Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ.. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON.. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau C, E cùng thuộc một nửa đường t
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HUYỆN HOẰNG HOÁ Năm học 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 26/ 11/ 2012
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
a Rút gọn biểu thức B
b Tìm x để B > 0
c Tìm giá trị của B khi 53
x
Bài 2: (4,0điểm)
a Giải phương trình: x 1 4 x 5 1 x 4 x 5 4
b Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ
Bài 3: (3,0điểm)
a Vẽ đồ thị hàm sốy 2x1
b Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số ở câu a với đồ thị hàm số y = 3x – 5
Bài 4: (4,0điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM = ON Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C, E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB)
a Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật
b Cho 2 , góc nhọn giữa CD và OA bằng 600
3
Tính diện tích hình chữ nhật CDFE
Bài 5: (2,0điểm)
Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích ngũ giác đó
Bài 6: (3,0điểm)
a Cho a, b, c là các số thực, chứng minh rằng: 4 4 4
abc(a + b+ c)
b Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho
2
2
1
Với n là số nguyên lớn hơn 2
Hết
Họ tên thí sinh: Chữ kí của giám thị: 1
Số báo danh: Chữ kí của giám thị: 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌCSINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học: 2012-2013
MÔN THI: TOÁN
a (2đ) ĐKXĐ : x > 1
1
x
x
B = x2 x1
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
b (1đ) Với x > 1 ta có : B > 0 x 2 x 1 0
x 2 x1
2
2
(x 2) 0 (*)
(*) đúng với mọi x2 Vậy B > 0 khi x > 1 và x2
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 1
4đ
81 28
thay vào B = x2 x1 ta có:
B = 92 7 2 82 7 9 2 7 2( 7 1) 7
Vậy với 53 thì B = 7
x
0,5đ
0,25đ 0,25đ Bài 2
4đ a. (2đ) Đk : x 1 4xx5 5 1 x 4 x 5 4
(1)
Áp dụng bất đẳng thức A B A B vào (1) ta có :
Dấu bằng xảy ra ( x 5 2).(2 x5)0
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 3H
N
K M
D
F
C
E
B A
0,25đ
10 a (a, b N ,UCLN(a;b)=1)
b
2
a
b
Khi đó ƯCLN(a;b)5 mâu thẫn với ƯCLN(a;b) = 1
Vậy 10 là số vô tỉ
0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ
a (1,5đ) Vẽ đồ thị hàm số y 2x1
1
2 1 khi x
-2
1
2 1 khi x<
2
x
x
Nhận xét rằng y0 với mọi x
Ta có đồ thị hàm số :
Vẽ đúng đồ thị
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3
(3đ)
b.(1,5đ) Giả sử M(x0 ; y0) là tọa độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm
số
và y = 3x – 5 ta có :
y x
đk :
3
x TH1: 2x0 1 3x0 5 x0 6 ( nhận)
TH2: 2 0 1 3 0 5 0 4 ( loại)
5
x x x Với x0 = 6 thì y0 = 13
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là M(6 ; 13)
0,5đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 4
(4đ)
1
1 2
x y
O
Trang 4a (2đ) Vẽ OH vuông góc với CD, OH cắt EF tại K, suy ra HK
vuông góc với EF ( vì CD // EF) Suy ra HC = HD; KE = KF
Ta chứng minh được HOM KON ( cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra OH = OK, suy ra CD = EF, từ đó suy ra tứ giác CDEF là hình
bình hành
Lại có KH là đường trung bình của hình bình hành CDFE, nên HK //
CE, suy ra 0 Vậy tứ giác CDFE là hình chữ nhật
90
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ
R
2
3
R
CDFE
0,5đ 0,25đ 0,5đ
0,25đ 0,5đ
Bài 5
(2đ)
Giả sử ngũ giác ABCDE thoả mãn đk bài toán
BCD và ECD có SBCD = SECD= 1, đáy CD chung nên các đường
cao hạ từ B và E xuống CD bằng nhau => EB // CD
Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA // BC
Gọi I = EC BC => ABIE là hình bình hành
=> SIBE = SABE = 1 Đặt SICD = x < 1
=> SIBC = SBCD - SICD = 1-x = SECD - SICD = SIED
Lại có
IBE IBC IDE
ICD
S
S IE
IC S
S
1
1 1
x x
=> x2 - 3x + 1 = 0 => x =
2
5
3
do x < 1 => x =
2
5
3
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
A
B
C
E
D
I
Trang 6Chú ý:
1 Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa
2 Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm
a (1,5đ )Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 2xy, ta có:
2 2 2 2 2 2 (1)
Mặt khác :
a bc2 b ca2 c ab2 abc a( b c) (2)
abc(a + b+ c)
0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ Bài 6
abc a b c n
(2)
Từ (1) và (2) ta có: 99(a c) 4n 5 (4n 5) 99 (3)
39 4 5 119 (4)
n
Từ (3) và (4) 4n 5 99 n 26
Vậy abc675
0,25đ 0,2đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
