5 Chuyên đề toán hay thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi – thi đại học42610

Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng

5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY THƯỜNG GẶP TRONG

Chuyên đề 1: Phương pháp tìm số hạng tổng quát

Phần 1 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA TRÊN CẤP SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CUẢ DÃY :

Loại 1 :

Dãy số ( ) xác định bởi :

Do đó + (n-1)d = + (n-1)d

Loại 2

Dãy số xác định bởi :

Vì nên là một cấp số nhân do đó

Loại 3

Dãy số ( ) xác định bởi

Thay vào (*) : = a suy ra là một cấp số nhân q = a Vậy

Các trường hợp a = 0 và a = 1 , b= 0 quy về loại 1 và 2

Loại 4

Dãy số ( ) xác định bởi :

Xét phương trình – cx – d = 0 (1) ( phương trìnhđặc trưng của dãy )

a) nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thì

trong đó : e1 , e2 là nghiệm của hệ

b) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép r khác 0 thì :

Trong đó e1 , e2 là nghiệm của hệ

Chứng minh công thức (*) , (**) dựa trên phương pháp chứng minh quy nạp

ta cũng có thể là như sau với dạng 4 để mọi người hiểu rõ hơn , ta tìm 2 số a,b sao cho a + b = c và ab= -d ,a ,b sẽ là nghiệm của phương trình lúc này ta có

đặt ta được dãy số với n = 2,3 vậy theo loại 2 và kết hợp với trên ta được (1); lý luận tương tự ta cũng

có (2); lấy (2) - (1 ) vế theo vế ta được số theo n , chuyển vế là được số hạng tổng quát

Ví dụ minh họa :

VD1 : Xác định số hạng tổng quát của dãy fibonacci

giải :

Phương trìnhđặc trưng của dãy ::

là nghiệm của hệ

do đó theo (*) :

hay

VD2

Xác định số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi :

Giải

giả thuyết ta có :

(1) rtrong (1) thay n+1 bởi n ta có :

(2)

trong (4) thay n+1 bởi n : (5)

do đó từ (3)

từ giả thuyết

như vậy dãy đã cho xác định lại như sau :

bài toán rơi vào loại 4 giải tương tự ví dụ 1

Sau đây là bài tập áp dụng từ các đề thi

1

3

6

Phần 2 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA VÀO DÃY SỐ PHỤ : VD1 :

dãy số ( n = 1,2,3, ) được sác định bởi ,

với mọi n = 1,2,3,

hãy tìm công thức tổng quátcuar theo n

giải

,2,

suy ra :

đặt và b = 2002 , từ (1) ta có :

=

=

=

từ đó

VD2

cho dãy số ( ) xác định bởi n= 1,2

hãy xác định số hạng tổng quát ( ) của dãy :

giải

đặt ( n=1,2, ) (1)

ta có (2)

(3)

từ (1),(3) suy ra

nên ( ) và cấp số cộng có công sai d = -1 từ (2) , suy ra :

kết hợp với (1) ta được

phew xong rùi giờ là bài tập ứng dụng

bài 1 cho dãy số ( ) , n thuộc N* ,xác định như sau :

với mọi n thuộc N*

hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số

(HSGQG 2000-2001 bảng B ; TH và TT 10/2001)

bài 2 dãy số được xác định bởi

a) hãy xác đinh số hạng tổng quát của dãy số trên

b) chứng minh rằng số có otheer biểu diễn được thành tổng bình phương của ba

số nguyên liên tiếp ( với n >= 1)

( đề olimpic 30-4 2001 lương văn chánh phú yên )

bài 3 : cho số thực a khác 0 cva fcho dãy số với mọi x thuộc N*

a) tìm số hạng tổng quát cảu dãy trên

b) chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn khi n tiến về dương vô cùng , Hãy tìm

giới hạnđó

(HSGQG 2002-2003 bảng b TH và TT 1/2004

bài 4 cho dãy số n thuôc N thỏa điều kiện với n thuôc N

tính

( đề thi olimpic đong bằng sông cửu long năm 2000)

Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương

trình chứa căn

Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây mình xin giới thiệu phương pháp sử dụng tính đơn điệu

I)Dạng I:

Giả sử

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 1)Giải phương trình :

Điều kiện

Giả sử

Vậy

II)Dạng II

trong đó

Ví dụ II)Giải phương trình:

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

Giả sử:

suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4:

Bài 5)

Chuyên đề 3: Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Bất đẳng thứcCô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Siđó là kĩ thuật Cô-Singược dấu

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải:

Ta luôn có :

Theo bất đẳng thứcCô-Si ta có: nên

(1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

(3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy

ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thứcCô-Si ta có: nên

(1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

(3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật Cô-Singược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:

Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thựcdương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Chuyên đề 4: Bàn về một dạng phương trình

Trước đây trong diễn đây đã trao đổi về cách giải phương trình chứa hai hàm ngược nhau

Cụ thể ở đây: http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=12462&page=3

Và ở đây:http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=12462&page=4

Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.

Ví dụ 1 : Giải phương trình:

Giải:

Vậy ta có hệ phương trình :

Trừ hai phương trình của hệ:

.

Bình luận : Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dnagj phương trình trên như sau:

Để giải phương trình này ta đặt ta có hệ:

Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.

* Từ dạng trên ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 2 : Giải phương trình :

Giải: Điều kiện :

PT

Ta có hệ :

*

(thỏa ).

*

(thỏa đk )

Ví dụ 3 : Giải phương trình:

Giải: ĐK:

PT

Đặt

Ta có hệ phương trình:

vào (1) ta được:

.Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương

trình bằng cách làm tương tự như trên.

Ví dụ 4 : Giải phương trình : .

Giải: Điều kiện :

Phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm:

Ví dụ 5: Giải phương trình :

Giải:

Ta thấy không là nghiệm của phương trình Chia hai vế phương trình cho

Đặt , ta có:

.

Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:

Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không? Ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 6: Giải phương trình : Giải:

PT

Ta có hệ phương trình :

*

phương trình vô nghiệm.

*

hệ vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chuyên đề 5: 1 số phương pháp giải PT nghiệm nguyên

Phương pháp 1 Phân tích

Phương pháp 2 Nhận xét về ẩn số

1,Nếu các ẩn x,y,z,t có vai trò như nhau thì ta có thể giả sử

hoặc ngược lại.

khử ẩn để đưa về dạng quen thuộc hoặc PT ít ẩn hơn

a,x+y+z=xyz

b, 5(xy+yz+xz)=4xyz

Phương pháp 3 "Kẹp" giữa 2 số bình phương, lập phương, các tích các số nguyên liên tiếp

Phương pháp 4 Sử dụng phép chia hết và phép chia có dư

Phương pháp 5 Phương pháp xuống thang :

*Với phương pháp này thường cho ta bộ nghiệm bằng 0

Phương pháp 6 Phương pháp thế

dụng vào bài toán

Phương Pháp 7 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số có 1 số bằng

0.

Phương pháp 8 : Sử dụng tính chẵn lẻ: (Phương pháp này ko chắc ko cần VD )

Phương pháp 9 : Dùng cách viết dưới dạng liên phân số

=

b,

c,

Trích:

-Vận dụng tính chất của tập số nguyên

-Vận dụng tính chất số nguyên tố, số vô tỉ để tìm nghiệm

Sử dụng 1 số mệnh đề sau

Với mọi số nguyên a thì +1 có ước số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên)

Cho P là số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên dương) a, b là số nguyên Khi đó nếu + chia hết cho P thì

a và b chia hết cho P