Tổng hợp kiến thức Toán lớp 742566

TÍNH CH T CÁC NG TRUNG TUY N, NG PHÂN GIÁC, NG TRUNG TR C, NG CAO C A TAM GIÁC.

H và tên h c sinh: L p 7B

T NG H P KI N TH C TOÁN 7

C NG, TR S H U T – QUY T C “CHUY N V ”

1/ Tóm t t lý thuy t:

 M i s h u t đ u vi t đ c d i d ng phân s a

bv i a, b  Z và b ≠ 0

x và (-x) là hai s đ i nhau Ta có x + (- x) = 0, v i m i x  Q

 V i hai s h u t x = a

m và y = b

m (a, b, m  Z, m ≠ 0), ta có:

x + y = a

m



x - y = a

m



Trong quá trình th c hi n c ng ho c tr các s h u t , ta có th vi t các s h u t d i

d ng phân s có cùng m u s

 Quy t c chuy n v : Khi chuy n m t s h ng t v này sang v kia c a m t đ ng

th c, ta ph i đ i d u s h ng đó

V i m i x, y  Q : x + y = z  x = z – y

NHÂN, CHIA S H U T

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Phép nhân, chia các s h u t t ng t nh phép nhân các phân s

 V i hai s h u t x = a

b và y = c

d (a,b,c,d  Z; b.d ≠ 0), ta có:

x.y = a

b.c

d=a.c b.d

 V i hai s h u t x = a

b và y = c

d (a,b,c,d  Z; b.d.c ≠ 0 ), ta có:

x:y = a

b:c

d =a

b.d

c = a.d b.c

 Th ng c a hai s h u t x và y đ c g i là t s c a hai s x và y, kí hi u x

y hay x : y

 Chú ý :  x.0 = 0.x = 0  x.(y  z) = x.y  x.z

 (m  n) : x = m : x  n : x  x : (y.z) = (x : y) : z

 x (y : z) = (x.y) : z

2

GIÁ TR TUY T I C A M T S H U T

L Y TH A C A M T S H U T

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Giá tr tuy t đ i c a m t s h u t x, kí hi u là x, là kho ng cách t đi m x đ n

đi m 0 trên tr c s





 



 x+ y= 0  x = 0 và y = 0 (L u ý đây dùng « và » ch không dùng « ho c »

A= m : * N u m < 0 thì bi u th c đã cho không có ngh a

* N u m  0 thì













m A

m A

 xn

= x.x x… x.x; x  Q, n  N, n> 1

n th a s

 xm.xn = xm+n ; (xm)n = (xn)m = xm.n ; xm : xn =

m n

x

x =xm-n.

 (x.y)n = xn.yn; n

n n

y

x y

x  











(y ≠ 0);

 x –n

= 1n

x (x ≠ 0)

 Quy c x1 = x ; x0 = 1 x ≠ 0

LU TH A C A M T S H U T

I Tóm t t lý thuy t:

1 Lu th a v i s m t nhiên

Lu th a b c n a m t s h u t , kí hi u xn

, là tích c a n th a s x (n là s t

nhiên l n h n 1): xn

= x.x.x.x x ( x  Q, n  N, n > 1) Quy c: x1

= x; x0 = 1; (x  0)

Khi vi t s h u t x d i d ng aa b, Z b, 0

n n

n

  

 

 

2 Tích và th ng c a hai lu th a cùng c s :

.

x x  x  xm : xn  xm n (x  0, mn) a) Khi nhâân hai lu th a cùng c s , ta gi nguyên c s và c ng hai s m

b) Khi chia hai lu th a cùng c s khác 0, ta gi nguyên c s và l y s m

c a lu th a b chia tr đđi s m c a lu th a chia

3 Lu th a c a lu th a

( xm )n  xm n.

Khi tính lu th a c a m t lu th a, ta gi nguyên c s và nhân hai s m

4 Lu th a c a m t tích - lu th a c a m t th ng

n

n

Lu th a c a m t tích b ng tích các l y th a

Lu th a c a m t th ng b ng th ng các l y th a

Tóm t t các công th c v lu th a

x , y  Q; x a

b

 ; y c

d



1 Nhân hai l y th a cùng c s

m n a m a n a m n

x x



2 Chia hai l y th a cùng c s

xm : xn = (

b

a

)m : (

b

a

)n =(

b

a

)m - n (m≥n)

3 L y th a c a m t tích

(x y)m = xm ym

4 L y th a c a m t th ng

(x : y)m = xm : ym

5 L y th a c a m t l y th a

(xm)n = xm.n

6 L y th a v i s m âm

xn = n

x

1

* Quy c: a1

= a; a0 = 1

4

T L TH C, TÍNH CH T DÃY T S B NG NHAU

1/ Tóm t t lý thuy t:

 T l th c là m t đ ng th c gi a hai t s : a c

bd ho c a:b = c:d

a, d g i là ngo i t b, c g i là trung t

 N u có đ ng th c ad = bc thì ta có th l p đ c 4 t l th c :

;

 Tính ch t: a c e a c e a c e c a

 N u có a b c

3 4 5 thì ta nói a, b, c t l v i ba s 3; 4; 5

 Mu n tìm m t thành ph n ch a bi t c a t l th c, ta l p tích theo đ ng chéo r i

chia cho thành ph n còn l i:

T t l th c x a x m.a

m   b b 

S VÔ T , KHÁI NI M C N B C HAI, S TH C

1/ Tóm t t lý thuy t

 S vô t là s ch vi t đ c d i d ng s th p phân vô h n không tu n hoàn

T p h p các s vô t kí hi u là I

S 0 không ph i là s vô t

 C n b c hai c a m t s a không âm là m t s x không âm sao cho x2

= a

Ta kí hi u c n b c hai c a a là a

M i s th c d ng a đ u có hai c n b c hai là a và - a

S 0 có đúng m t c n b c hai là 0 S âm không có c n b c hai

 S th c (R) bao g m s h u t (Q) và s vô t (I)

 M t s giá tr c n đ c bi t c n chú ý:

 S th c có các tính ch t hoàn toàn gi ng tính ch t c a s h u t (giao hoán, k t h p,

phân ph i, )

 Vì các đi m bi u di n s th c đã l p d y tr c s nên tr c s đ c g i là tr c s th c

I L NG T L THU N

 Khái ni m: N u đ i l ng y liên h v i đ i l ng x theo công th c: y = k.x (v i k là

h ng s khác 0) thì ta nói y t l thu n v i x theo h s t l k

 Tính ch t: N u hai đ i l ng t l thu n v i nhau thì

T s hai giá tr t ng ng c a chúng không đ i ( 1 2 3

y

y y

x  x  x  )

T s hai giá tr b t k c a đ i l ng này b ng t s hai giá tr t ng ng c a đ i

l ng kia ( 1 1

x  y ; 1 1

x y

x  y ; )

I L NG T L NGH CH

 Khái ni m: N u đ i l ng y liên h v i đ i l ng x theo công th c a

y x

 hay y.x=

a (a là h ng s khác 0) thì ta nói y t l ngh ch v i x theo h s t l a

 Tính ch t: N u hai đ i l ng t l ngh ch v i nhau thì:

Tích hai giá tr t ng ng c a chúng luôn không đ i (b ng h s t l )

(y x1. 1  y x2. 2  )

T s hai giá tr b t k c a đ i l ng này b ng ngh ch đ o c a t s hai giá

tr t ng ng c a đ i l ng kia ( 1 2

x y

x  x ; )

HÀM S , TH HÀM S y = ax, (a  0)

1/ Tóm t t lý thuy t:

 N u đ i l ng y ph thu c vào đ i l ng thay đ i x sao cho v i m i giá tr c a x ta

luôn xác đ nh đ c ch m t giá tr t ng ng c a y thì y đ c g i là hàm s c a x và x

g i là bi n s (g i t t là bi n)

 N u x thay đ i mà y không thay đ i thì y đ c g i là hàm s h ng (hàm h ng)

 V i m i x1; x2  R và x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm s y = f(x) đ c g i là hàm

đ ng bi n

 V i m i x1; x2  R và x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm s y = f(x) đ c g i là hàm

ngh ch bi n

 Hàm s y = ax (a  0) đ c g i là đ ng bi n trên R n u a > 0 và ngh ch bi n trên R

n u a < 0

 T p h p t t c các đi m (x, y) th a mãn h th c y = f(x) thì đ c g i là đ th c a

hàm s y = f(x)

 th hàm s y = f(x) = ax (a  0) là m t đ ng th ng đi qua g c t a đ và đi m (1;

a)

 v đ th hàm s y = ax, ta ch c n v m t đ ng th ng đi qua hai đi m là O(0;0)

và A(1; a)

