Hãy dựng điểm A trên tia Ox và điểm B trên tia Oy sao cho MA + AB + BN có độ dài nhỏ nhất... là câu mở cho điểm tối đa nếu học sinh có câu trả lời đúng kết quả dù thực hiện bất cứ cách
Trang 1phòng gd-đt hiệp hoà
Trường THCs thị Trấn
–––––––
đề chính thức
Kỳ thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán Ngày thi: 30/10/ 2008 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) A =(x1)(x6 x5 x4 x3 x2 x 1)
b) B = 32 16 8 4 2 4.(3 1).(3 1).(3 1).(3 1).(3 1) Câu 2: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử: a) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b abca b c b) 3 3 3 8 (x y z) y z( 2 )x z (2xy) Câu 3: (2 điểm) Cho đa thức B = a4 b4 c4 2a b2 22a c2 22b c2 2 a) Phân tích B thành bốn nhân tử bậc nhất b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B < 0 Câu 4: (2 điểm) a) Xác định các hằng số a và b sao cho 4 3 chia hết cho 1 x ax bx 2 1 x b) Tìm giá trị của k để 3 3 3 chia hết cho với mọi x y z kxyz x y z x y z, , Q Câu 5: (2 điểm) Cho góc nhọn xOy và hai điểm M, N ở trong góc đó Hãy dựng điểm A trên tia Ox và điểm B trên tia Oy sao cho MA + AB + BN có độ dài nhỏ nhất - Hết
-Họ và tên học sinh:………Số báo danh:………
Giám thị số 1 (họ tên và kí):………
Giám thị số 2 (họ tên và kí):………
Trang 2phòng GD & ĐT hiệp hoà
trường thcs thị trấn
Giáo viên: Ngô Văn Khương
Hướng dẫn chấm Môn Toán 8 Thi khảo sát học sinh giỏi
Ngày thi: 30/10/2008
Đề thi chính thức
Bản hướng dẫn gồm 02 trang
Chú ý! Phần a) là câu mở cho điểm tối đa nếu học sinh có câu trả lời đúng kết
quả dù thực hiện bất cứ cách nào và không chia bước.
(x 1)(x x x x x x 1) = 7
1
Câu 1
(2
điểm)
4.(3 1).(3 1).(3 1).(3 1).(3 1)
(3 1).(3 1).(3 1).(3 1).(3 1)(3 1)(3 1).
2
= 1 64
3 1
2
0,50đ 0,50đ
a b c b c a c a b abc a b c
a b c a b c a b c a b c abc
a b c a b a c b c a b c
= a b c a b c( )( a) b a c b a c b( )( ) c a b c a b c( )( )
= a a c b( )( b c a) b a c b a c b( )( ) c a b c a c b( )( )
= (a c b b a c c b a )( )( )
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 2
(2
điểm)
8 (x y z) y z( 2 )x z (2xy) Nhận xét: y z (z 2 ) (2x xy) ta có:
8x (z 2 ) (2x xy) y z( 2 )x z (2xy)
(z 2 )(8x x y ) (2 xy)(8x z )
(z 2 )(2x xy)(4x 2xyy ) (2 xy)(2xz)(4x 2xzz ) = (z 2 )(2x xy y)( z)(2x y z)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a)
Ta có:
B = 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b a c b c
= 2 2 22 2 2
4
a b c b c
= 2 2 2 2 2 2
a b c bc a b c bc
= (a b c a b c a b c a b c )( )( )( )
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 3
(2
điểm)
b) Vì a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác nên:
và 0;
a b c a b c 0; a b c 0; a b c 0;
áp dụng kết quả phần a) rút ra: B < 0
0,50đ 0,50đ
Trang 3a) Ta có: 4 3 chia hết cho khi và chỉ khi:
1
1
x (*)
1 ( 1)( 1) ( )
x ax bx x x Q x x
Nên đẳng thức (*) đúng với x = 1 và x = - 1 Thay x = 1 và x = -
1 vào (*) ta được:
1 1 1 1 0 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0
0 0
a b
a b
0
a b
Vậy: Với a và b là hai số đối nhau thì 4 3 chia hết cho
1
x ax bx 2
1
x
0,25đ 0,25đ 0,25đ
ơ 0,25đ
Câu 4
(2
điểm)
b) Ta có: 3 3 3 =
x y z kxyz
2 (x y z) ( x y z) 3xy 3yz 3zx (k 3)xyz
Do đó 3 3 3 chia hết cho khi và chỉ khi:
(k 3)xyz (x y z) x y z, , Chọn y = z = 1 ta có (k 3)x x ( 2) x suy ra k 3
0,25đ
0,50đ 0,25đ
*) Cách dựng: (0,75đ)
-Dựng M’ đối xứng với M qua Ox -Dựng N’ đối xứng với N qua Oy -Đoạn thẳng M’N’ cắt Ox tai A và Oy tại B, ta được MA + AB + BN nhỏ nhất
*) Chứng minh: (0,75đ)
M’ đối xứng với M qua Ox (cách dựng)
AM = AM’
N’ đối xứng với N qua Oy (cách dựng)
BN = BN’
Do đó MA + AB + BN = M’A + AB + BN’ (1)
Mà M’N’ cắt Ox tai A và Oy tại B (cách dựng) nên M’, A, B, N’ thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA + AB + BN nhỏ nhất
*) Biện luận: (0,25đ)
Dựng điểm A trên Ox và điểm B trên Oy là duy nhất
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,50đ 0,25đ 0,25đ
Câu 5
(2
điểm)
- Học sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho
đủ điểm.
- Điểm toàn bài không làm tròn số (ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên).