D ng hình bình hƠnh ADCE.. Ch ng minh r ng đ ng th ng PQ đi qua trung đi m HK... Tính góc PAN... T giác IDAN lƠ hình vuông nên ID=DA=AP=PI=3 cm.. Mà AB vuông góc AN 2... T giác IDAN lƠ h
Trang 1S ăGD- TăH UăGIANG K ăTHIăCH NăHSGăTHCSăC PăT NHăN MăH Că2016-2017 ăCHệNHăTH C MÔN: TOÁN
Th i gian: 150 phút
Bài 1: a) Tính giá tr c a 5 7
20
b) Gi i h ph ng trình 2
2
3
7
1 5x 7x
y x
y
Bài 2: a) Tìm các s th c x bi t 2 3 2 3
1 6x 9x 3 1 3x 3x x b) Cho đa th c 7
f x x và 3
g x x x Tìm ph n th ng vƠ ph n d
khi chia f(x) cho g(x)
Bài 3:
a) Tìm t t c các s nguyên d ng n sao cho 60+2n-n2lƠ s chính ph ng
b) Cho hai s th c a, b th a mãn a+b-ab=-1 và a2
P a b
f x x x th a mãn , đúng v i m i x Tìm 2
( 1)
f x
A x y x y xy v i x, y lƠ các s th c
Bài 4 : a) Tam giác ABC vuông t i A có AB = 6cm, AC = 8cm Các đ ng phơn
giác trong và phâ n giác ngoƠi c a góc B l n l t c t đ ng th ng AC t i M vƠ N Tính di n tích c a tam giác BMN
b) Tính di n tích c a l c giác đ u có c nh 2 2
3
Bài 5 : a) Cho tam giác ABC vuông t i A vƠ có di n tích b ng 2017 dm2
Trên các
c nh c a tam giác vuông ta d ng các n a đ ng tròn đ ng kính AB, BC vƠ CA Tính t ng di n tích ph n tô đen
b) Cho O lƠ m t đi m n m mi n trong c a tam giác ABC Qua O k các
đ ng th ng song song v i các c nh AB, BC, CA l n l t c t các c nh c a tam giác nh hình v G i a, b, c l n l t lƠ di n tích c a các tam giác HIO, GFO, DEO
S a b c
S ăGiáoăD căvàă àoăT oă Kìăthiăch năh căsinhăgi iăt nhăl pă 9ăc păTHCS
Trang 2t nhăNgh ăană N măh
că2016-2017
Câu 1: (4,0 đi m)
a Tìm các h s a ,b,c c a đa th c 2
P x x b c bi t P(x) có giá tr nh
nh t b ng ứ1 khi x=2
2( 1) 3 ( 1) 0
x xy xy y
Câu 2: (4,0 đi m)
x x x
b Cho các s d ng a,b,ca,b,c th a mãn ab+bc+ca=1 Tìm giá tr l n nh t c a
bi u th c
2
P
Câu 3: (3,0 đi m) Cho tam giác ABC có góc BAC 0
135
đ ng cao AH=1cm Tính đ dƠi các c nh AB và AC
Câu 4: (5,0 đi m) Cho tam giác ABC nh n n i ti p đ ng tròn tơm O, D lƠ đi m
trên cung DC không ch a A D ng hình bình hƠnh ADCE G i H,K l n l t lƠ tr c tơm c a các tam giác ABC, ACE;P,Q l n l t lƠ hình chi u vuông góc c a K trên
đ ng th ng BC,AB và I lƠ giao đi m c a EK v i AC
a Ch ng minh r ng 3 đi m P,I,Q th ng hƠng
b Ch ng minh r ng đ ng th ng PQ đi qua trung đi m HK
Câu 5: (4,0 đi m)
a Tìm t t c các s nguyên t khác nhau m,n,p,q tho mãn
1 1 1 1 1 1
m n p q mnpq
b Trên m t hƠng có ghi 2 s 1 và 5 Ta ghi các s ti p theo lên b ng theo nguyên t c N u có 2 s x,y phơn bi t trên b ng thì ghi thêm s z=xy+x+y Ch ng minh r ng các s đ c ghi trên b ng (tr s 1 ra) có d ng 3k+2 (v i k lƠ s t
nhiên).
