Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành..
Trang 1Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: y x có đồ thị (C)
x
2 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Cho điểm A(0; a) Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3 sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3
1
2 cos x 3
2
,
x y
Câu III (4,0 điểm)
1 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca1 Chứng minh rằng :
1
m
m
Câu IV (4,0 điểm)
1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là
số lẻ?
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm ( ;3)9 là trung điểm của cạnh BC,
2
M
phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là : 4x y 4 0 Viết phương trình đường thẳng BC
Câu V (4,0 điểm)
1 Cho tứ diện SABC có SAa SB, b SC, c và SASB SA, SC SB, SC Gọi R
, V theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện SABC Tính diện tích tam giác ABC theo a b c, , và chứng minh rằng:
972 2
V
R
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2; 1 , B 0; 4; 0 và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x y 2z20150 Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng P một góc nhỏ nhất
HẾT………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi 24/03/2015.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu
Số báo danh
Trang 2
SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )
Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số x
y x
2 1
* Sự biến thiên:
3
1
x
x
y
lim 1
x
y
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y =1
0.25 0.25 0.25 Bảng biến thiên
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 , 1; ;
0.5
I.
(4.0)
1.
(2.0)
* Đồ thị :
8
6
4
2
2
4
6
8
h y
= 1
g x
= 1
f x
= x + 2
x 1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại (-2;0)
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 1) làm tâm đối xứng
0.5
Hướng dẫn chấm
Đề chính thức
x y’
y
1
– _
Trang 3
-Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Xét thấy đường thẳng x = 0 đi qua A và không tiếp xúc với đồ thị (C) Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k: ykx a
d là tiếp tuyến của (C) Hệ PT có nghiệm
x
x k
2 1 3 ( 1)
0,25 0.25
PT: f(x) =(1 a x) 2 2(a 2)x (a 2) 0 (1) có nghiệm x 1
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2khác 1
2 1 0
) 1 (
0 6 3 ' 1
a a f
a a
0.25
0.25
Khi đó ta có: x x a x x a và
1 2 2( 2); 1 2 2
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y y1 2 0
1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4
0 ( ) 1
0.25
0,25
2.
(2.0)
3
Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a .
a
2 3 1
0.25
0,25
Giải PT lượng giác: 3 sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3 (1)
1
2 cos x 3
2
3
PT 3 s in2x cos2x 5sin x 2 3 cosx + 3 + 3 2 cos x 3
3 s in2x cos2x 5sin x 3cosx + 3 = 0
3cosx 2sinx 1 + 2sin x 5sin x + 2 = 0
3cosx 2sinx 1 + 2sinx 1 sin x 2 = 0
0.25 0.25 0.25
II.
(4.0)
1.
(2.0)
2sin x 1 3cosx + sinx 2 = 0
1
s inx =
2
3
0.25
0.25
Trang 4
6 5
6
6
So sánh với đk, kết luận nghiệm pt là: x k2 , k
6
0.25
0.25
Giải hệ phương trình :
2
,
x y
2.00
Điều kiện: x6;y5; 2x y 5 0; 3x2y 11 0
0.25 0.25
Xét hàm số f t 3t2 t với t0, ta có 3 2
2
t
t
0.25
Kết hợp với 3 ta có f 6x f 5y 6 x 5 y y x 1 Thay vào phương trình 2 của hệ, ta được
, với
2
2 3x 4 3 5x 9 x 6x13 4
3
x
0.25
0.25
2.
(2.0)
2
2
x x
1 1
3x 4 x 2 5x 9 x 3
0.25
0.25
Với x 0 y 1 Với x 1 y 2 Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
x y; 0; 1 ; 1; 2
0.25
III.
(4.0)
1.
(2.0)
Cho các số thực a b c , , 0và thỏa : ab bc ca 1 CMR:
3 3
(*)
Trang 5Có ab bc ca 1 nên
b c a b c ab bc ca a a b c a S a
S a b c ab bc ca S
0.25
3 3 8
0.25
2
3 3 8
S
2
3 3 8
2
3 3 8
2
3 3 8
0.25
Lại có theo Cauchy-Schazw thì
(Vì (a2b2c2 2) ( a a3 b b3 c c3)2 (a b c a )( 3 b3 c3))
0.25
1
2
( 3) (2 3) 0 (luôn đúng S 3)
Vậy BĐT (*) được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a b c
0.25
Tìm m để hệ có nghiệm thực.
