TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.T ọa độ của điểm và của vec tơ : 1.. H ệ tọa độ : Trong không gian cho ba trục x’Ox; yOy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một... b Tính diện tích tứ giác ABCD
Trang 1TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.T ọa độ của điểm và của vec tơ :
1 H ệ tọa độ : Trong không gian cho ba trục x’Ox; yOy, z’Oz vuông góc với
nhau từng đôi một
Trên mỗi trục xác định các véc tơ đơn vị , ,i
j
k
+ Gọi là hệ trục tọa độ Đecac vuông góc Oxyz trong KG hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz
+ O là gốc tọa độ ; mp(Oxy); (Oxz); (Oyz) là các mp tọa độ
2 Toạ độ điểm: M(x;y; z) OM= x + y +z
i
j
k
3 Toạ độ véc tơ: a = (x;y;z) = x + y + z
a
i
j
k
= (a1;a2; a3) = a1 + a2 + a3
a
a
i
j
k
II Biểu th ức tọa độ của các phép toán vec tơ :
Định lý : Cho = (aa 1;a2; a3) , = (b1;b2; b3)
b
=(aa 1 b1; a2 b2; a3 b3)
b
k = (kaa 1;ka2;ka3) k R
cùng phương ; = k b1=ka1 ; b2=ka2; b3=ka3
a
b
a
a
Các kết quả : AB =( xB xA ; yByA;zB zA) ;
(x x ) (y y ) (z z )
M chia đoạn AB theo tỉ số k1
( MA = kMB )
I là trung điểm của AB
M
x k.x
x
1 k
M
x
2
G là trọng tâm tam giác ABC
1
3
Trang 2III.Tích vô hướng : a.b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= . Cos a b
Cos = 1 1 2 2 3 3
a b a b a b
a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 2 2 2
AB AC (AB.AC) 2
Điều kiện 3 điểm thẳng hàng <=> AB và BC cùng phương
IV Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình :
(xa)2 +(yb)2 +(zc)2 = R2
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S):
a) Tâm I(1;2;1) , bán kính R = 3
b) Tâm I(2;1;3) và đi qua A(3;7;0)
c) Có đường kính AB với A(2;5;6) , B(1;9;11)
Chú ý : Phương trình của mặt cầu ( S) có thể viết dạng :
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2D > 0
có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = 2 2 2
A B C D
Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
a) x2 + y2 + z2 8x + 2y + 1 = 0 b) 2x2 + 2y2 + 2z26x +12y4z6 = 0
Bài tập :
Xác định điểm trong không gian , c/m tính chất hình học
1 a) Viết toạ độ các véc tơ sau đây :
= 2 + 3 ; = 11 4 +5 ; = 2 +
a
i
j
k
b
k
j
i
c
k
j
b) Cho =(3;2;1) ; =( ;3;6) ; =(7;1;0)a
b
Tính = 2 5 + 4 ; =12 7 u a b c w b c
2.Cho bốn điểm A(4;2;3) ,B(2;1;1) , C(3;8;7) và D(6;2;z)
a) CMR tam giác ABC cân b) Xác định z để ABD cân tại B c) Tính diện tích tam giác ABC
3 Cho A(2;4;3) ,B(5;7;1)
a) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
b) Xác định toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 2
c) Tìm điểm N trên x/Ox cách đều hai điểm A và B
Trang 34 Cho A(6;4;2) , B(6;2;0) , C(4;2;2)
a) CMR tam giác ABC đều
b) Cho S(3;y;z) Tìm y, z để S.ABC là hình chóp đều
c) Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC
5 Cho ba điểm A(4;3;2) ,B(2; m ;3) , C( n ;4;2) Tìm m, n để :
a) Điểm G(2;1;1) là trọng tâm ABC b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng
c) Tìm giao điểm E của đ thẳng AG và mp(xOz)
6.Cho ABC có A(1;2;6) ,B(2;5;1) , C(1;8;4)
a) Xác định toạ độ E &F là chân các đường phân giác trong và ngoài góc A của ABC trên cạnh BC
b) Tính độ dài các đường phân giác đó
7 Cho A(1;1;5) ,B(2;3;7) , C(0;1;4)
a) Xác định toạ độ trọng tâm của ABC
b) Xác định toạ độ D để tứ giác ABCD là hình bình hành
8 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) biết A(1;0;1) , B(2;1;2), D(1;1;1), C’(4;5;5) Tính tọa độ các đỉnh còn lại
?