S ăGIÁOăD CăVÀă ÀOăT O KỊăTHIăH CăSINHăGI IăV NăHOÁăL Pă 9
QU NGăTR Khoá thi ngƠy 15 tháng 3 n m 2017
ăTHIăCHệNHăTH C Môn thi: TOÁN
Trang 3( thi g m có 01 trang) Th i gian lƠm bài: 150 phút (không k th i gian giao đ )
Bài 1: (5,0 đi m) Cho bi u th c : 1
1 ( 1)
1 Tìm đi u kiên c a x đ A có ngh a vƠ rút g n A
2 Tính giá tr c a A khi 3 3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 Gi s s th c x tho mãn x ≥ 5 Tìm giá tr nh nh t c a A
Bài 2 (5,0 đi m)
1 Gi i ph ng trình x 11 7 x1
2 Cho các s th c d ng a, b, c, d Ch ng minh r ng: 2 2 d
a b c d ac b
Bài 3 (2,0 đi m) Gi i h ph ng trình: 2 2 2
xy x y x y
Bài 4 (6,0 đi m)
1 Cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn (O), đ ng kính AD Hai đ ng chéo AC
vƠ BD c t nhau t i E; G i F lƠ hình chi u c a E trên AD vƠ G lƠ trung đi m ED
ng tròn ngo i ti p tam giác DGF c t (O) t i đi m th hai lƠ H (HH D) G i I lƠ giao đi m c a BC vƠ FG
a) Ch ng minh r ng t giác BCGF n i ti p đ ng tròn
b) Ch ng minh r ng D, I, H th ng hƠng
2 Bên trong hình tròn có bán kính b ng 1 ch n 7 đi m b t kí Ch ng minh r ng t n
t i 2 đi m trong 7 đi m đã cho có kho ng cách gi a chúng nh h n 1
Bài 5 (2,0 đi m)
1 Cho các s th c x, y Ch ng minh r ng: [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 (Kí hi u [x] lƠ s nguyên l n nh t không v t quá x)
2 Ta g i m t b s nguyên t đ p khi tích c a các s nguyên t nƠy b ng 10 l n t ng
c a chúng Hãy tìm t t c các b s nguyên t đ p nói trên ( các s trong b không
nh t thi t ph i phơn bi t).
- H
Trang 5T -ăthiăHSGăl pă9ăt nhăTháiăBìnhă2016-2017
Câu 1. (3,0 đi m)
2 1
Tính
2
2 4 12 11 2x 6x 2
Câu 2. (3,0 đi m) Cho hai hƠm s : y= 2 3
y m x m m và y=xứ2m+1 có đ
th l n l t lƠ d ;d1 2 G iA x y( ;0 0) lƠ giao đi m c a d ;d1 2
a) Tìm t a đ đi m A
b) Tìm m nguyên đ bi u th c 02 0
2
3 1
3 3
x x T
y y
nh n giá tr nguyên
Câu 3. (4,0 đi m)
1) Gi i ph ng trình: 2x211x 21 3 4x 4 3
2) Gi i h ph ng trình sau:
2 2 2
y x y xy x
Câu 4 (2,0 đi m) Cho tam giác MNP cơn t i P G i H lƠ trung đi m c a MN, K là
hình chi u vuông góc c a H trên PM D ng đ ng th ng qua P vuông góc
v i NK vƠ c t HK t i I Ch ng minh r ng I lƠ trung đi m c a HK
Câu 5. (4,0 đi m) Cho tam giác ABC vuông cơn t i A Trên tia đ i tia AC l y
đi m M sao cho 0<AM<AC G i O lƠ tơm đ ng tròn ngo i ti p tam
giác BCM, K lƠ hình chi u vuông góc c a M trên BC, MK c t AB t i H