6

TAM GIÁC B NG NHAU

CÁC TR NG H P B NG NHAU C A HAI TAM GIÁC

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Hai tam giác b ng nhau là hai tam giác có các c nh t ng ng b ng nhau và các góc

t ng ng b ng nhau

 ABC = A’B’C’  AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’; Aˆ  Aˆ' ;Bˆ Bˆ' ;Cˆ Cˆ'

A'

C B

A

N u ABC và MNP có: AB = MN; AC = MP; BC=NP thì ABC=MNP (c-c-c)

A

M

 N u ABC và MNP có : AB = MN; Bˆ Nˆ; BC = NP thì ABC =MNP (c-g-c)

M

C B

A

+ N u ABC và MNP có : Aˆ Mˆ ; AB = MN ; Bˆ  Nˆ thì ABC =MNP (g-c-g)

M

C B

A

TH NG KÊ

A Tóm t t lý thuy t

1 B ng th ng kê s li u

- Khi quan tâm đ n m t v n đ , ng i ta quan sát , đo đ c, ghi chép l i các s li u

v đ i t ng quan tâm đ l p nên các b ng s li u th ng kê

2 D u hi u , đ n v đi u tra

- V n đ mà ng i đi u tra nghiên c u , quan tâm đ c g i là d u hi u đi u tra

- M i đ n v đ c quan sát đo đ c là m t đ n v đi u tra

- M i đ n v đi u tra cho t ng ng m t s li u là m t giá tr c a d u hi u

- T p h p các đ n v đi u tra cho t ng ng m t dãy giá tr c a d u hi u

3 T n s c a m i giá tr , b ng t n s

- S l n xu t hi n c a giá tr trong dãy giá tr c a d u hi u là t n s c a giá tr đó

- B ng kê các giá tr khác nhau c a dãy và các t n s t ng nlà b ng t n s

4 S trung bình c ng , m t c a d u hi u

- Là giá tr trung bình c a d u hi u

- M t c a d u hi u là giá tr có t n s l n nh t trong b ng t n s

1/ Tóm t t lý thuy t:

 tính giá tr c a m t bi u th c đ i s t i nh ng giá tr cho tr c c a các bi n,ta

thay các giá tr cho tr c đó vào bi u th c r i th c hi n các phép tính

 n th c là bi u th c đ i s ch g m tích c a m t s v i các bi n, mà m i bi n đã

đ c nâng lên l y th a v i s m nguyên d ng (m i bi n ch đ c vi t m t l n)

 B c c a đ n th c có h s khác 0 là t ng s m c a t t c các bi n có trong đ n th c

đó Mu n xác đ nh b c c a m t đ n th c, tr c h t ta thu g n đ n th c đó

 S 0 là đ n th c không có b c M i s th c đ c coi là m t đ n th c

 n th c đ ng d ng là hai đ n th c có h s khác 0 và có cùng ph n bi n M i s

th c đ u là các đ n th c đ ng d ng v i nhau

 c ng (tr ) các đ n th c đ ng d ng, ta c ng (tr ) các h s v i nhau và gi

nguyên ph n bi n

8

QUAN H GI A GÓC, C NH, NG XIÊN, HÌNH CHI U

TRONG TAM GIÁC, B T NG TH C TAM GIÁC

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Trong m t tam giác: Góc đ i di n v i c nh l n h n là góc l n h n

C nh đ i di n v i góc l n h n là c nh l n h n

Hai góc b ng nhau thì hai c nh đ i di n b ng nhau và ng c

l i hai c nh b ng nhau thì hai góc đ i di n b ng nhau

 Trong các đ ng xiên, đ ng vuông góc k t m t đi m n m ngoài m t đ ng

th ng đ n đ ng th ng đó, đ ng vuông góc là đ ng ng n nh t ng xiên nào có hình chi u l n h n thì l n h n, đ ng xiên nào l n h n thì hình chi u s l n h n, n u

hai đ ng xiên b ng nhau thì hai hình chi u b ng nhau và ng c l i hai hình chi u

b ng nhau thì hai đ ng xiên b ng nhau

 Trong m t tam giác, b t kì c nh nào c ng l n h n hi u và nh h n t ng c a hai c nh

còn l i

 ABC luôn có: AB – AC < BC < AB + AC

AB – BC < AC < AB + BC

AC – BC < AB < AC + BC

A TH C, A TH C M T BI N, C NG TR A TH C

NGHI M C A A TH C M T BI N

1/ Tóm t t lý thuy t:

 a th c là m t s ho c m t đ n th c ho c m t t ng (hi u) c a hai hay nhi u đ n

th c M i đ n th c trong m t t ng đ c g i là m t h ng t c a đa th c đó

 B c c a đa th c là b c c a h ng t có b c cao nh t trong h ng t d ng thu g n

 Mu n c ng hai đa th c, ta vi t liên ti p các h ng t c a hai đa th c cùng v i d u c a

chúng r i thu g n các h ng t đ ng d ng (n u có)

