Khi nào thì đẳng thức xảy ra... + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Trang 1Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC
1 Định nghĩa 1
Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0 Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a)
a > b a-b > 0 (ba<0)
a b a-b 0 (ba≤0)
2 Định nghĩa 2:
Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng
thức
+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;
+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;
+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;
+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d" Nếu
"a>b c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"
"a>b c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"
3 Các tính chất
a,b,c,dR ta có :
1) a > b a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)
a > b+ c ac > b (chuyển vế) 3) a > b ac bc (nhân hai vế cùng 1 số)
neáu c 0
ac bc neáu c 0
4) a c b d
d c
b a
d c
b a
0 0
6) Với n nguyên dương: a > b a2n+1 > b2n+1
a > b>0 a2n > b2n
7) Nếu b>0 thì
a>b a b; a>b 3 a 3b
8) a c (bắc cầu)
c b
b a
Trang 2Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-9) a > b
0 ab neáu b
1 a 1
0 ab neáu a
1
b
1
10) a > b > 0 an > bn ( n N )
11) a > b > 0 n a n b ( n N )
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều
Trang 3Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp chung:
Một số hằng đảng thức:
(ab)2= a2 2ab +b2
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(ab)3= a3 3a2b+3ab2 b3
a2 b2 = (ab)(a+b)
a3b3= (ab)(a2 +ab +b2)
a3b3= (a+b)(a2 ab +b2)
Ví dụ: Chứng minh rằng
a) Nếu a,b 0 thì a+b 2 ab
b) Chứng minh a2+b2-ab 0 Khi nào thì đẳng thức xảy ra
Giải
a) Cách 1: ta có a+b2 ab a+b-2 ab 0
( a b )2 0 đúng với mọi a,b 0 Dấu '=' xảy ra khi a =
b
Cách 2: ta đã biết
( a b )2 0 b a, 0
a+b-2 ab 0 a+b 2 ab đpcm
b) Ta có: a2+b2-ab =a2 b2 b2 ab = (a- +
4
3 4
) 2
b
R b a, 0 4
dấu '=' xảy ra đpcm
0
0 3
0 2
a b
b a
Trang 4Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-4 Bất đẳng thức Côsi
a/ Định lý: Nếu a 0, b 0 thì ab ab hay a+b
Dấu '=' xảy ra a=b
b/ Các hệ quả:
b.1 Nế a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max a = b
b.2 Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là min a = b
b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an 0 thì: n
n
n a a a a n
a a
a
.
3 2 1 2
b.4 a 1 2, a > 0
a
* Ý nghĩa hình học:
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
c Ví dụ:
Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0 Chứng minh rằng 2
a
b b a
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương , 0 ,ta có:
a
b b a
2 2 2 => đpcm
a
b b
a a
b b
a a
b b a
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì
(a+b)(ab+1) 4ab
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:
a+b 2 ab (1)
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:
ab + 1 2 ab (2)
Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm
5 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Định nghĩa: |x| = ;
0 x neáu x
-0 x neáu x
,a bR ta có
, dấu '=' xảy ra a.b 0
b a b
Trang 5Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016 , dấu '=' xảy ra khi a.b
b a b
a.b 0
b a b
a.b
b a b
Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|
Giải
Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm
6 B ất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a 2+c2)(b2+d2)
abcd (a2 c2)(b2 d2)
Chứng minh:
Ta có (ab+cd)2 (a 2+c2)(b2+d2)
a2b2+c2d2+2abcd a 2b2+a2d2+b2c2+c2d2
a2d2+b2c2-2abcd 0
(ad-bc)20 đúng a,b,c,dR=> đpcm
Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng
2 xy 2
Giải
Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có:
(1.x+1.y)2(12+12)(x2+y2)
(x+y)22 2 x y 2
=> đpcm
Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2
5 4
Giải
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Với mọi số thực x, y, z Chứng minh rằng: 2 2 2
2xyzx y z
HD: Đưa về hằng đẳng thức
Giải
Trang 6Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
2
2
2 2
2
a
a a
3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1 với 0<x<1
1
x x
Vì 1x >0, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:
1
1 x
y= 1+
1
2
vậy y= +1x
1
2
y= +1x 4 Dấu "=" xảy ra
1
1 x
(0;1)
x
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +1x bằng 4 khi x =
1
1 x
1 2
BÀI TẬP
1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý Chứng minh rằng:
a) x4y4 x y3 xy3
Giải
3
Trang 7Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
x x yx
b) x24y23z2 142x12y6z
Giải
x z x y z
b a
Giải
3 3
2
( )
a a b b
đpcm
a b a b
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a b 2 ab (1)
Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 1 1, : 1 1 2 1 (2)
a b a b ab
Lấy (1) nhân (2) ta được: (a b)(1 1) 4 1 1 4 đpcm
4
a b c d
abcd
Giải
4
4
2
2
4
a b c d
abcd
a b c d a b c d
Giải
Trang 8Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:
(1)
4
4
a b c d abcd
Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương 1 1 1 1, , , ta được;
a b c d
(2)
4
4
a b c d abcd
Nhân (1) với (2) ta được: (a b c d)(1 1 1 1) 16
a b c d a b c d
g) a2b 1 2a
b
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b h) (ab b)( c c)( a)8abc
Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a
a b ab ab
Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho (ab)và 2 ab
a b c a b c
Giải
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:
(1)
3
3
a b c abcd
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương 1 1 1, , ta được;
a b c
(2)
3
3
a b c abc
Nhân (1) với (2) ta được: (a b c)(1 1 1) 9
a b c a b c
2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) Với x>3 Chứng minh 4 2
3
x x
HD: x 4 2 x3Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3 b) Với 2 y2 1 Chứng minh |x.y|≤3
Trang 9Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho ,
2
4
x y2 9 c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1 Chứng minh: b+c 16abc
a+(b+c) 2 a b( c) 1 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được đpcm
d) Cho a, b, c, d 0 Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1 e) Cho a,b,c >0 CMR : (1 )(1 )(1 )8
a
c c
b b a
HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,a b c
f) Với a,b,c,d không âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd.
HD:
g) Cho a,b,c > 0 CMR : ca b 2 ab
c
HD:
h) Cho a,b,c > 0 CMR : (a+b+c)( ) 9
c b a
1 1
HD:
k) Cho a,b > 0 CMR : (a+b)(1 1) 4
ab
HD:
l) Cho a,b,c > 0 CMR :
4 2
2
a bc
ab c
HD:
4
2
m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1 CMR : (1 1)(11)(11)64
c b a HD:
n) Cho a > 1 CMR :
2
a
HD: bình phươn 2 vế
3/ Chứng minh bất đẳng thức
Trang 10Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1
b a
a b c abbcca, a,b,c
c) 2 2 Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?
a b ab 0, a b,
d) (a+b+c)2 3(a 2+b2+c2) với mọi a,b,c
e) a2b+ab2a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?
4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 3 x 5 Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?
5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau
x
3
1
1
x x
2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 9 với 0<x<1
1
x x
Giải
25 , x (0;1)
y
y
Đẳng thức xảy ra
1
2 (0;1)
x
x
3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 x4với 0≤ x ≤ 4
Giải
12 3
x x
x
Trang 11Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
I CMR
1 a2 – 3a + 3 > 0 , aR
2 a2 + b2 2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR
3 a2 + b2 + 4 ab + 2(a +b) , a, bR
4 a2+ b2 + c2 + d2 + e2 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR
5 4 2 1 Suy ra , a, bR
a
a R
6 2 2 2 2 , a, b, cR
a b c a b c
7 a3 + b3 ab(a+b) , a, b 0
8 a3b + ab3 a4 + b4 , a, bR
9 a4 + 16 2a3 + 8a , aR
10 (a b c )( d) ac bd , a, b, c, d > 0
11 a b a b , a, b > 0
b a
12 2 2 3 , a, bR
2
a ab b a b
13 1 a 1 a 1 , a 1
14 a2 b2 c2 a b c , a, b, c > 0
15 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR
16 x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR Hd: BĐT
5 3
neáu x 1
II.CMR
1 a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR:
i Nếu a 1 a c ii Nếu
a thì
a thì
b
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR: 1 a b c 2
a b b c c a
2 Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:
a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)
b abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0
Trang 12Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-3 Cho a + b = 1 CMR: a2 + b2 1
2
4 Cho x + y + z = 1 CMR: 2 2 2 1
3
x y z
5 CMR: a x 2 x 5 7 , xR
b x 1 y 2 x y 3 6, x, yR
III.CMR
1 4 (a, b , c, d 0)
4
a b c d
abcd
2 3 (a, b , c 0)
3
a b c
abc
3 1 1 1 9 (a, b , c > 0)
a b c a b c
4 a b c 1 1 1 (a, b , c > 0)
bccaab a b c
5 ab bc ca a b c (a, b , c > 0)
6 2 2 1 1 (x , y > 0)
x y
7 (a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)
8 1 a 1 b 1 c 8 (a, b , c > 0)
9 (a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0)
10 (1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c 0
11 1 1 1 1 9 với x+y =1 và x , y > 0
12 (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0
13 a b 1 b a 1 ab a, b 1
14 4a 1 4b 1 4c 1 5 với a + b + c = 1 và a, b, c -1
4
IV.CMR:
1 (ab +by)2 (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu bằng xảy ra khi nào?