b) biết A(2;3;2), B(1;4;5),A’(0;2;1), D’(5;1;3).Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại ?
9 Lập phương trình mặt cầu (S) :
a) Tâm I(1;3;2) và bán kính R = 5 b) Tâm I(2;4;1) và đi qua A(5;2;3) c) Tâm I(0;3;2) và đi qua gốc toạ độ d) Đ kính AB với A(1;2;4),B(3;4;2)
10 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu :
a) x2 + y2 + z2 8x + 2y + 1 = 0 b) x2 + y2 + z2 +4x + 8y 2z 4 = 0 c) 3x2+3y2+3z2+6x3y+15z2=0 d) x2+y2 +z24x+6y2z22=0
e) x2 + y2 + z2 2x + 4y 4z 16 = 0 f) x2 + y2 + z2 4y + 8z = 0
Tích có hướng của 2 véc tơ : [ , ] = a
b
* [ , ] ; [ , ] a
b
a
a
b
b
Độ dài của véc tơ tích có hướng : [ , ]= . .Sina
b
a
b
Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :
, , đồng phẳng [ , ] = 0
a
b
c
a
b
c
ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ , , không đồng phẳng <=> [ , ] 0
Trang 4 Diện tích tam giác ABC : SABC = [ , ] (mới )
2
AB AC
Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [1 , ]
6
AB AC AD
Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [AB ,AD ].AA
Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
11.Cho =(1;1;1) ; = 3 4 + ; = (3;2;1) a b i j k c
a) Tính ( ).a b c b) ( )a2 b c c) [ , ].a b c d) [ , ].b c b
12 Tính góc giữa hai véc tơ trong các trường hợp sau :
a) =(4;3;1) , =(1;2;3) a b b) =(2;5;4) , =(6;0;3) a b
c) =(2;1;2), =(0;a b 2; 2) d) =(4;2;4), =(2a b 2;2 2;0) e) Cho =(2;1;3m), =(0;m+2;a b 2 ) Tính m để và vuông góc nhau a b f) Cho =(2;3;1), =(1;2;1), =(2;4;3) Xác định véc tơ biết a b c d
=3; = 4 ; = 2
a
d
b
d
c
d
Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
13 Xét sự đồøng phẳng của ba véc tơ , và trong mỗi trường hợp sau a b c a) =(1;1;1) , =(0;1;2) và =(4;2;3) b) =(4;3;4) , =(2;1;2) và =(1;2;1)a b c a b c 14.Cho =(2;3;1) , =(1;2;5) và =(2;2;6) , =(3;1;2)a b c d
a) Chứng tỏ , , không đồng phẳng a b c
b) Phân tích véc tơ theo ba véc tơ , , d a b c
15 Cho bốn điểm A(1;5;10) B(5;7;8) , C(2;2;7) , D(5;4;2)
a) Chứng minh A, B, C, D cùng nằm trên một phẳng
b) Tính diện tích tứ giác ABCD
16 Cho A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(2;1;1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện
b) Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện
c) Tính thể tích VABCD và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A
17 Cho hình chóp A.BCD với A(3;1;2), B(2;5;1), C(1;8;4) , D(1;2;6)
a) Tính diện tích tam giác ACD
b) Tính thể tích hình chóp & độ dài đường cao hình chóp kẻ từ B