6 điểm Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn O,R, OM cắt AB tại I.. a Chứng minh tích OI
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Năm học 2014-2015.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1 (6 điểm)
1
2 1
3 :
1
3 2
1
1
x x
x x
x x
x x
với x x0; 1
a Rút gọn A
b Tìm x để A nguyên
2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a 6
Bài 2 (4 điểm)
1 Giải phương trình:
12 2 16 2
4
x
2 Cho các số dương x,y,z thoả mãn
15 8 3
x z zx
z y yz
y x xy
Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z
Bài 3 (3 điểm)
1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
2 Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng
3
5 3
5 3
5
2
3 3
2
3 3
2
3 3
c ca
a c b
bc
c b a
ab
b a
Bài 4 (6 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với
đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I
a) Chứng minh tích OI.OM không đổi
b) Tìm vị trí của M để MAB đều.
c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm
cố định
Bài 5(1điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014-2015.
Môn thi: Toán
Bài 1
(6
điểm)
a
2 2 3 : ) 1 )(
1 (
) 1 )(
3 ( 1
1
x x
x x
x x
x x
x x
= =
1
4
x
b Vì x 0 x 0 x 1 1
1
4
x
1
4 0
x x
1 ; 2 ; 3 ; 4
A
9
Kết luận: x
; 0 9
1
; 9
2 Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a
Chứng minh a.(a – 1).(a + 1) 2
a.(a – 1).(a + 1) 3
a.(a – 1).(a + 1) 6
mà 12a 6 a
a.(a – 1).(a + 1) + 12a 6 Vậy a3 + 11a 6 a
2đ
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5đ
1 đ
0,5đ Bài 2
(4
điểm)
1 Điều kiện x 4
Đặt x4 a, x4 b (a > 0, b 0 )
x b
a2 2 2
Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12
4 3 0
0 12
2
b a b a
b a b a
a + b - 4 = 0 (vì a > 0, b nên a + b + 3 > 0)
0,25đ
0,75đ
Trang 3Bài 3
(3
điểm)
) ( 5
1 4
4 4
8 16 4
4 4
4
0 4 4 4
TM x
x
x x
x
x x
x x
Kết luận x = 5
2
15 8 3
x z zx
z y yz
y x xy
16 ) 1 )(
1 (
9 ) 1 )(
1 (
4 ) 1 )(
1 (
x z
z y
y x
[(x + 1 )(y + 1)(z + 1)]2 = 476
Vì x,y,z là các số dương nên (x + 1 )(y + 1)(z + 1) = 24
6 1
; 2
3 16
24 1
; 3
8 9
24
x = y = 0,5; z = 5
3 5
P = x + y + z =
6 43
1 Giải phương trình nghiệm nguyên
x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0
(x + y)(x + 2y - 1) = - 3
Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3
Ta có bảng sau:
Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3)
2 Chứng minh
0 0
3 2
6 5
) 1 ( 2 3 5
2 3
2 2
3
2 2
2 3 3 3 2
3 3
b a b a b
ab b a a
ab b a b a a b a b
a a ab
b a
Mà a > 0, b > 0 nên a + b > 0 và (a – b)2 0
(a – b)2(a + b) 0 (1) luôn đúng
Chứng minh tương tự ta có:
) 3 ( 2 3
5
) 2 ( 2 3
5
2
3 3 2
3 3
a c a
ca
a c
c b b
bc
c b
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ
0,75đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ 0,25đ
0,25 đ
Trang 4Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
c b a c ca
a c b
bc
c b a
ab
b
2
3 3
2
3 3
2
3 3
3
5 3
5 3
5
Mà a + b + c 2015 Bất đẳng thức được chứng minh
0,25đ 0,25đ Bài 4
(d) K
I
H
O
M
A
B
Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
OB MB
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB
AMB cân tại M có OM là đường phân giác đồng thời là đường cao
OM AB
OMB vuông tại B có OI là đường cao
OB2 = OI.OM
OI.OM = R2 không đổi
b) AMB cân tại M (CMT)
Để AMB đều thì góc AMB = 60 0 góc BMO = 300
OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM
OM = 2.OB = 2R
Kết luận
d) Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K.
Chứng minh OIKvà OHMđồng dạng
OH.OK = OI OM = R2 không đổi
Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định
K cố định
Kết luận
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Trang 5Bài 5
(1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:(x + y)4 = 40y + 1 (1)
Vì x y1 , 1 nên (1) viết được dưới dạng:
y x
y y
x
Chứng minh được
2(x + y)2 <
y x
y y
x
40 40 40
y x
x y
Suy ra 2(x + y)2 < 20 suy ra x + y 4
Đồng thời x + y là ước của 40y + 1 là số lẻ nên x + y lẻ
x + y = 3
40y + 1 = 34 = 81 y = 2 x = 1
Vậy (x,y) = (1;2)
0,5đ
0,5đ
Cao Dương, ngày 18 tháng 10 năm 2014 Người duyệt đề Người ra đề
Lê Thị Thuỷ
Trang 6Xác nhận của nhà trường
