GV nêu khẳng định: Hàm số Fx nói trên được gọi là nguyên hàm của hàm số fx và yêu cầu học sinh hãy nêu định nghĩa nguyên hàm.. HS tự rút ra nhận xét: muốn tìm tất cả các nguyên hàm của
Trang 1Chương III: Nguyên hàm và tích phân
Đ1: nguyên hàm
Tiết theo PPCT : 253 -> 256
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm của một hàm số, định lý, các tính chất của nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản
HS biết cách tìm nguyên hàm của một hàm số
II - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Giảng bài mới:
GV nhắc lại vấn đề tổng quát: Cho hàm số
f(x) xác định trên khoảng (a; b), tìm các
hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F'(x)
= f(x)
GV nêu khẳng định: Hàm số F(x) nói trên
được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) và
yêu cầu học sinh hãy nêu định nghĩa
nguyên hàm
GV chính xác hoá
1) Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi
x(a; b) ta có: F'(x) = f(x)
Nếu thay cho khoảng (a; b) là đoạn [a; b]
thì phải có thêm: F'(a+) = f(a) và F'(b-) = f(b)
GV đặt câu hỏi:
* Tìm một hàm số là nguyên hàm của hàm số
y = 2x
HS đọc phần nêu vấn đề SGK(111)
HS phát biểu định nghĩa
HS theo dõi và ghi chép
HS suy nghĩ và trả lời
* y = x2
DeThiMau.vn
Trang 2Hoạt động của GV Hoạt động của HS
* Hàm số y = x2 + 11 có phải là nguyên hàm
của y = 2x không?
* Tìm một nguyên hàm của hàm số 1
2
y
x
trên R*
+
* Hàm số y x 0, 05 có phải là nguyên
hàm của trên R*
+ không?
1 2
y
x
* Từ đó hãy tổng quát thành tính chất chung
và chứng minh
* Điều ngược lại có đúng không? Nêu cách
chứng minh điều ngược lại
GV gợi ý: Rõ ràng (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) =0
nên ta phải chứng minh bổ đề
Bổ đề: Nếu F'(x) = 0 trên khoảng (a; b) thì
F(x) không đổi trên khoảng đó
GV tổng hợp và chính xác hoá thành định lý:
2 Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) thì :
+ C = const có F(x) + C cũng là một nguyên
hàm của f(x)
+ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dưới
dạng F(x) + C với C = const
Hay ta nói: {F(x) + C, C R} là họ các
nguyên hàm của f(x) Kí hiệu là: f x dx ( ) và
còn đọc là tích phân bất định của f(x)
Vậy: f x dx( ) F x( ) C F x'( ) f x( ) (*)
Dấu gọi là dấu tích phân, f(x)dx gọi là biểu
thức dưới dấu tích phân và là vi phân của
mọi nguyên hàm F(x) của f(x) vì :
dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx
* Có
* y x
* Có
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) thì :
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), C = const
Thật vậy: (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)
* Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) ta phải chứng minh G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C
với C = const
HS chứng minh bổ đề dựa vào định
lý Lagrăng (SGK - 113)
HS theo dõi và ghi chép
HS tự rút ra nhận xét: muốn tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) ta chỉ cần tìm một nguyên hàm thì mọi
nguyên hàm khác đều suy ra được
bằng cách cộng vào đó một hằng số nào đó
Trang 31) 2xdxx C
1
2)
2 x dx x C
GV đặt câu hỏi để dẫn đến các tính chất
* Từ (*) cho biết '
f x dx
* Đã biết (aF(x))' = aF'(x) = af(x) Vậy
với a 0.
af x dx
* Đã biết (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)
Vậy f x( )g x( )dx ?
* Đã biết (F(u(x)))' = F'(u).u'(x)
Vậy f u x u x dx( ( )) '( ) ?
GV bổ sung: Vậy nếu f t dt( ) F t( ) C
thì f u du( ) F u( ) C với u = u(x)
GV nêu định lý, cho HS thừa nhận:
[a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
GV nêu quy ước: Từ đây chỉ xét các hàm số
liên tục
HS nêu và chứng minh các tính chất
*
* Thật vậy:
a f x dx a F x C aF x aC
màaF x( ) ' aF x'( ) af x( )và aC = const nên af x dx( ) aF x( ) aC
đpcm
* Chứng minh tương tự trên
*
Hiển nhiên vì F'(t) = f(t) nên (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x) = f(u(x)).u'(x) đpcm
HS theo dõi và ghi chép
af x dxa f x dx a
f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))
f t dt F t C
f u x u x dx F u x C
DeThiMau.vn
Trang 4Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV hướng dẫn HS từ đạo hàm suy ra
nguyên hàm của các hàm số sơ cấp (và
của hàm số hợp) tương ứng
* (x)' = ? dx ?
* (x ) = ? x dx ?
* (ln/x/)' = ? ?
* (ex)' = ? ?
* (ax)' = ? ?
* (sinx)' = ? ?
* (cosx)' = ? ?
* (tgx)' = ? ?
* (cotgx)' = ? ?
C - Luyện tập - Củng cố:
6 áp dụng:
GV nêu ví dụ và hướng dẫn HS tính
nguyên hàm
*Ví dụ 1: F(x) = 2 2
5
x
*Ví dụ 2: F(x) = 2 cos 32
sin
x
HS tìm ra đạo hàm của các hàm số sơ cấp dưới sự hướng dẫn của GV
*dxx C
1
x
* dx ln | |x C (x 0)
x
e dxe C
ln
x
a
* cos xdxsinx C
*sinxdxcosx C
cos
dx tgx C
x
sin
dx
tgx C
x
HS giải các ví dụ
2
2
3 2
2
2 ln | |
x dx
x dx xdx
x
x C
2
sin
2 sin 3 co
dx
x
Trang 5*VÝ dô 3: F(x) = 3 2
2 3
4
x
dx x
*VÝ dô 4: F(x) = cotgx3sin 2 x1dx
*VÝ dô 5: F(x) = x2
e xdx
*VÝ dô 6: F(x) =
2
1
x dx x
6 3 2 3
( )
48
x
C
sin 3
3
ln | sin | cos(2 1)
2
xdx
x
d x
x
2
2
2
1 ( )
2 1 2
x
x
1
3 3 3
1 1
3 3
2
3 3
1
3
1 (1 ) 1
3 1 (1 ) 2
x
C
DeThiMau.vn
Trang 6D - Ch÷a bµi tËp:
x
3
1 ) ( ) x
b f x
x
3
) ( )
) ( ) x 1 x
a f x e e
2
cos
x
b f x e
x
) ( ) 2 x
c f x a x
) ( ) 2x 3x
d f x
Bµi 3(118) TÝnh:
a x dx
b ax b dx a
2 3
c x x dx
2
d
)
e tgxdx
3cos
2 2
h x xdx
ln
x
4 2
5 2
3 3
) ( )
2 3 3 ) ( ) 2
2
c F x x x C
5 2 2 ) ( )
5
d F x x x C
) ( ) x
a F x e x C
) ( ) 2 x
b F x e tgx C
2 3 2 ) ( ) 2
ln 3
x
a
a
) ( )
ln 2 ln 3
1
42
1
a
3
3 2
2
9
2
1
2
) ln | cos |
3cos
1 )
3
x
2 2
1
3
1
5
Trang 7
Đ2: Tích phân
Tiết theo PPCT : 257 -> 261
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân
HS biết cách tính một số tích phân đơn giản
II - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số
Tính các nguyên hàm sau:
2 2
3 5
x
x
5
b x dx
) cos sin cos 3
c x x xdx
4
)
sin
7
x dx
d
x
C - Giảng bài mới:
GV giới thiệu khái niệm tam giác cong,
hình thang cong và bài toán tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong
GV nêu bài toán
Bài toán: Tính diện tích của hình thang
cong aABb, được giới hạn bởi đồ thị hàm
số liên tục y = f(x), f(x) 0, trục Ox và hai
đường thẳng x = a, x = b
Đáp số:
2
5
)
1
) cos 4 sin 4 sin 2 cos 2
1 )
x
HS theo dõi và ghi chép
DeThiMau.vn
Trang 8Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV hướng dẫn HS giải bài toán
(SGK trang120 -> 122)
GV: bài toán trên chính là nội dung của định
lý sau Nêu định lý
ĐL: Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và
f(x) 0 trên đoạn [a; b] Thế thì diện tích của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
số đó, trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b
là: S = F(b) - F(a) , trong đó F(x) là một
nguyên hàm bất kỳ của f(x) trên đoạn [a; b]
GV nêu định nghĩa
ĐN: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên
một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ
của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
K Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ
a đến b của f(x) và được ký hiệu là ( )
b
a
f x dx
.Ta còn ký hiệu: ( )b ( ) ( )
a
F x F b F a
Vậy: (1)
(công thức Newton - Leibniz)
Trong đó: là đấu tích phân, f(x) dx là biểu
thức dưới dấu tích phân và là vi phân của mọi
nguyên hàm của f(x), f(x) là hàm số dưới dấu
tích phân, a và b là các cận của tích phân, a là
cận trên, b là cận dưới, x là biến số tích phân
GV nêu ví dụ
Ví dụ: 3
1
1) 2xdx
3 2
1 2)
2 x dx
HS theo dõi và ghi chép
HS theo dõi và ghi chép
HS áp dụng công thức (1) để giải
ví dụ
3
1 1
3
3
4 4 2
2
1
2 x dxx
b
b a a
f x dxF x F b F a
Trang 9GV nêu chú ý
Chú ý: Tích phân ( ) chỉ phụ thuộc vào
b
a
f x dx
f, a và b mà không phụ thuộc vào cách ký
hiệu biến số tích phân
GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa tích phân hãy
nêu ý nghĩa hình học của tích phân
3 Các tính chất của tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên
khoảng K và a, b, c thuộc K Khi đó:
a
a
f x dx
f x dx f x dx
( )
b
a
b
a
kf x dx k f x dx k R
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
f x g x x a b f x dx g x dx
m f x M x a b
m b a f x dx M b a
(9) t biến thiên trên đoạn [a; b]
( ) ( ) là một nguyên hàm của
t
a
G t f x dx
f(t) và G(a) = 0
HS theo dõi và ghi chép
HS suy nghĩ và trả lời: ( ) là
b
a
f x dx
diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x) là hàm số liên tục không âm trên đoạn [a; b], trục Ox và
hai đường thẳng x = a, x = b
HS theo dõi và ghi chép
HS suy nghĩ và chứng minh một số công thức, còn lại coi như bài tập
+ Chứng minh (3): Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì kF(x) là một ng.hàm của kf(x) Ta có:
( ) ( ) ( )
b
a
b
a
kf x dx kF b kF a
k F b F a
k f x dx
+ Chứng minh (6): Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có:
F'(x) = f(x) 0, x [a; b] F(x)
đồng biến trên [a; b] Do đó:
b
a
f x dxF b F a do b a
+ Chứng minh (7): Suy ra từ (6) với hàm h(x) =f(x)-g(x)0,x [a; b] + Chứng minh (8): Suy ra từ (7)
DeThiMau.vn
Trang 10Hoạt động của GV Hoạt động của HS
4 áp dụng:
GV nêu đề bài: Tính các tích phân
3
1
1) (x4)dx
4
2
0
2) cotg xdx
2
2
2 3
2
4
3
4)
cos
x dx
cotg x
dx x
5) Chứng minh rằng:
2 2
0
dx x
HS áp dụng các công thức đã học để giải bài tập
3
2
2
2 4
2
1
sin
1 4
x
x
cotgx x
2
3 4
5
4)
11 3
3
cotg x
tgx cotgx
5) Ta có:
2
2
2
x
x
dx
x
0
dx x
Trang 11D - Ch÷a bµi tËp:
Bµi 1 (128) TÝnh c¸c tÝch ph©n:
16
1
)
a xdx
1
1
)
e
e
dx
b
x
1 2
1
3
) dx
c
x
8
3 2 1
1
3
x
Bµi 2(128) TÝnh c¸c tÝch ph©n:
2 2 3
1
2
x
2
1
)
e
x
2
2
) cos 3 cos 5
2
2
) sin 2 sin 7
0
) 1
x
1
)
dx b
x
3
4
2 4
)
dx c
x
) sin 2 2 sin
DeThiMau.vn
Trang 12§Ò bµi §¸p sè
Bµi 4(129) TÝnh c¸c tÝch ph©n:
3
3
2 2
2
0
x
c xe dx
4 2
0
4
Trang 13Đ3: Các phương pháp tính Tích phân
Tiết theo PPCT : 262 -> 265
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm vững các phương pháp tính tích phân: phương pháp đổi biến số (dạng 1
và dạng 2), phương pháp tích phân từng phần; biết cách áp dụng các phương pháp
đó để tính tích phân
II - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
Tính các tích phân sau:
3
2 2
6
)
sin cos
dx
a I
2
0
0
1 cos 2
)
2
x
GV: trên đây là các tích phân có thể
tính được bằng cách dùng định
nghĩa và các tính chất của tích phân,
tuy nhiên với nhiều tích phân phức
tạp thì không thể tính được bằng
cách đó
C - Giảng bài mới:
1 Phương pháp đổi biến số:
GV giới thiệu bài toán
Giả sử phải tính ( ) , với f(x)
b
a
I f x dx
là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Đáp số:
3
3
6 6
)
2
2
HS theo dõi và ghi chép
DeThiMau.vn
Trang 14Hoạt động của GV Hoạt động của HS
a) Đổi biến số dạng 1:
GV nêu định lý
ĐL Nếu:
1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục
trên đoạn [; ]
2) Hàm số hợp f(u(t)) được xác định
trên đoạn [; ]
3) u() = a, u() = b
thì ta có: ( ) '
b
a
f x dx f u t u t dt
GV yêu cầu HS chứng minh định lý
GV nêu quy tắc
* Quy tắc đổi biến số dạng 1
+ Đặt x = u(t), với u(t) là một hàm số có
đạo hàm liên tục trên [; ] và u() = a,
u() = b, f(u(t)) xác định trên [; ].
+ Thay theo cách đặt vào tích phân cần
tính rồi tính tích phân theo biến t
GV lưu ý HS đổi biến phải đổi cận
GV nêu ví dụ và hướng dẫn HS cách
giải
0 1
I x dx
GV: ta cũng có thể đặt x = cost
VD2: Tính 1 2
01
dx I
x
HS theo dõi và ghi chép
HS suy nghĩ và chứng minh
HS đọc SGK(130)
HS theo dõi và ghi chép
HS giải ví dụ dưới sự hướng dẫn của GV
Đặt x = sint ;
2 2
t
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t =
2
Ta có: dx = dsint = costdt
Do đó:
4
Đặt x = tgt ;
2 2
t
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì t =
4
2
1
1 cos
dx dtgt dt tg t dt
t
Trang 151 2
2
0 1
dx I
x
dx I
x x
VD5: Chứng minh rằng
cosn xdx sinn xdx n N
b) Đổi biến số dạng 2:
* Quy tắc đổi biến số dạng 2:
+ Đặt t = v(x) với v(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục
2 2
1 1
tg t
Đặt x = sint ;
2 2
t
Khi x = 0 thì t = 0, khi x = thì t = 1
Ta có: dx = dsint = costdt
2
1 sin
t t
Ta có:
2
1
x x x
2 2
t
6 3
3
tgt t
2
1
t
Do đó:
2
2
3 1
2
1 4
tg t dt
tg t
2
x t
xt x t dx dt
Do đó:
0
2
2
(đpcm)
DeThiMau.vn
Trang 16Hoạt động của GV Hoạt động của HS
+ Biểu thị f(x)dx theo t và dt
Giả sử: f(x)dx = g(t)dt
( )
( ) ( )
v b
v a
I g t dt
GV nêu ví dụ
0
1
x
x x
GV yêu cầu HS tính theo cách khác
(không cần đổi biến mà dùng tính
chất tích phân của hàm số hợp)
VD2: Tính
1 2
3 2 0
5 1
xdx I
x
VD3: Tính
2
1 1 ln
e
dx I
HS theo dõi và ghi chép
HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọn biến mới thích hợp để giải các ví dụ
Đặt t = x2 + x + 1
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1 thì t = 3
Ta có: dt = (2x + 1)dx
1 1
ln ln 3
dt
t
Cách khác:
2
1 2
1
2 1
d x x x
Đặt t = 1 - x2 dt = -2xdx
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1/2 thì t = 3/4
Do đó:
2
1
I
HS tính theo cách khác, coi như bài tập
Đặt t lnx dt dx
x
Khi x =1 thì t = 0, khi x e thì ln 1
2
t e
Do đó: (theo VD3 ở dạng 1)
1 2
2
dt I
t
Trang 172 Phương pháp tích phân từng phần:
GV nêu định lý
ĐL: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo
hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
Hay (*)
GV yêu cầu HS chứng minh định lý
GV nêu ví dụ
1 ln
I x xdx
HS theo dõi và ghi chép
HS suy nghĩ và chứng minh định lý
Ta có:
'
b b a a b
a
b a
u x v x u x v x dx
u x v x v x u x dx
u x v x dx v x u x dx
u x v x dx u x v x v x u x dx
Mà du = u'(x)dx và dv = v'(x)dx nên dễ dàng suy ra công thức (*)
HS áp dụng công thức tích phân từng phần để giải ví dụ
1 ln
5
du dx
v
5 5
1 1 5 4
1 5 5
1
1
1
625 ln 5
5
625 ln 5 625 ln 5
x
x dx x
( ) '( ) [ ( ) ( )] ( ) '( )
b a
u x v x dxu x v x v x u x dx
( ) [ ( ) ( )] ( )
b a
u x dvu x v x v x du
DeThiMau.vn
