trên đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC tại H.. Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC.. Chứng minh rằng: a Tứ giác MENF là hình chữ nhật... NGƯỜI S
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH THÙY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:
x (4 x ) 4
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P > 0
c) Tính giá trị của P với x = 3
2 + 5 + 3
2 ‒ 5
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: � + 4 � ‒ 4 + � ‒ 4 = 6 ‒ �
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn: 1 Tìm giá trị lớn nhất
1 + �+
1
1 + �+
1
1 + �= 2 của Q = xyz
b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < 2
Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông ở A Biết AB = 3cm , AC = 4 cm Từ B vẽ
tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E trên đoạn thẳng BE lấy
F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC tại H
a) Tính AE
b) Chứng minh ΔAHC Δ FEC. ~
Bài 5: (6 điểm)
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O / ) Gọi M là giao điểm của AE
và DF; N là giao điểm của EB và FC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật
b) MN AD
c) ME.MA = MF.MD
- Hết
-Người ra đề Tổ trưởng duyệt Duyệt BGH
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM
ĐỀ TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016
a)
1 x 9 x 4 4 x x 4
1 x ( x 2)( x 3)
1 x ( x 2)( x 3)
1
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
b) P > 0 � ‒ 2
� + 1> 0
� ‒ 2 > 0
x > 4
Kết luận: x > 4 và x ≠ 9 thì P > 0
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ c)
x = 3
2 + 5 +3
2‒ 5
=> x3 = 4 + 3.3 4‒ 5.x
x3 + 3x ‒ 4 = 0
x3 x– 2 + x2 x + 4x 4 = 0 – –
x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) = 0
(x – 1)( x2 + x + 4) = 0
Vì x2 + x + 4 > 0 nên x – 1 = 0 => x = 1
Vậy P = 1 ‒ 2
1 + 1= ‒ 1
2
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2
a)
b)
Đk : 4 ≤ x ≤ 6
= 6 − x
� + 4 � + 4 + � - 4
� - 4 + 4 � + 4 + 4 + � - 4 = 6 – x
� - 4 + 2 + � - 4 + x – 6 = 0
� - 4 (2 + � - 4 ) = 0
� - 4 = 0 x = 4
(2 + � - 4 ) = 0 ( vô lý)
Thử lại : 4 + 0 = 6 – x 2 = 2
Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 4
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Trang 32x2 + 4x = 19 – 3y2
2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2
2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)
2(x+1)2 = 3(7 – y2)
7 – y2 > 0
7 – y2 2 ⋮
y2 là số lẻ , mà 7 – y2 > 0
y chỉ có thể là ± 1
2(x+1)2 = 3.6 = 18
(x+1)2 = 32
x = −4 ; x = 2
(x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1)
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
a)
1 +1�+
1
1 + �+
1
1 + �= 2
1 + �=
�
1 + �+
�
1 + �
�
1 + �.
�
1 + �
Tương tự : 1 ≥ 2
1 + �=1 +��+
1
1 + � 1 +��.1 +� �
≥ 2
1
1 + �=1 +��+
1
1 + � 1 +��.1 +��
Nhân vế với vế ta được :
1
1 + �.
1
1 + �.
1
1 + �
( ���) 2
(1 + �) 2
.(1 + �) 2
.(1 + �) 2
���
(1 + �).(1 + �).(1 + �)
1 ≥ 8xyz
1≥ xyz hay xyz ≤
8
1 8
Max Q = khi x = y = z = 1
8
1 2
0,5đ
0,5đ
0,5đ) (0,5đ)
b) Ta có:
0 < a < b + c => 2a < a + b + c => a < 1
0 < b < a + c => 2b < a + b + c => b < 1
0 < c < b + a => 2c < a + b + c => c < 1
=> (a – 1) (b – 1) (c – 1) < 0
abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < 1
2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < 2 (vì a + b + c = 2)
2abc + a2 + b2 + c2 < 2 (đccm)
0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ) (0,5đ) Bài 4: vẽ hình đúng
AB2 = CA AE
0,5đ E
Trang 4=> AE = �� 2
9 4
CH CF = BC2 (△ HBC △ BFC)~
CA CE= BC2 (△ ABC △ BEC)~
=> CH CF = CA CE
=> ��
��=����
Góc C chung
=> △ AHC △ FEC (c.g.c)~
0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài 5
H
D
E
M
F
O
I
N
O /
A
0,5đ
a) Ta có
Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:
OE EF và OF EF => OE // O/F
Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’
Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN
Hay góc ENF = 900
Tứ giác MENF có O, nên MENF là hình chữ nhật
E N F 90
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD
Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF
Mặt khác, trong đường tròn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC
=>góc FDC = góc FDC
Suy ra FDC đồng dạng HNC (g – g)
=> góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ c)
0,5 đ
A
B
C
Trang 5Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN
Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB
=>gócMEF = EAB
Suy ra MEFđồng dạng MDA (g – g)
=>ME MF , hay ME.MA = MF.MD
MD MA
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức
trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này./.
NGƯỜI SOÁT TỔ TRƯỜNG DUYỆT BGH
