoặc x =
3
7
3
4
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
3 a Cho tỉ lệ thức
d
c
b a
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
cb = ad suy ra:
d
c b
a
b Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y
15
2 3 5
2xy y z
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
hay 2x – y = 3y – 2z
Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 15)
15
2 3 5
2x y y z
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y
2 1
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y x + z + y – 2z = 0 hay y + y
2 1
– z = 0
hay y - z = 0 hay y = z suy ra: x = z
2
3
3
2
3 1
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z R }
3
1
3 2
hoặc {x = y; y R; z = y} hoặc {x R; y = 2x; z = 3x}
2
1
2 3
1đ 1đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ
4
A
K
C H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
BK = CK (gt)
0,5đ
Trang 4(đối đỉnh)
D
Kˆ C A
Kˆ
AK = DK (gt)
ABK = DCK (c-g-c)
D CˆK A BˆK; mà 0
90 B
Cˆ A C
Bˆ
90 D
Cˆ B B
Cˆ A D
Cˆ
A CˆD 900 B AˆC AB // CD (AB AC và CD AC)
b Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)
AH = CH (gt)
ABH = CDH (c-g-c)
c.Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
AB = CD; A CˆD 900 B AˆC ; AC cạnh chung: ABC = CDA
(c-g-c)
A CˆB C AˆD
mà: AH = CH (gt) và M HˆA N HˆC (vì ABH = CDH)
AMH = CNH (g-c-g)
MH = NH Vậy HMN cân tại H
1đ
1đ
1đ
1đ
0,5đ
Hết