2 2x3y 13 với x2 + y2 = 1
3 3x2y 2 với 9x2 + 4y2 = 1
4 2x3y 35 với 2x2 + 3y2 = 7
Trang 13Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
5 2 2 1 biết 4x + 6y = 1 Dấu bằng xảy ra khi nào?
8
x y
6 2 2 9 biết 4x - 3y = 3 Dấu bằng xảy ra khi nào?
7
x y
V.Tìm GTLN của hàm số sau:
1 y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7 (maxy = 36 khi x = 1)
2 y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10
2 x 3
3 y = 4 với x 4 (maxy = khi x = 8)
2
x
x
8
4 y = x + 8 x 2 (maxy = 4 khi x = 2)
VI.Tìm GTNN của hàm số sau:
1 y = 5 8 với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)
x
x
2 y = 9 với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)
2
x
x
3 y = 2 với x 0 (miny = 6 khi x = )
2
9
x
x
4 y = x4 21 với x 0 (miny = 2 khi x = 1)
x
5 y = (4 x)(1 x) với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)
x
6 y = x 2 x 4 (miny = 2 khi 2 < x < 4)
VII Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1
Trang 14Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ Cho a,b,c,d > 0
a) nếu a < b thì < a
b
a + c
b + c b) nếu a > b thì > a
b
a + c
b + c c) 1 < a < 2
a + b +
b
b + c +
c
c + a
a + b + c +
b + c
b + c + d +
c + d
c + d + a +
d + a
d + a + b 2/ Cho < và b,d > 0, a Chứng minh rằng < <
b
c
d
a b
a + c
b + d
c d 3/ Chứng minh rằng a , b ,c
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a
c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0
e) 2abc a2 + b2c2 f) (a + b)2≥ 4ab
g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0
k) a ≥ l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)
b +
b
a a + b m) a2 n) ( )2
1 + a4
1 2
a + b 2
a2 + b2 2 o) a2 + b2 + c2 ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac +
3
a + b + c 3
a2 4 2bc
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac
t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)3 2
4 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2aa b
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
4/ Cho a ,b [– 1;1] Chứng minh rằng : |a + b| |1 + ab|
a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x ≥
1 + x
y
1 + y
Trang 15Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có |a – b| ≤ +
1 + |a – b|
|a|
1 + |a|
|b|
1 + |b|
5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2 Chứng minh rằng : ab ≥ a + b
6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5+ x – x + 1 > 0
7/ Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca 1
8/ Cho 0 < a b c Chứng minh rằng : b(1 ) + (a + c) ( )(a + c)
a +
1 c
1 b
1
a +
1 c 9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab Chứng minh rằng c + a ≥
c2 + a2
c + b c2 + b2 10/ Cho a + b + c 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 – 3abc ≥ 0
a + b + c 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :
a3 + b3 + abc
1 b3 + c3 + abc
1 c3 + a3 + abc
1 abc 12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2
13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1 ≥
1 + a2 +
1
1 + b2
2
1 + ab b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 Chứng minh rằng : 1 ≥
1 + a3 +
1
1 + b3 +
1
1 + c3 3
1 + abc
c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :
≥
1
1 + 4x +
1
1 + 4y
2
1 + 2x + y 14/ a,b,c,d chứng minh rằng
a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2
a + b + c +
b
a + b + d +
c
b + c + d +
d
a + c + d 15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
b +
b
c +
c
a –
a
c –
c
b –
b a b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Trang 16Nguyễn Văn B 4:38:06 PM
9/26/2016
-*d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
*e) (a + b + c)2 9bc với a b c
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc
16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3
17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a b c
Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc
19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : aA + bB + cC ≥
a + b + c
3 20*/ Cho a ,b ,c [0;2] Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 4
21/ Chứng minh rằng : + + + …+ 1 < 1 n N
1.2
1 2.3
1 3.4
1 n(n + 1) 22/ Chứng minh rằng : + + + …+ 1 < 1 n N n ≥ 2
2!
2 3!
3 4!
n – 1 n!
23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :
a + b + c
abc 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng :
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)
1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :
a) a ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0
b +
b a
1 b c) 2a2 + 1 ≥ 1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b)
4a2 + 1
e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab)2 h) a2
a4 + 1
1 2
a +
1 b
4
a + b
1
a +
1 b
1 c
2
a + b
2
b + c 2
c + a