1
m
m
Có
2
m
0.25
+) Điều kiện cần:
Giả sử ( ;x y0 0) là một nghiệm của hệ thì
2
Do đó m 1 là điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm
0.25 0.25
2.
(2.0)
1
Trang 6có nghiệm ( ; x y0 0) thì ( ; x y0 0) cũng là một nghiệm của hệ
1
m
m
Xét hệ
2
( ; ) ( ; ); ( ; ) ( ; )
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
Gọi số đó là Aa a a a a a1 2 3 4 5 6 Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ
0.25
TH1: A có 1 chữ số lẻ +) a1 lẻ: Số các số A là C P5 51 600 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn Số các số A là a1 4.(C C P51 44) 5 2400
Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.
0.25 0.25
TH2: A có 2 chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có 5 cách chọn Có 5 cách chọn chẵn a1 a2 Vậy số các số A là 1 3
4 4 4
5.5.(C C P) 9600 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ a1
trong a2 a3a4 a5a6 Vậy số các số A là 4.(C52.6 ).P A2 43 11520
Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số các số A.
0.25
0.25
TH3: A có 3 chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có 5 cách chọn Có 5 cách chọn Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau a1 a2
của hai số lẻ trong a3 a4a5 a6 Vậy số các số A là 5.5.(C42.3 ).P A2 42 10800 +) a1 chẵn: Có 4 cách chọn Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong a1 a2
Vậy số các số A là
3
a a4 a5a6 4.(C53.1 ).P A3 42 2880
Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số các số A.
0.25
0.25
1.
(2.0)
Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số các số A 0.25
Viết phương trình cạnh BC
Gọi K là trung điểm của HD
Ta chứng minh AK KM Thật vậy gọi P là trung điểm của AH
Ta có PK song song và bằng nửa AD
AB
PK
Mà AH KB do đó P là trực tâm của tam giác ABK BPAK
mà BPKM là hình bình hành nên KM song song
BP AK KM
0.25 0.25
0.25 0.25
IV.
(4.0)
2.
(2.0)
Phương trình đường thẳng KM: đi qua ;3) và vuông góc với AK:
2
9 (
0.25
Trang 7nên MK có pt: 15
2
x y
DoK AK MK Toạ độ ; 2 )
2
1 (
K
0.25
Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) pt của BD: y – 2 = 0
AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: x - 1 = 0 và AAK AH
A(1; 0)
BC qua ;3)và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0
2
9 (
M
0.25 0.25
Tính dt(ABC), C/m :
972 2
V
R
a
b
c
B
A
N
I
M
Ta có (1);
6
abc
Gọi h là độ dài đường cao kẻ từ S của hình chóp SABC ta có: 12 12 12 12 (2)
Gọi diện tích tam giác ABC là dt(ABC) ta có: dt ABC( ) 3V (3)
h
Từ (1), (2), (3) ta có ( ) 2 2 2 2 2 2
2
a b b c c a
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
lần lượt là trung điểm của ,
RIS SN SM SA SB SC a b c
0.25
Theo Côsi ta có: (4)
6 2 2 2
27 2
a b c
V
(4.0)
1.
(2.0)
Từ (4) và (1) suy ra 6 972 2
2
V
R
Trang 8Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng P một
Mặt phẳng Q đi qua điểm nên có phương trình dạng B
ax b y cz Q a b c a b c
Mà điểm cũng thuộc A Q nên a.1b2 4 c 1 0 a 2b c 1
0.25
0.25
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P n:P 2; 1; 2
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Q n:Q a b c; ;
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng P , Q Khi đó ta có
2 2 2
P Q
P Q
0.25
0.25 Thế a2b c 1 vào 2 ta được
3 cos
+) Nếu b 0 cos =0 =900
+) Nếu
0 cos
3
b
0.25
0.25
0.25
2.
(2.0)
Vậy góc nhỏ nhất khi cos 1 1 , Do đó phương trình mặt
3
c
b
Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.