G i E,F l n l t lƠ trung đi m c a CH và BM
a) Ch ng minh r ng t giác AFKE là hình vuông
b) Ch ng minh r ng AK,EF,OH đ ng quy
Câu 6. (2,0 đi m) Tìm s nghi m nguyên d ng (x;y) c a ph ng trình
100.110 n
x y v i nn lƠ s nguyên d ng cho tr c Ch ng minh r ng s
nghi m nƠy không th lƠ s chính ph ng
Câu 7. (2,0 đi m)
Cho các s th c d ng a,b,c th a mãn ab+bc+ca=abc Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c 43 43
a b P
ab a b
4 4
3 3
b c
bc b c
3 3
c a
ca c a
UBND T NH B C NINH
Môn thi: Toán – L pă9
Th i gian làm bài: 150 phút (không k th i gian giao đ )
Đ CHÍNH TH C
Trang 6( thi có 01 trang)
Tr ngă Quangă Ană ,tr ngă THCSă Ngh aă Th ngă ,T ă Ngh aă ,Qu ngă Ngưiă S ă đi nă tho iă 01208127776ă.Ngu năg că:s uăt măđ ăvàăgõăl iăđápăán
Câu 1 (3,0 đi m)
a b c a b c b2 c2 a 2,
Câu 2 (4,0 đi m)
;
M x y sao cho y2 5y x 6x 0
2) Cho a b c , , lƠ các s th c th a mãn 0
Ch ng minh r ng ph ng trình ax2 bx c 0 luôn có nghi m
Câu 3 (4,0 đi m)
1) Cho các s th c d ng , , a b c Ch ng minh r ng
2) Tìm các s nguyên t , ,a b c vƠ s nguyên d ng k th a mãn ph ng trình
Câu 4 (6,0 đi m)
tròn O t i C G i D lƠ giao đi m th hai c a CA v i đ ng tròn O '
1) Ch ng minh r ng tam giác ADM cân
đ ng tròn O t i đi m th hai lƠ N Ch ng minh r ng ba đi m , ,A M N th ng hƠng
Câu 5 (3,0 đi m)
Trang 71) Cho hình vuông MNPQ vƠ đi m A n m trong tam giác MNP sao cho
2
AM AP AN Tính góc PAN
- H T -
UBND T NH B C NINH
N MăH Că2016ă- 2017
Môn: Toán - L pă9
1.1.ă(1.5ăđi m)
2
B
0.75
2 2
0.75
1.2.ă(1.5ăđi m)
P
0.75
Ta có a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0
3 3 3 3
Do v y, 3
2
P
0.75
2.1.ă(2.0ăđi m)
3
V i y 2 x 2x 1 2 x x x 12 0, không có x th a mãn
1.0
Trang 8V i 3 2 1 3 11 11
4 2
x x
x x
T đó tìm đ c các đi m th a mãn lƠ M 1; 3 ho c 1 3;
4 2
M
1.0
2.2.ă(2.0ăđi m)
4
a b c ta đ c 5
4cx c
N u c 0, ph ng trình nghi m đúng v i m i x
N u c 0,ph ng trình có nghi m 4
5
1.0
V i a 0,
2
2
b a a a b Suy ra, ph ng trình luôn có hai nghi m phơn bi t
V y ph ng trình luôn có nghi m
1.0
3.1.ă(2.0ăđi m)
Ta có
2
2 2
;
0.5
3
c
c a
b
2 2 2
b
T đó suy ra đi u ph i ch ng minh
D u b ng x y ra khi vƠ ch khi a b c 1
0.5
3.2.ă(2.0ăđi m)
Vì VP chia 3 d 1 nên VT chia 3 d 1 MƠ bình ph ng c a s nguyên t chia 3 d 1
ho c 0 nên hai trong ba s a b c, , ph i b ng 3 0.5
