Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD.. Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng 3 a.. Dành cho thớ sinh thi theo từng khối A.. Dành cho thớ sinh thi khối A, B.. Chứng minh rằng d luôn cắt
Trang 1TT LUYỆN THI TẦM CAO MỚI ĐỀ THAM KHẢO THI ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM HỌC 2013
Thời gian làm bài: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề)
I Phần chung (6.0 điểm): Dành cho tất cả cỏc thớ sinh
Cõu 1 (2.0 điểm) Cho hàm số 4 2 (1) , với là tham số thực
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1
2) Xỏc định để hàm số (1) cú ba điểm cực trị, đồng thời cỏc điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giỏc m
cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 1
2 2 cos 2 sin 2 cos( ) 4 sin( ) 0
Cõu 3 (1.0 điểm) Tớnh tớch phõn 3 2
3
x sin x
cos x
Cõu 4 (1.0 điểm) Cho x, y, z 0thoả món x+y+z > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
Cõu 5 (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD cú AC = AD = a 2, BC = BD = a, khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng
3
a
3
15
27
a
II Phần riờng (4.0 điểm) Dành cho thớ sinh thi theo từng khối
A Dành cho thớ sinh thi khối A, B.
Cõu 6a (1 điểm) Tỡm m để hệ phương trỡnh: cú nghiệm thực
Cõu 7a (1 điểm) Trong mp(Oxy) cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2 và đường
thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
Cõu 8a (1 điểm) Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3 và điểm
M(0 ; - 2 ; 0) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4
Cõu 9a (1 điểm).Trong cỏc số phức z thỏa món điều kiện z 1 2i 1, tỡm số phức z cú mụ đun nhỏ nhất
B Dành cho thớ sinh thi khối D.
Cõu 6b (1 điểm) Giải hệ PT:
2
Cõu 7b (1 điểm) Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tỡm toạ độ điểm M thuộc đường
thẳng ( ) : 3 x y 5 0 sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú diện tớch bằng nhau
Cõu 8b (1 điểm) Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trỡnh mặt
phẳng (P) qua A, cắt cỏc trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tõm của tam giỏc IJK
Cõu 9b (1 điểm) Tỡm tập hợp điểm biểu diễn cỏc số phức z thỏa món cỏc điều kiện:
z i z 2 3i Trong cỏc số phức thỏa món điều kiện trờn, tỡm số phức z cú mụ đun nhỏ nhất
Tuyển sinh khu vực Tp Đụng Hà và cỏc huyện lõn cận cỏc lớp 9, 10, 11, 12, cỏc mụn Toỏn, Lý, Hoỏ,…Cỏc em cú thể học tại
nhà theo nhúm hoặc cỏ nhõn, hoặc học tại trung tõm 15 học sinh/ 1lớp Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm miến phớ
TCM-ĐH-T22A
Trang 2-
Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2012-2013
1
2 điểm
1.(1 điểm) Khi m 1 hàm số trở thành: 4 2
2
yx x
TXĐ: R
1
x
x
Bảng biến thiên
x - -1 0 1 +
y’ 0 + 0 0 +
y + 0 + -1 -1
2
0
điểm cực trị pt ' có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua
0
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
0.25
2
0.25
3 2
1 2
2
ABC
m
AB AC BC
0.25
2
1điểm
3
2 2 cos 2 sin 2 cos( ) 4 sin( ) 0
2 2 cos 2 sin 2 (cos cos3 sin sin3 ) 4(sin cos cos sin ) 0
4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0
4]=0
PT (2) có nghiệm
s inx+cosx=0 (2) 4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)
Giải (2) : Đặ s inx-cosx= 2 sin( ), §iÒu kiÖn t 2 (*) ,
4
sin 2x 1 t
thay vào (2) được PT: t t=-1( t/m (*)) hoặc t=5(loại )
0,25
0,25
0.25
Trang 3của hệ PT là: ,
4
2
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
với
3
3
3
dx J
cosx
0,25
Để tính J ta đặt tsin x. Khi đó
2
3 3
2
0,5
3
1điểm
0,25
Trước hết ta có: 3 (biến đổi tương đương)
3 3
4
0.25
với t = , z )
a 0 t 1
0.25
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 Có
9
f t t t f t t
Lập bảng biến thiên
0.25
4
1 điểm
GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
0;1
64 inf
81
t
5
1 điểm Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE Ta có ACD cân tại A nên CD AETương tự BCD cân tại B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH△ ⊥ △ ⇒
Mà BH AE suy ra BH (ACD) Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng
3
a
(ACD) và (BCD) là
0,25
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
2 2
2
,
AE DE
0,5
Trang 4II PHẦN RIÊNG
A Khối A, B
6a
1 điểm
3 3 2 0 (1)
Điều kiện:
2 2
y
0.25
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2 0.25 Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) y = t y = x + 1 (2) 2 2
Đặt 2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
1
v x
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt
[ ] g v ax[ ] g v
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
0.25
7a
1 điểm (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:
2 2
0 2
2 0
0
x y
y
Hay A(2;0), B(0;2)
Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B
Ta có S 1CH AB (H là hình chiếu của C trên AB)
0.25
0.25
hoặc loại vì DE < a
2 2 4
2 2
2 2
5
9
3
a AE a
a DE
2 2
2 2
5 3
3
a DE
a AE
2
a
45
3
a BH BE a
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là 0
45
0,25
H 4
A
B I y
x
M
2
2 O
C
Trang 5Dễ dàng thấy CH max
ax CH max
ABC
2
C
x
(2; 2)
d I
C(2 2; 2 2) C(2 2; 2 2)
0.25
8a
1 điểm Giả sử n a b c( ; ; ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0
Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u (1;1; 4)
Từ giả thiết ta có
2 2 2
| 5 |
4
P
d A P
(a5 )c (2a 17c 8ac)a - 2ac8c 0
v
Với a 4
c chọn a = 4, c = 1 b = - 8 Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z -
16 = 0
Với a 2 chọn a = 2, c = - 1 b = 2 Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z +
c
4 = 0
0.25
0.25
0.25 0.25
9a
1 điểm
Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z
(x1) (y2) 1
Đường thẳng OI có phương trình y = 2x
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa độ O nhất, đó chính là một trong hai
giao điểm của đường thẳng OI và (C)
Khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
Chon z =
,
025
025
05
B Khối D
Trang 6Viết phương trình đường AB: 4x3y 4 0 và AB 5
Viết phương trình đường CD: x4y170 và CD 17
0,25
Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M ( ;3t t5) Ta tính được:
0,25
7b
1 điểm
Từ đó: S MAB S MCD d M AB AB( , ) d M CD CD( , )
Có 2 điểm cần tìm là:
7 9
3
3
0,5
8b
1 điểm Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) với a, b,c đều khác không ( ) :P a x y b c z 1
(4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; )
a b b c c
4 5 6 1
5 6 0
4 6 0
a b c
77 4 77 5 77 6
0.25
0.5
0.25
6b
1điểm ĐK: x y x, y0
Hệ phương trình
(do 2y x)( x y y) 1 0)
3 ( ) 1
3
( ) 4 2
x
x
3 2
0 log 4
x x
Với x = 0 thay vào (2) ta được y = 0
Với 3 thay vào (2) ta được y =
2 log 4
2
1 log 4 2
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 3 ,y =
2 log 4
2
1 log 4 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 71 điểm
* Đặt z = x + yi (x; y R)
|z - i| = |Z - 2 - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng
x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất | OM| nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên
* M( ;- ) 3 z = - i
5
6
5
6 5
0,25
0,25
0,25
0,25
