Bài tập Đại số tổ hợp42030

Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.. Tìm số hạng không chứa x của khai triển: a.. Tìm hệ số của số hạng a... Tìm số hạng có hệ số lớn nhất.. Hỏi có bao n

đại số tổ hợp

Dạng 1 Giải pt, bpt, hệ pt có các công thức:P A C n, n k, n k

Bài 1 Giải các pt sau:

a 1 2 3 2 d.

14k 14k 2 14k

C C   C 

b e

P A   A  P

c 1 g

y

A P  P

Bài 2 Giải:

a 2 2 2 d

C   A 

1

1













b. 4 3 2 e

5

0 4

1: : 6 : 5 : 2

C  C  C  

c. 2 5 90 g (Tốt nghiệp 03-04)







2 5

3

60 ( )!

k n

n

P

A

n k











Dạng 2.Tìm hệ số và hằng số của số hạng trong khai triển nhị thức niutơn.

Cách làm: Dựa vào số hạng tổng quát của khai triển nhị thức niutơn.

Bài 1 Tìm số hạng không chứa x của khai triển:

a b với x > 0 (D – 04)

27

1

x x

7 3

4

1

x x

Bài 2 Tìm hệ số của số hạng

a Chứa 31trong khai triển:

x

40

2

1

x x

  

b Chứa x10 trong khai triển:

20 3

2

5

2x

x

Bài 3

a Tìm hệ số của số hạng chứa 25 10 trong khai triển:

x xy

b Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:

5 biết (A - 03)

3

x x

1

C C   n

Bài 4

a Cho khai triển: P(x) = (x+1)9 + (x+1)10 + …+ (x+1)14

= a0 + a1 x + a2x2 + … + a14x14 Tính a9.

c Cho khai triển: (x+2)(x+1)10= x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Tính a5.

d Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển thành đa thức của:

(2x2 - 3x + 1 )(x - 2)15

e Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:x(1-2x)5+x2(1+3x)10(D-07).

Bài 5

a Cho khai triển: (2 21 2 )3 biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ

x x

n





5

C  C

tư bằng 20n Tìm x, n (A-02)

b.Tìm số hạng không chứa căn trong khai triển: ( 25 73)12

c Trong khai triển (1+2x)12 Tìm số hạng có hệ số lớn nhất

Bài 6

a Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức: 2 8(A-04)

1 x (1 x)

b Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển thành đa thức: ( 2 3)7

1 x x

c Tìm hệ số của 5 3 6 6 trong khai triển thành đa thức: (x+y+z+t)20.

x y z t

d Tìm hệ số của x3n-3 trong khai triển (x2+1)n (x+2)n (D-03)

e Tìm hệ số của x5 trong khai triển: (1 x x2x3)10.

Dạng 3 Bài toán sử dụng khái niệm

Bài 1 Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 21 nữ, 29 nam Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra:

a 2 hs làm cán bộ lớp

b 2 hs trong đó: 1 làm lớp trưởng, 1 làm bí thư

c 6 hs trong đó: 1 làm LP, 1 làm PBT, 4 làm cán sự lớp

d 10 hs đi thi đấu TDTT trong đó có 6 nam và 4 nữ

e 8 hs đi dự trại hè trong đó có ít nhất 1 nữ

g 7 hs đi múa trong đó có ít nhất 2 nam

h 5 hs đi kể truyện trong đó có nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ

Bài 2 Một hộp bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 5 viên bi xanh(các bi có đánh

số thứ tự từ 1 đến hết) Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:

a 3 vb cùng số và khác màu

b 3 vb khác màu và khác số

c 3 vb cùng màu

d 3 vb không đủ cả 3 màu

e 6 vb trong đó có ít nhất 2 vb đỏ

f 6 vb trong đó số bi đỏ = số bi vàng

Bài 3 Trong 1 môn học gv có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi TB, 15 câu

hỏi dễ Hỏi từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho mỗi đề có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2 (B-04)

Bài 4 Một đội thanh niên xung kích của 1 trường THPT có 12 hs gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B, 3

hs lớp C Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy (D- 06)

Bài 5 Một đội tuyển hs giỏi của 1 trường có 18 em gồm 7 hs khối 12, 6 hs khối 11, 5 hs khối

10 Hỏi có bao nhiêu cách cử ra 8 hs trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1

em được chọn

Bài 6 Cho 2 đường thẳng song song là d1 và d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lâý 20

điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn ở d1, d2

Bài 7 a Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta lấy 3 tem thư và 3 bì thư

rồi dán 3 tem thư lên 3 bì thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy biết mỗi tem thư chỉ dán lên 1 bì thư

b.Một đội TNTN(thanh niên tình nguyện) có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có

4 nam và 1 nữ

Bài 8 Cho đa giác đều A1A2…A2n (n 2) nội tiếp đường tròn tâm 0 Biết rằng số tam giác có 

các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,…,A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,…,A2n Tìm n

Bài 9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a.Có 4 chữ số Hỏi trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chia hết

cho 5

b Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau

c Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs hàng chục là cs chẵn

d Có 4 chữ số đôi 1 khác nhau và cs 1 xuất hiện 1 lần

e Có 4 chữ số trong đó cs 5 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại khác nhau và khác 5

g Có 3 chữ số khác nhau và 345.