Trang 9TH1: a b 3 ta có 18 16c 9k 1 17 9k 16c (3k 4 )(3c k 4 )c
3 2
k
c (th a mãn)
V y ta đ c a b c k; ; ; 3; 3;2; 3
0.5
TH2: N u c 3; a 3 ho c b 3
V i a 3 ta có
Vì 3k b k, 3 b cùng tính ch n l mƠ tích lƠ ch n nên chúng cùng ch n
Ta đ c các tr ng h p:
13 37
k
k
(th a mãn)
Ta đ c các b a b c k; ; ; th a mãn lƠ ( , , , )a b c k (3, 37, 3,13)
7 17 8
k
b (th a mãn)
Ta đ c các b a b c k; ; ; th a mãn lƠ ( , , , )a b c k (3,17, 3, 7)
T ng t ta có các b ( , , , )a b c k (37, 3, 3,13),(17, 3, 3,7)
1.0
4.1.ă(1.0ăđi m)
C
H D
N
M E
A
Tam giác AOC cơn t i O, có OD là
đ ng cao nên là phân giác trong góc
AOC , do đó AOD COD
0.5
4.2.ă(1.0ăđi m)
0
Do đó, AE AB V y AE lƠ ti p tuy n chung c a O và O' 0.5
4.3.ă(2.0ăđi m)
Gi s AM c t O t i N' OAN' cơn t i ,O có OM AN' nên OM lƠ đ ng trung
tr c c a AN' CA CN'
1.0
Trang 10Ta có CN A' CAM mà CAM DOM, do đó CN H' COH B n đi m , ', ,C N O H
thu c m t đ ng tròn
Suy ra, N' thu c đ ng tròn ngo i ti p CHO Do v y, N' trùng v i N V y ba đi m
, ,
1.0
4.4.ă(2.0ăđi m)
Ta có hai tam giác MAO EMA , đ ng d ng nên
2
1.0
D th y MEO cơn t i M nên ME MO Thay vƠo (*) ta đ c MA2 OAMO (**)
t MO x 0 ta có MA2 OA2 MO2 a2 x 2
0
T đó tìm đ c 5 1
2
a
1.0
5.1.ă(1.5ăđi m)
B A
N M
D ng tam giác ANB vuông cơn t i N
Ta có AB2 2AN , 2 BAN 450 và
1.0
2
Nên PAN PAB BAN 900 450 1350
0.5
5.2.ă(1.5ăđi m)
Hay các ph ng trình 2
Trang 11Do đó, các bi t th c t ng ng 2 2
1.0
Chú ý:
1 H c sinh lƠm đúng đ n đơu giám kh o cho đi m đ n đó, t ng ng v i thang đi m
2 HS trình bƠy theo cách khác mƠ đúng thì giám kh o cho đi m t ng ng v i thang
đi m Trong tr ng h p mƠ h ng lƠm c a HS ra k t qu nh ng đ n cu i còn sai sót thi giám kh o trao đ i v i t ch m đ gi i quy t
3 T ng đi m c a bƠi thi không lƠm tròn
- H t -
Tên : Tr ng Quang An
Giáo viên Tr ng THCS Ngh a Th ng
a ch : Xã Ngh a Th ng ,Huy n T Ngh a ,T nh Qu ng Ngãi
i n tho i : 01208127776 Ngu n s u t m trên m ng vƠ nh ch p đ c a h c sinh
Môn thi: TOÁN
Th i gian lƠm bƠi: 150 phút (không k th i gian giao đ )
Bài 1 (4 đi m )
a/Ch ng minh r ng 5
1999 2017( )
n n n không ph i lƠ s chính ph ng b/Tìm các s nguyên x,y th a mãn 2 2
5 2 4 12
x y xy y
c/Cu i h c k ,m t h c sinh có h n 11 bƠi ki m tra đ t các đi m 8,9,10 Bi t t ng đi m các bƠi
ki m tra lƠ 100 H i h c sinh đó có bao nhiêu bƠi ki m tra đ t đi m 8,đi m 9 ,đi m 10 ?
