Toán 8 Chuyên đề 6: Tìm só dư khi chia A cho B42114

Kiến thức về lũy thừa 3.. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊNa Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: Số bị chia = số chia.. Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.. - Viết liên tiếp sau số dư phần cò

CHUYÊN ĐỀ 6

1 Số bé hơn 10 chữ số

2 Số lớn hơn 10 chữ số

4

5

6

PHƯƠNG PHÁP VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1 Dùng quan hệ chia hết , chia có dư

2 Kiến thức về lũy thừa

3 Kiến thức về đồng dư

5

6

7

I TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN

a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:

Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)

Suy ra r = a – b q

Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau:

1) 9124565217 cho 123456

2) 987896854 cho 698521

b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:

Phương pháp:

Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)

- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu khi chia cho B

- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567

Kết quả số dư cuối cùng là 26

Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:

a) 983637955 cho 9604325

b) 903566896235 cho 37869

c) 1234567890987654321 : 123456

c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.

* Phép đồng dư:

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói

a đồng dư với b theo modun c ký hiệu ab(mod )c

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

aa(mod )m

ab(mod )m  b a(mod )m

ab(mod );m bc(mod )m  a c(mod )m

ab(mod );m cd(mod )m    a c b d(mod )m

ab(mod );m cd(mod )m acbd(mod )m

ab(mod )m a n b n(mod )m

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19

Giải:

 

2

3

12 144 11(mod19)

12 12 11 1(mod19)

Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975

Giải:

Biết 376 = 62 6 + 4

Ta có:

12 3

48 4

2004 841(mod1975)

2004 841 231(mod1975)

2004 231 416(mod1975)

2004 416 536(mod1975)



Vậy

60

62

62.3 3

62.6 2

62.6 4

2004 416.536 1776(mod1975)

2004 1776.841 516(mod1975)

2004 513 1171(mod1975)

2004 1171 591(mod1975)

2004  591.231 246(mod1975)

Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246

Bài tập thực hành:

1 Tìm số dư của phép chia :

a) 138 cho 27

b) 2514 cho 65

c) 197838 cho 3878

d) 20059 cho 2007

e) 7 15 cho 2001

II Số d của phép chia A cho B là: :

. A

A B

B

 

   

(trong đó:

A B

 

 

là phần nguyên của thương A cho B)

1 Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm số d của phép chia 22031234 : 4567

Ta có:

22031234

4824, 005693 4567

A

 4824

A B

  

 

 . 22031234 4567.4824 26

A

A B

B

 

Đáp số : 26

Ví dụ 2 : Tìm số d của phép chia 22031234 cho 4567

Ta có:

22031234

4824, 005693 4567

A

 4824

A B

  

 

 . 22031234 4567.4824 26

A

A B

B

 

Đáp số : 26

VD3 : a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321

b) dư r1 trong chia 186054 cho 7362

c) Tìm số dư r2 trong chia 2x3  11x2  17x 28

cho x 7

d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ?

Giải:

a) Ta có:

39267735657

9087650, 002

4321

A

 9087650

A B

  

 

 . 39267735657 4321.9087650 7

A

A B

B

 

Đáp số : r =7

VD4:

a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 c) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567 Giải: a) Qui trình tính số d khi chia 20052006 cho 2005105 20052006 10, 00047678 2005105 A B    10 A B       Số d của phép chia A cho B là: . 20052006 - 2005105 10 = 956

A

A B

B

 

Ta làm nh sau: ấn 20052006  2005105 = Ta có kết quả 10, 00047678

Lấy 20052006 - 2005105 10 = Ta đợc kết quả: 956

Vậy số d của phép chia là: 956

2 Tìm số dư trong phép chia số a cho số b:

21.Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b  0, luôn tồn tại duy nhất một cặp

số nguyên q và r sao cho:

a = bq + r và 0  r < |b|

* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:

+ Bước 3: Thực hiện q = rA -  B

Bài 1: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư

c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư đó

Giải:

a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B

(6,213716089)

ANPHA A  ANPHA B =

6 (650119)

SHIFT A -  B =

b) Số dư là: r = 650119

c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240

Bài 2: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)

Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456

Đáp số: q = 5263; r = 7861

Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)

Tìm số dư trong phép chia:

a) 987654321 cho 123456789

b) 815 cho 2004

H.Dẫn:

a) Số dư là: r = 9

b) Ta phân tích: 815 = 88.87

- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732

- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968

 Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004

 Số dư là: r = 1232

2.2 Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:

Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a 2 ,

a 3 , a 4 cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).

Chứng minh Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:

a, a2, a3, a4 , am, am+1

và xét các số dư của chúng khi chia cho m Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải

có hai số có cùng số dư khi chia cho m Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó

l > 0

Khi đó:

ak  ak + l (mod m) (1) Với mọi n  k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - ksẽ được:

an  an + l (mod m) Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn

Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.

Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:

Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,

Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ? Giải: Ta có: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8  3 (mod 5), 24 = 16  1 (mod 5) (1)

Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được: 25 = 24.2  1x2  2 (mod 5) 26 = 25.2  2x2  4 (mod 5) 27 = 26.2  4x2  3 (mod 5)

Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 4 3 1) (2 4 3 1) (2 4 3

 hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên Bài 4: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5 Giải:

* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005  1 (mod 4)  số dư khi chia 22005 cho 5 là 2 Bài 5: Tìm chữ số cuối cùng của số: 3 4 2 Giải: - Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau: 1 SHIFT STO A 2  ANPHA A 1 .)