 Mu n tr hai đ n th c, ta vi t các h ng t c a đa th c th nh t cùng v i d u c a

chúng r i vi t ti p các h ng t c a đa th c th hai v i d u ng c l i Sau đó thu g n

các h ng t đ ng d ng c a hai đa th c (n u có)

 a th c m t bi n là t ng c a các đ n th c c a cùng m t bi n Do đó m i m t s

c ng đ c coi là đa th c c a cùng m t bi n

 B c c a đa th c m t bi n khác đa th c không (sau khi đã thu g n) là s m l n nh t

c a bi n có trong đa th c đó

 H s cao nh t c a đa th c là h s đi cùng ph n bi n có s m l n nh t Hêï s t

do là s h ng không ch a bi n

 Ng i ta th ng dùng các ch cái in hoa kèm theo c p d u ngo c (trong đó có bi n)

đ đ t tên cho đa th c m t bi n

Ví d : A(x) = 3x3 + 5x + 1 Do đó giá tr c a đa th c t i x = -2 là A(-2)

 N u t i x = a, đa th c P(x) có giá tr b ng 0 thì ta nói a (ho c x = a) là m t nghi m

c a đa th c đó a th c b c n có không quá n nghi m

10

HAI NG TH NG VUƠNG GĨC

1/ Tĩm t t lý thuy t

 Hai đ ng th ng c t nhau t o thành các gĩc vuơng là hai đ ng th ng vuơng gĩc

 Kí hi u xx’  yy’ (xem Hình 2.1)

 Tính ch t: “Cĩ m t và ch m t đ ng th ng đi qua M và vuơng gĩc v i a”

(xem hình 2.2)

 ng th ng vuơng gĩc t i trung đi m c a đo n th ng thì đ ng th ng đĩ

đ c g i là đ ng trung tr c c a đo n th ng y (xem hình 2.3)

Hình 2.1

y' y

x'

x

a

Hình 2 2

M

a

Hình 2 3

Đ ươ øng t hẳn g a là đ ươ øn g t ru ng t rư ïc cu ûa AB

HAI NG TH NG SONG SONG

1/ Tĩm t t lý thuy t:

 Hai đ ng th ng song song là hai đ ng th ng khơng cĩ đi m chung

+ Hai đ ng th ng phân bi t thì ho c c t nhau ho c song song

 Tính ch t: “N u đ ng th ng c c t hai đ ng th ng a, b và trong các gĩc

t o thành cĩ m t c p gĩc so le trong b ng nhau (ho c m t c p gĩc đ ng v b ng

nhau) thì a và b song song v i nhau” Kí hi u a // b

 T tính ch t trên ta c ng suy ra đ c r ng: N u đ ng th ng c c t hai đ ng

th ng a, b và trong các gĩc t o thành cĩ m t c p gĩc so le ngồi b ng nhau (ho c

m t c p gĩc trong cùng phía bù nhau ho c m t c p gĩc ngồi cùng phía bù nhau) thì a và b song song v i nhau

1 4

4 1

3

B

b c

Ne áu A 1 +B 4 = 180 hoặc A 4 +B 1 =180 thì a//b

Ne áu A 1 =  B 3 thì a//b

c

b

a A

B

3

1

TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC U VÀ NH LÍ PITAGO

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Tam giác cân là tam giác có hai c nh b ng nhau, hai c nh b ng nhau g i là hai c nh

bên, c nh còn l i g i là c nh đáy

 ABC có AB = AC   ABC cân t i A

 Trong m t tam giác cân, hai góc đáy b ng nhau

 ABC cân t i A  B C



ˆ

 Mu n ch ng minh m t tam giác là tam giác cân, ta c n ch ng minh tam giác đó có

hai c nh b ng nhau ho c hai góc b ng nhau

 Tam giác đ u là tam giác có ba c nh b ng nhau

 Trong m t tam giác đ u, ba góc b ng nhau và b ng 600

 ABC có AB = AC=BC   ABC là tam giác đ u

 ABC là tam giác đ u  0

60 ˆ

ˆ BC 

 Mu n ch ng minh m t tam giác là tam giác đ u, ta c n ch ng minh:

- Tam giác có ba c nh b ng nhau

- Ho c ch ng minh tam giác có ba góc b ng nhau

- Ho c ch ng minh tam giác cân có 1 góc b ng 600

- (m t s ph ng pháp khác s đ c nghiên c u sau)

 nh lí Pitago thu n: Trong m t tam giác vuông, bình ph ng đ dài c nh huy n

b ng t ng bình ph ng c a hai c nh góc vuông

 ABC vuông t i A  BC2

= AC2 + AB2

 nh lí Pitago đ o: N u m t tam giác có bình ph ng c a m t c nh b ng t ng bình

ph ng c a hai c nh còn l i thì tam giác đó là tam giác vuông

N u  ABC có BC2

= AC2 + AB2 ho c AC2 = BC2 + AB2

ho c AB2 = AC2 + BC2 thì  ABC vuông

12

CÁC TR NG H P B NG NHAU C A TAM GIÁC VUÔNG

1/ Tóm t t lý thuy t:

 Tr ng h p 1: N u hai c nh góc vuông c a tam giác vuông này, l n l t b ng hai

c nh góc vuông c a tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó b ng nhau theo

tr ng h p c-g-c

N

C A

B

N u  ABC và  MNP có Aˆ Mˆ =90 0

; AB=MN; AC = MP Thì  ABC =  MNP (c-g-c)

 Tr ng h p 2: N u m t c nh góc vuông và m t góc nh n k c nh y c a tam giác

vuông này, b ng m t c nh góc vuông và m t góc nh n k c nh y c a tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó b ng nhau theo tr ng h p g-c-g

N

C A

B

N u  ABC và  MNP có Aˆ Mˆ =90 0; AC = MP; Cˆ Pˆ

Thì  ABC =  MNP (g-c-g)

 Tr ng h p 3: N u c nh huy n và m t góc nh n c a tam giác vuông này, b ng

c nh huy n và m t góc nh n c a tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó b ng nhau theo tr ng h p g-c-g

N

C A

B

N u  ABC và  MNP có AˆMˆ =90 0; BC = NP; Cˆ  Pˆ Thì  ABC =  MNP (g-c-g)

 Tr ng h p 4: N u c nh huy n và m t c nh góc vuông c a tam giác vuông này,

b ng c nh huy n và m t c nh góc vuông c a tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó b ng nhau theo tr ng h p c-c-c

N

C A

B

N u  ABC và  MNP có Aˆ Mˆ =90 0; BC = NP; AB = MN

Thì  ABC =  MNP (c-c-c)

TÍNH CH T CÁC NG TRUNG TUY N, NG PHÂN GIÁC,

NG TRUNG TR C, NG CAO C A TAM GIÁC

1/ Tóm t t lý thuy t:

 ng trung tuy n là đ ng xu t phát t đ nh và đi qua trung đi m c nh đ i

di n c a tam giác

G N P

A

B

A

AM là trung tuy n c a  ABC  MB = MC

 M t tam giác có 3 đ ng trung tuy n Ba đ ng trung tuy n c a tam giác đ ng quy

t i m t đi m i m đó cách đ nh b ng 2/3 đ dài đ ng trung tuy n đi qua đ nh đó

 Giao đi m c a ba đ ng trung tuy n g i là tr ng tâm c a tam giác

 Trong m t tam giác vuông, đ ng trung tuy n ng v i c nh huy n b ng m t n a

c nh huy n

 ng phân giác c a tam giác là đ ng th ng xu t phát t m t đ nh và chia góc có

đ nh đó ra hai ph n b ng nhau

C B

A

K

J

I O

B

A

B

A

 M t tam giác có ba đ ng phân giác Ba đ ng phân giác c a tam giác cùng đi qua

m t đi m i m đó cách đ u ba c nh c a tam giác (giao đi m đó là tâm c a đ ng

tròn ti p xúc v i ba c nh c a tam giác)

+ Trong m t tam giác cân, đ ng phân giác k t đ nh đ ng th i là đ ng trung tuy n

ng v i c nh đáy

 ng trung tr c c a đo n th ng là đ ng vuông góc t i trung đi m c a đo n

th ng đó

 ng trung tr c c a tam giác là đ ng trung tr c c a c nh tam giác M t tam

giác có ba đ ng trung tr c Ba đ ng trung tr c c a tam giác cùng đi qua m t

đi m i m đó cách đ u ba đ nh c a tam giác