Bài 2 (4 đi m )
a/Gi i ph ng trình 3 3
x x
b/Gi i h ph ng trình
3 3
8
x y
x y xy
Bài 3 (4 đi m )
a/Cho 5 5
3 x 3
; x và 0 5 3 x 5 3 xa
Tính giá tr c a bi u th c P 10 2 25 9x2
x
b/Cho x,y,z > 0 vƠ x+y+z=12 Tìm giá tr l n nh t c a
2x y z 15
M
x
y
2 24
x y z z
Bài 4 (5đi m )
S ăGIÁOăD CăVÀă ÀOăT Oăă
Ngày thi 23/02/2017 Môn thi :Toán
Th i gian lƠm bƠi :150 phút
Trang 121/ Cho tam giác ABC vuông t i A có AB=9cm ,AC=12 cm G i I lƠ tơm đ ng tròn n i ti p tam giác vƠ G lƠ tr ng tơm tơm tam giác ABC.Tính đ dƠi đo n th ng IG
2/Cho hình vuông ABCD có đ dƠi c nh a G i M,N,P lƠ 3 đi m l n l t l y trên c nh BC,CD
vƠ DA sao cho tam giác MNP đ u
a.Ch ng minh r ng 2 2
2
CN AP DP BM b.Xác đ nh v trí c a M,N,P đ tam giác MNP có di n tích bé nh t
Bài 5 (4 đi m )
a/Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn tơm O có bán kính R ,bi t AB=c ,AC=b ,BC=a vƠ th a mãn h th c R b c( ) a bc H i tam giác ABC lƠ tam giác gì ?
b/Trên m t ph ng cho 6 đi m b t k sao cho kho ng cách gi a 2 đi m tùy ý luôn l n h n 1 .Ch ng minh r ng không th ph c 6 đi m nƠy b ng m t hình tròn có bán kính b ng 1
Bàiăgi iă
Bài 1 (4 đi m )
a/Ch ng minh r ng 5
1999 2017( )
n n n không ph i lƠ s chính ph ng
b/Tìm các s nguyên x,y th a mãn 2 2
5 2 4 12
x y xy y
c/Cu i h c k ,m t h c sinh có h n 11 bƠi ki m tra đ t các đi m 8,9,10 Bi t t ng đi m các bƠi
ki m tra lƠ 100 H i h c sinh đó có bao nhiêu bƠi ki m tra đ t đi m 8,đi m 9 ,đi m 10 ?
Bàiăgi iă
a/Ta có n51999n2017n5 n 2000n2015 2( n )
1999 2017 2000 2015 2
n n n n n
( 1)( 1)( 2)( 2) 5 ( 1)( 2) 2000 2015 2( )
Ta nh n xét r ng không có s chính ph ng nƠo chia 5 d 2
V y 5
1999 2017( )
n n n không ph i lƠ s chính ph ng
5 2 4 12 ( ) (2 1) 13 ( 2) ( 3)
x y xy y x y y
ý r ng 2y+1 có d ng l nên ta có các tr ng h p sau :
V y nghi m nguyên c a ph ng trình là (1;1) ,(0;-2) ,(4;-2) ,(-3;1)
Cách 2: Ta có x25y22xy4y12x22xy(5y24y12)0 (1)
ph ng trình trên có nghi m nguyên thì :
' 4y 4y 12 0 4y 4y 12 0 2 y 1
MƠ y nguyên nên ta có các giá tr c a y lƠ : y 2; 1;0;1
V i y=-2 thì thay vào (1) ta có : 2 0
( 2) 4
4
x x
x
(th a mãn )
Trang 13V i y=-1 thì thay vào (1) ta có : 2
(x1) 12 (ph ng trình nƠy không có nghi m x nguyên )
V i y=0 thì thay vƠo (1) ta có : 2
(x1) 12 (ph ng trình nƠy không có nghi m x nguyên )
V i y=1 thì thay vƠo (1) ta có : 2 1
( 1) 4
3
x x
x
(ph ng trình nƠy không có nghi m x nguyên )
V y nghi m nguyên c a ph ng trình lƠ (1;1) ,(0;-2) ,(4;-2) ,(-3;1)
c/G i x,y,z lƠ s bƠi ki m tra đ t đi m 8,9,10 Ta có x+y+z >11 vƠ 8x+9y+10z=100 (1)