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = =

ta được kết quả sau:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8

 hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81  1 (mod 4)  số dư khi chia cho 10 là 23 4 2 Vậy chữ số cuối cùng của số là 2.3 4 2 Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 8 16  các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52) Ta có: 1999  19 (mod 20)  số dư khi chia 21999 cho 100 là 88 2000  0 (mod 20)  số dư khi chia 22000 cho 100 là 76 2001  1 (mod 20)  số dư khi chia 22001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216  16 (mod 100)  số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16 II CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Tìm số dư trong mỗi phép chia sau rồi điền kết quả vào ô trống: a) 19001989 : 2008 b) 234123: 456

BÀI 2: VIẾT MỘT QUI TRÌNH BẤM PHÍM ĐỂ TÌM SỐ DƯ KHI CHIA 63819690 CHO 9122006

Bài 3: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) 1234567890987654321 chia cho 207207 b) 915chia cho 2007

Bài 4.Chia 143946 cho 23147. a) Viết quy trình bấm phím để tìm số d của phép chia đó b) Tìm số dư r của phép chia c) Tìm số dư r trong phép chia 2007157 cho 1999

Bài 5: Tìm số dư a = 3356 cho 737

Bài 6 : Tìm dư trong phép chia 200720082009 chia cho 20082009

Bài 7:Lập quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia a=1357911131517cho b= 2468 Bài 8 Tìm số dư khi chia 122007 cho 2008

Bài 9: Tìm số dư trong phép chia cho

Bài 10: Tìm số dư khi : a) 33332 cho 7 b) 17762003 cho 4000

Bài 11: Chia 6032002 cho 1905 dư r1, chia r1 cho 209 dư r2.Tìm r2?

Bài 12:Tìm số dư trong phép chia : a) 1234567890987654321:123456 b) 715 :2001 c) Tìm số dư trong phép chia 520 cho 19

Bài 13 Tìm số dư khi 717 chia cho 2005

Bài 14a)Viết quy trình bấm phím để tìm số dư khi chia 18901969 cho 2382001.Tìm số dư đó b) Viết quy trình bấm phím tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047.Tìm số dư

Bài 15: Chia 143946 cho 23147. 1 Viết quy trình bấm phím để tìm số dư của phép chia đó 2 Tìm số dư của phép chia đó

Bài 16: Tìm số dư trong phép chia : 1 1234567890987654321:123456 2 715: 2001

Bài17: Tìm số dư khi chia 39267735657 cho 4321

Bài 18: Chia 19082002 cho 2707 có số dư là r1 Chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r2

Bài 19: Viết quy trình bấm phím tìm số dư của phép chia sau 26031931 cho 280202

Bài 20: Viết quy trình tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989

Bài 21: Viết quy trình tìm phần dư của phép chia 19052002:20969

Bài 22: Tìm số dư khi chia 39267735657 cho 4321.

Bài 23: Tính phần dư của các số 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 710; 711khi chia cho 13 và điền vào bảng sau 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư

Bài 24:1 Viết một quy trình tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001 2.Tìm số dư khi chia 2002200220 cho 2001 3 Nêu một phương pháp tìm số dư khi chia 200220022002 cho 2001 4 Tìm số dư khi chia 200220022002 cho 2001

Bài 25 : Tìm số dư trong các phép chia sau: 1)9124565217 cho 123456 2)987896854 cho 698521

Bài 26: Viết quy trình tìm số dư và tìm số dư của phép chia a, 3523127 chia 2047 ĐS : 240 b, Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho (3456789 + k) chia hết cho 1234 ĐS : Số dư là : 355 vậy số k là : 1234 - 355 = 879 c, 103200610320061032006 chia 2010 (tách số ) ĐS : 396 d, 124567890987654321 chia 123456 (tách số ) ĐS : 8817

Bài 27: Tìm số dư của phép chia a, 715 chia 2001 ĐS : 1486 b, 92007 chia 33

Bài 28: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 Tìm số dư đó Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B (6,213716089) ANPHA A  ANPHA B = 6 (650119)

SHIFT A -  B = b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240 Bài 29: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456

Đáp số: q = 5263; r = 7861

Bài 30: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học

2003-2004)

Tìm số dư trong phép chia:

a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004

H.DẪN:

a) Số dư là: r = 9

b) Ta phân tích: 815 = 88.87

- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732

- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968

ị Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho

2004

ị Số d là: r = 1232

Bài 31: Tìm số dư của 1112 cho 2001

Bài 32:Tìm số dư trong phép chia a cho b: 1/ a=736; b=2003 2/ a=7218 ; b=2009 3/ a= 1318+1320; b=6954 4/ a=1358+2475 ; b= 3311

Bài 33: Chứng minh rằng 1318-1 chia hết cho 6954

Bài 34:Tìm số dư trong phép chia 56758966395349 cho 5675

Bài 35: Tìm số dư trong phép chia sau: 1) 506507508 : 2006 2)506507508506507508 : 2006

Bài 36:A = 20052006 chia cho 6 dư mấy

Bài 37 : a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 b) Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105 c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047 d) Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047

Bài 38: a.Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25 b Tìm số dư r khi chia 17762003 cho 4000

Bài 39: a)Tìm số dư của phép chia sau: 1)1357902468987654321 : 20072008 2) 111007 : 102007200708 b)Chứng minh rằng: ( 20012004 20032006 ) 10 2)   ( 7  7273 72008)  400

Bài 40: Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ?

Bài 41 : a)Tìm số dư r1 khi chia 1234567890987654321 cho 60027002 b)Tìm số dư r2 khi chia 1313 cho 2007