PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN.. Tính giá trị các biểu thức: a.. Cho tam giác ABC vuông tại A.. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.. Tam giác
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1
Tính giá trị các biểu thức:
a 28 10 3 4 3 7 ; b 2 27 7 5
10 7 2
Câu 2
Giải phương trình:
a x 2 2 x 1 3
b 2
13 50 4 3
x x x
Câu 3
a Cho A5n 226.5n82n 1 ; với nN Chứng minh: chia hết cho 59.A
b Cho a b; là hai số thực dương thỏa mãn: a b 6 và 8 3 18 21
3
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của B
c Tìm các số nguyên thỏa mãn: n n2 2014 là số chính phương
Câu 4
Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, AC Biết độ dài BN 2.sin ; CM 2 cos với 0o 90o
Tính độ dài đoạn MN
Câu 5
Tam giác ABC có đường cao CH, phân giác AD, trung tuyến BM gặp nhau tại điểm O Kẻ MN vuông góc với HC tại N Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại A, đường thẳng đó cắt BC tại P Chứng minh:
BH AB
b AB.sinPAB BC.sinHCB
Hết./.
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 2PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HS GIỎI CẤP HUYỆN V1
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
a 28 10 3 4 3 7 25 2.5 3 3 4 2.2 3 3
5 3 2 3 7
0,5 0,5
1
b
2 27 7 5 2 54 14 5 49 2.7 5 5 7 5
1
2,0
a
ĐK: x 1:
2
x x x x x
HS lập luận, đối chiếu ĐK tìm được x 3
1,0
2
b
ĐK:x 3
2 2
13 50 4 3 14 49 3 2.2 3 4 0
7 0
3 2 0
x
x
0,75
1,75
2
59
(64 5)
5 26.5 8 25.5 26.5 64 8 51.5 8.64 59.5 8.64 8.5 59.5 8.(64 5 ) 59
A
A
0,25
0, 5
b
Áp dụng BĐT Côsi:
.6 2 2 2 4 2.6 2.7 30
, HS lập luận: Dấu “=” xẩy ra 30
Min
0,25
0,25
0,25
3
c
Đặt: n2 2014 p2(psố nguyên) (p n p )( n) 2014 (1)
Xét tổng: (p n) (p n ) 2p (Chẵn)
+ Nếu: (pn) chẵn thì (p n ) chẵn
Vế trái của (1) chia hết cho 4
Mà Vế phải của (1): 2014 không chia hết cho 4 (*)
+ Nếu (pn) lẻ thì (p n ) lẻ
Vế trái của (1) không chia hết cho 2
Mà vế phải của (1): 2014 chia hết cho 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn
0,25
0,25
2,25
2,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Áp ụng định lý Pitago trong tam giác:
MAC, NAB ta có:
BN AN AB
4(sin cos ) 5(AN AM ) 5.MN
HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: 2 2 = 1
sin cos
để tính được 2 5
5
MN
0,5
0,5
0,5
O
0,25
a
MN // AB (Vì MN, AB cùng vuông góc CH): MN MO (Theo
BH OB
Talet) (1)
AD phân giác BACnên AO là phân giác BAM MO MA (2)
OB BA
Từ (1) và (2): NM AM
BH AB
0,25
0,25
0,25
5
b
PA AC nên: PABBAC 90o sinPABcosBAC= AH
AC
Trong tam giác vuông BHC: sinHCB BH
BC
sin
sin
PAB AH BC
AC BH HCB
Từ câu a
BH AB BH AB BH AB AC AB
Từ (3) và (4):
sin
sin
PAB AH BC BH BC BC
AB PAB BC HCB
AC BH AB BH AB
0, 5
0,25
0,25
0, 5
1,5
2,5
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa
N P
D
H
M A
B
C
B
A
C