Ta th y 100=8x+9y+10z > 8(x+y+z) suy ra 25
2
x y z
2
Thay x vào (1) ta có y+2z=4 suy ra z=1 (vì y,z > 0 )
Khi đó z=1 thì y=2 suy ra x=9
V y s bƠi ki m tra đ t đi m 8;9;10 l n l t lƠ 9;2;1
Bài 2 (4 đi m )
a/Gi i ph ng trình 3 3
x x
b/Gi i h ph ng trình
3 3
8
x y
x y xy
Bài g i iă
a x b x Ta có h sau : 3 3 2
1 2
7
3
b a
a b
a
V y nghi m c a ph ng trình lƠ x=3 ,x=-6
b/ t a=x+y ,b=xy Ta có h ph ng trình vi t l i :
3
2
0 2
3 8
2 (4 15 15) 0 2
0
x y
a ab
y
V y h có nghi m lƠ (0;2) ;(2;0)
Bài 3 (4 đi m )
a/Cho 5 5
3 x 3
; x và 0 5 3 x 5 3 xa
Tính giá tr c a bi u th c P 10 2 25 9x2
x
b/Cho x,y,z > 0 vƠ x+y+z=12 Tìm giá tr l n nh t c a
2x y z 15
M
x
y
2 24
x y z z
Bàiăgi iă
Trang 14a/Ta có
2
.( 3 5 3 5)
P
b/M 2x y z 15
x
y
2 24
x y z z
Thay x+y+z=1 vào M ta có :
Max M =-1 khi vƠ ch khi x=y=3 vƠ z=6
Bài 4 (4 đi m )
a/ Cách 1:
Hình v
B
I
D
G
N
G i D lƠ ti p đi m c a đ ng tròn (I) vƠ đo n th ng AB
Tam giác ABC vuông t i A nên theo đ nh lí Pitago ta có :
9 12 15
AB AC BC BC
AB AC BC
AD
(cm)
Mà BD =AB-AD=9-3=6 (cm)
T giác IDAN lƠ hình vuông nên ID=DA=AP=PI=3 (cm)
Ta th y ID vuông góc v i AB (1)
Mà AB vuông góc AN (2)
T (1) vƠ (2) suy ra : ID song song v i AN
Tam giác ABN có ID song song v i AN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có :
2
3
BD BI
AB BN (3)
MƠ G lƠ tr ng tơm nên theo tính ch t v tr ng tâm ta có : 2
3
BG
BM (4)
T (3) vƠ (4) suy ra 2
3
BI BG
BN BM nên IG song song v i MN Tam giác BMN có IG song song v i MN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có :
IG BI BG
IG MN
MN BN BM
Tam giác ABN có ID song song v i AN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có :
4,5
ID BI
AN ID
AN BN (cm)
Trang 15Mà MN=AM-AN=6-4,5=1,5 (cm )
Lúc đó 2 2.1,5 1
IG MN (cm)
Cách 2:
Hình v
B
I
D
G
N
G i D lƠ ti p đi m c a đ ng tròn (I) vƠ đo n th ng AB
Tam giác ABC vuông t i A nên theo đ nh lí Pitago ta có :
9 12 15
AB AC BC BC
AB AC BC
Mà BD =AB-AD=9-3=6 (cm)
T giác IDAN lƠ hình vuông nên ID=DA=AP=PI=3 (cm)
Ta th y ID vuông góc v i AB (1)
Mà AB vuông góc AN (2)
T (1) vƠ (2) suy ra : ID song song v i AN nên ID song song v i AM (vì M thu c AN )
Ta có : 2
3
BD
AB (3)
MƠ G lƠ tr ng tơm nên theo tính ch t v tr ng tơm ta có : 2
3
BG
BM (4)
T (3) vƠ (4) suy ra 2
3
BD BG
BA BM nên DG song song v i AM
Ta có DI song song v i AM (5)
MƠ DG song song v i AM (6)
T (5) vƠ (6) suy ra D,I,G th ng hƠng
Tam giác ABM có DG song song v i AM nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có :
.6 4
DB BG DG
BA BM AM (cm)
M t khác ta có DI+IG=DG nên IG=DG-DI=4-3=1 (cm)
Cách 3:
