Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mfBMN.. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD.. phần tự chọn: Thí sinh chỉ làm một
Trang 1Trường THPT Hàm Rồng Đề KTCL theo khối thi đại học
Năm học 2008-2009 Môn : Toán - Khối D
Thời gian làm bài : 180 phút
Ngày thi : 14-03- 2009
A phần chung cho tất cả các thí sinh:
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 1 (C)
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
vuông tại O
OAB
Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình: x
x x
x x
sin 1 2 cos
sin
1 cos cos2
2 Giải hệ phương trình:
4 1 1
3
2 2
2 2
y x
xy y x
Câu III: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA mf(ABCD) và SA = a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC
1 Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mf(BMN)
2 Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD
Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân: 2
0
cos
2 sin sin
xdx x
e x
2 2
cos
2
R x
x x x
e x
B phần tự chọn: (Thí sinh chỉ làm một trong hai câu Va hoặc Vb)
Câu Va: (2 điểm) Theo chương trình cơ bản.
1 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình x2 2 y12 25 theo một dây cung có độ dài bằng 8
2 Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Hãy tính xác suất để lập được số tự nhiên chia hết cho 5
Câu Vb: (2 điểm) Theo chương trình nâng cao.
1 Cho ABC biết: B(2; -1), đường cao qua A có phương trình d 1: 3x - 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y - 5 = 0 Tìm toạ độ điểm A
2009 2
2009 1
2009 0
C
Hết
Trang 2Trường THPT Hàm Rồng Đáp án đề KTCL theo khối thi đại học
Năm học 2008-2009 Môn: toán khối D
Ngày thi : 14-03- 2009
1
KS HS 2 1
1
x y x
1 Tập XĐ : D = R\{1}
2 Khảo sát sự biến thiên : a/ Các giới hạn và tiệm cận:
+ lim 2 => y = 2 là tiệm cận ngang
x y
+ => x = 1 là tiệm cận đứng
b/ Lập bảng biến thiên:
2
1
1
x
Bảng biến thiên :
x 1
y’ - - y
2
2
HS nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;
HS không có cực trị
3 Đồ thị :
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) làm tâm đối xứng
0, 25
0,25
0,5
I
2điểm
2
Toạ độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ:
) 2 (
) 1 ( 1
1 2
m x y x
x y
Phương trình hoành độ giao điểm: x2(m3)x1m0, x1 (*)
, (*) không có nghiệm x= 1
0
5 2
2
R m m
m
=> (*) có 2 nghiệm phân biệt là xA và xB
=> A(xA; xA + m), B(xB; xB + m), Theo định lí viét:
m x
x
m x
x
B A
B A
1
3
0,25
0,25
Trang 3ĐểOAB vuông tại O thì OA.OB0x A x B x A mx B m0
0,25 0,25 1
ĐK:
x x
x x
sin 1 2 cos
sin
1 cos cos2
4
Pt1sinx1sinxcosx1 21sinxsinxcosx
2
2 2 0
1 cos sin 1
0 sin 1 0 1 cos sin cos sin
0 sin 1
k x
k x
x x
x x
x x x x
0,25 0,25
0,5
Câu II
2 điểm
2
) 2 ( 4 1 1
) 1 ( 3
2 2
2 2
y x
xy y x
(2) <=> x2 y2 2 x21.y2 114xy2 xy 2 xy4 11 (3)
Đặt xy = p
3 / 35
3 0
105 26
3
11 11
4 2
3
2 2
p
p p
p
p p p
p
(1) <=> xy2 3xy3
* p=xy = -35/3 (loại)
* p=xy = 3 => x y2 3
1/ Với 3 2/ Với
3 2
3
y x y
x
xy
3 3
2
3
y x y
x xy
Vậy hệ có hai nghiệm là: 3; 3 , 3; 3
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a), M(0; a/2; 0), N(a/2; a/2; a/2)
4
; 2
; 4 ,
2 2 2
a a a
BN BM
24
, 6
BD BM BN
2 4
3 ,
2
BM BN
Mặt khác, ,( )
3
1
BMN D
d S
V BMND BMN
6
6
3 ) (
S
V BMN
D d
BMN BMND
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu III
2 điểm
2
1
,
BD MN
BD MN BD
MN
60
0,5
0,5 IV
2 điểm
1
0 2
0 cos 2
0
cos
2 sin sin 2
sin 2
sin sin
xdx x
xdx e
xdx x
0 cos 2
0
cos
1 sin2 2 sin cos
dx x x e
dx x e
0
cos
) (cos cos 2
x d x
A
C
S
D
B
N
M
x
y z
Trang 4Đặt cosx = t
1 0
0 2
t x
t
x
0
1 2 2 0
1 2 ) ( 2
2
1
0 1
0 1
0
0 2
0
2
1 2
sin sin
dx x x
xdx x
I
3
2 0
2 3
3 sin sin 2
1
x
3
8 3
2 2 2
sin sin
2
0
xdx x
e x
0,25
0,5 2
0 2 2
cos
2 2
cos
2 2
2 2
cos )
(
2
R x
x x x e
x
f x
x x e
x
f'( ) xsin 1 f ''(x)e x1cosx0xR
=> f’(x) là hàm số đồng biến và f’(x) = 0 có tối đa một nghiệm
Kiểm tra thấy x = 0 là một nghiệm của f’(x)
=> f’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0
Bảng biến thiên :
x 0
f’(x) - 0 + f(x)
0
R x x
f
2 2
cos
2
R x
x x x
e x
0,25
0,25
0,25 0,25
1 d: a(x - 1)+ b(y -2) = 0 <=> ax + by - a - 2b = 0 ĐK: a2 + b2 > 0
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; -1) của (C) đến d bằng 3
2
2
b a
b a b a d I
b a
a ab
a
4 3
0 0
6
8 2
a = 0: chọn b = 1 => d: y - 2 = 0
a = - b: chọn a = 3, b = - 4 => d: 3x - 4 y + 5 = 0
4 3
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn bài toán có phương trình là:
y - 2 = 0 và 3x - 4 y + 5 = 0
0,25
0,25
0,5
Va
2 điểm
2 Gọi A là biến cố lập được số tự nhiên chia hết cho 5, có 5 chữ số khác nhau
* Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau: A85 A74 5880 số
* Lập số tự nhiên chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau:
gọi số có dạng a1a2a3a4a5 Có các trường hợp sau:
0,25
I
A
H
4 3
Trang 5+ a5 = 0: chọn a1a2a3a4 có 4 cách
7
A
+ a5 = 5: chọn a1 có 6 cách ( vì a1 0, a 1 a 5) chọn a2a3a4 có 3 cách
6
A
=> có 4+ 6 = 1560 số
7
A A63
=> P(A) =
49
13 5880
1560
0,25
0,25
0,25
1 +Đường thẳng BC vuông góc AH: 3x - 4y + 27= 0 nên có véc tơ chỉ
phương là: U 3;4
Đường thẳng BC qua B(2; -1) => phương trình BC:
4
1 3
2
x
0 5 3 4
+ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
) 3
; 1 ( 3
1 0
5 2
0 5 3 4
C y
x y
x
y x
+ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2 + Đường thẳng BB’ vuông góc d2: x + 2y - 5 = 0 nên có véc tơ chỉ phương là: U' 1;2
BB’ qua B(2; -1) => phương trình BB’:
2
1 1
x
0 5 2
:
+ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: (3;1)
1
3 0
5 2
0 5 2
I y
x y
x
y x
+ Vì I là trung điểm BB’ nên: '(4;3)
3 2
4 2
'
'
B y
y y
x x x
B I B
B I
+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y - 3 =0
+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: ( 5;3)
3
5 0
27 4 3
0 3
A y
x y
x y
0,25
0,25
0,25
0,25
Vb
2 điểm
2009 2
2009 1
2009 0
C
2009 2007
2009 2008
2009 2009
C
n k
n C
C
2009 1005
2009 1004
2009 2
2009 1
2009 0
2008
2
S
0,5
0,5
Ngày 07 tháng 03 năm 2009
Người ra đề
Nguyễn Hữu Thận
H
I
A
B'
d1
d 2