Bài 10 Từ các chữ số 0,1,2,3,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a có 3 cs và chia hết cho 5

b có 4 cs đôi một khác nhau

c có 4 cs đôi một khác nhau và chia hết cho 2

d có 5 cs đôi một khác nhau và cs 2 xuất hiện 1 lần

e có 5 cs và cs 3 xuất hiện 2 lần, các cs còn lại khác nhau và khác 3

Bài 11

a Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 cs sao cho cs đứng sau lớn hơn cs đứng ngay trước nó

b Từ các cs số 1,3,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs trong đó có cả 3 cs 1,3,5

c Từ các cs 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 cs trong đó cs 1 xuất hiện 2 lần các cs số còn lại khác nhau và khác 1 xuất hiện 1 lần

d Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 cs mà 2 cs đứng cạnh nhau là khác nhau

e Từ các cs 1,2,3,…,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 cs mà cs 1 và cs 2

đứng cạnh nhau các cs còn lại khác nhau và khác 1,2

Dạng 3 Tính tổng

+ Tính tổng dựa vào một số khai triển niutơn thường gặp như: (1+x)n, (1-x)n + Tính tổng bằng phương pháp đạo hàm và tích phân:

- Để tính các tổng có dạng:  hoặc ta lấy đạo hàm 1 hoặc



n

k

k n

kC





n

k

k n

C k k

0

) 1 (

2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n

- Để tính các tổng có dạng  hoặc ta lấy tích phân 1

n

k

k n

k

C

n

k

k n

k k

C

hoặc 2 lần khai triển nhị thức niutơn (1+x)n và chọn cận thích hợp.

Bài 1 Tính các tổng sau:

2000 2000 3

2000 2

2000 1

2000 0

2000

2000 2000 2

2000 2 1 2000 0

2000

2000 2000 4

2000 4 2 2000 2 0 2000

2000 1000 4

2000 2

2000 0

2000

100 2

100 1

100 0

100

Bài 2 Tính các tổng sau:

n n

n

C

S1 1 2 23 3 

n n

n

C

S2  0 2 13 2  

n n

C

S32.1 2 3.2 3  ( 1)

Bài 3 Tính các tổng sau:

n n

n C

C S

1

1

3

1 2

1

n n

n n

n C

C C

S

1

2

3

2 2

2 2

1 2

3 1 2 0



n n

n n

n C

C C

S

1

1 2

3

1 2 2

1

2 3 1 2 0















Bài 4

a.Tìm n nguyên dương sao cho:

0 2 14 2  2 n 243(D - 02)

n n n

n

C

b.Biết tổng các hệ số của khai triển nbằng 1024 Tìm hệ số a của số hạng

x 1) ( 2 

a.x12 trong khai triển.

c.Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức (2 – 3x)2n với n N * và

12 1 23 1 25 1  22 11 1024







C

d.Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển n biết

x

1 ( 4  7

12 1 221  2n 12201 (A - 06)

n n

C

e Tìm n nguyên dương sao cho:

2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2 1 2005(A - 05)

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2 1

1









n n

n n

C

f Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức niutơn (2 + x)n biết:

3 0 3 1 13 2 23 3 3 (1) n 2048 (B-07)

n n n

n n n n n n n

C C

C C

C

1 2

1 2 2

1

6

1 4

1 2

1 2 2 5

2 3

2 1











n

C n C

C C

n n

n n

n n

Một số bài toán khác

Bài 1 Cm các đẳng thức sau:

a 1+P1 + 2P2 + …+ (n - 1)Pn-1 = Pn

n k n k n k

n k

C 3 13 2 3  3

n k

n k n k

n k

n k

C 4 16 24 3 4  4

3 2 2 3 2 1

4 5

2          k

n k n k n k n k

n k

C

Bài 2 Tính tổng:

1 1

3

2 1

2

1 1

1

0

) 1 (

3 2 1















n

n n n

n n

A

C n A

C A

C A

C S

biết : C n0 C1n C n2 211