Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E v tia FN cắt cạnh AD tại K.. Cho phép thực hiện các thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề nhau bất kỳ định nghĩa hai đỉnh liên tiếp
Trang 1
!"# $ !"%
Thời gian l m b i: 150 phút
1, Phân tích đa thức sau th nh nhân tử: (x2 3x + 2)2 4x + 2
2, Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
1, Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1 12 1 12
2, Cho a, b, c > 0 thỏa m7n: ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:
1
a b 1 + b c 1 + c a 1 ≤
Cho biểu thức A = 1 3 2x 2 : 1 22x
1, Rút gọn biểu thức A;
2, Với giá trị n o của x thì biểu thức A có giá trị dương;
3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Cho hình bình h nh ABCD, gọi O l giao điểm của hai đường chéo AC v BD Gọi
M, N lần lượt l trung điểm của BO v AO Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E v tia FN cắt cạnh AD tại K Chứng minh rằng:
1, BA BC 4
BF + BE = 2, BE + AK ≥ BC
Cho đa giác đều n cạnh, dùng ba m u xanh, đỏ, v ng tô m u các đỉnh một cách tùy
ý (mỗi đỉnh được tô bởi một m u v tất cả các đỉnh đều được tô m u) Cho phép thực hiện các thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề nhau bất kỳ (định nghĩa hai đỉnh liên tiếp) v thay
m u hai đỉnh đó bằng h i m u còn lại Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn l m cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai m u
Hết
Trang 20 Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
1, Phân tích đa thức sau th nh nhân tử: (x2 3x + 2)2 4x + 2
2, Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
Giải
1, Ta có: (x2 3x + 2)2 4x + 2 = x4 + 9x2 + 4 6x3 + 4x2 12x 4x + 2
= x4 6x3 + 13x2 16x + 6 = x2(x2 2x + 3) 4x(x2 2x + 3) + 2(x2 2x + 3)
= (x2 2x + 3)(x2 4x + 2) = (x2 2x + 3)(x 2 + 2)(x 2 2)
2, x2002 + x2000 + 1 = x2000(x2 + x + 1) (x2001 1) = x2000(x2 + x + 1) [(x3)667 1]
= x2000(x2 + x + 1) (x3 1).M(x)
= x2000(x2 + x + 1) (x 1)(x2 + x + 1).M(x)
= (x2 + x + 1)[(x2000 (x 1)M(x)] luôn chia hết cho đa thức (x2 + x + 1)
1, Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1 12 1 12
2, Cho a, b, c > 0 thỏa m7n: ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:
1
Giải
1, P =
= 1 1 2xy2 2 21 2 1 212 2 21 2 1 2
ư
Vì x, y > 0 ⇒
2
+
⇒ P = 1 + 2 9
xy≥ Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
2
Vậy: Min P = 9 khi x = y = 1
2
2, p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(1 + a2 + b2)(1 + 1 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇔ 21 2 2 c2 2
+
≤
Tương tự:
2
+
≤
2
+
≤
Cộng vế với vế ta được:
⇔ 2 12 2 12 2 12 a2 b2 c2 2 6 a2 b2 c2 2(ab2 bc ca)
+ +
Trang 3Cho biểu thức A = 1 3 2x 2 : 1 2x2
1, Rút gọn biểu thức A;
2, Với giá trị n o của x thì biểu thức A có giá trị dương;
3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Giải
1, ĐKXĐ: x ≠1 Khi đó
A =
2
:
=
2, Vì A > 0 1 0 x 1 0 x 1
x 1
ư Vậy x > 1 thì A > 0
x 1
Câu 4: (
Cho hình bình h nh ABCD, gọi O l giao điểm của hai đường chéo AC v BD Gọi M, N lần lượt
l trung điểm của BO v AO Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E v tia FN cắt cạnh AD tại K Chứng minh rằng:
1, BA BC 4
Chứng minh
1, Từ A v C kẻ AP//EF v CQ//EF (P ∈ BD, Q ∈ BD)
- Xét ∆OAP v ∆OCQ có:
OAP=OCQ(so le trong)
OA = OC (GT) AOP COQ= (đối đỉnh)
⇒∆OAP = ∆OCQ (g.c.g) ⇒OP = OQ (1)
- Xét ∆BAP có FM//AP ⇒ BA= BP ⇒BA= BO OP+
4
2, Vì F chạy trên AB, M v N l hai điểm cố định
Gọi S l giao điểm của KE v AC ⇒ S thuộc OC
⇒ SSAK ≥ SSCE⇒ SSAK + SASEB ≥ SSCE + SASEB
⇒ SABEK ≥SABC ⇒ SBAK + SBKE ≥ SABC (gọi h l khoảng cách giữa BC v AD)
⇒ 1h.AK 1h.BE 1h.BC
(dấu = xảy ra khi S trùng O ⇒ F l trung điểm của AB)
Câu 5: ( Kí hiệu các m u lần lượt l xanh (X), đỏ (Đ), v ng (V)
Không mất tính tổng quát, giả sử tại thời điểm ban đầu, m u v ng được tô ít nhất
Ta sẽ chỉ ra một cách thực hiện thao tác để chuyển tất cả các đỉnh của đa giác về m u đỏ hoặc xanh Lúc n y, ta chỉ quan tâm đến m u v ng v m u khác v ng, kí hiệu l K (khác v ng)
Đánh số các đỉnh từ 1 đến n theo chiều kim đồng hồ
Q
P
E
F
O
M
B A
S
N K
E
F
B A
Trang 4Nếu lúc đầu không có đỉnh n o được tô V thì b i toán kết thúc
Ngược lại thì tồn tại ít nhất một d7y các đỉnh được tô V (d7y có thể có độ d i 1) Do tính nhỏ nhất nên d7y đỉnh n y sẽ có độ d i không vượt quá n
3 v phía trước hoặc phía sau của nó sẽ l một
đỉnh được tô m u K
Ta lại thấy rằng bằng cách thực hiện quy tắc đổi m u như đề b i liên tục trên d7y đỉnh n y thì: KVVV V → KKVV V → KKKV V → KKKK V → → KKKK K
p dụng với tất cả các d7y, tất cả các đỉnh sẽ được tô m u K, ta có đpcm