Hãy tính chính xác cos360... Hãy tính chính xác cos360.
Trang 1HSG TOÁN 9 HUY N THANH HÀ
N M HO C 2015 – 2016 Câu 1 (2.5đ)
1) Cho bi u th c A 4 x 8x : x 1 2
4 x
a) Rút g n A
b) Tìm x đ A = - 1
2) Cho a, b, c là các s th c th a mãn a + b + c = a b c= 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
Câu 2 (1.5đ)
Trong m t ph ng Oxy cho đ ng th ng (d) có ph ng trình:
(m – 4)x + (m – 3)y = 1 (v i m là tham s )
Xác đ nh đi u ki n c a m đ kho ng cách t O đ n (d) là l n nh t
Câu 3 (2.0đ)
1) Gi i ph ng trình 7 x x 1 x 4 18x2 85
2) Tìm x, y bi t r ng: 1 2 1 2
Câu 4 (3 đ)
1) Cho đi m M n m ngoài (O; R) K ti p tuy n MA, MB v i (O) (A, B là các ti p
đi m v i (O) MO c t AB t i H Qua H k dây CD b t kì c a (O) (Dây CD không trùng v i dây AB, không đi qua O)
a) Ch ng minh r ng AB < CD
b) K ti p tuy n t i C, D v i (O) c t nhau t i N Ch ng minh r ng MN // AB
2) Không s d ng máy tính b túi Hãy tính chính xác cos360
Câu 5 (1đ)
Cho các s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1
Ch ng minh r ng:
4
1 a 1 b 1 c
Trang 2S L C CÁCH GI I:
Câu 1 (2.5đ)
1) Cho bi u th c A 4 x 8x : x 1 2
4 x
HD:
a) Rút g n A: K: x > 0; x 4
4 x
4 x 2 x 8x x 1 2( x 2)
(2 x)(2 x) x( x 2)
8 x 4x x( x 2)
(2 x)(2 x) 3 x
(2 x)(2 x) 3 x
4x
A
3 x
b) Tìm x đ A = - 1
Ta có A = - 1 4x
1
3 x
4x x 3 0
3 x 4
x = 9/16 (th a mãn)
2) Cho a, b, c là các s th c th a mãn a + b + c = a b c= 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
HD:
T a b c= 2 a + b + c + 2( ab ac bc) 4 2+ 2( ab ac bc) = 4
ab ac bc= 1
1 + a = ab ac bc+ a = ( a b)( a c)
T ng t , 1 + b = ( b c)( b a ); 1 + c = ( c b)( c a )
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = ( b c)( b a )( c a )2
(1 a)(1 b)(1 c) = 2
( b c)( b a )( c a ) (1)
Trang 3= ab ac bc ab ac bc
( a b)( b c)( c a )
( a b)( b c)( c a ) (2)
T (1) và (2) đi u ph i ch ng minh
Câu 2 (1.5đ)
Trong m t ph ng Oxy cho đ ng th ng (d) có ph ng trình:
(m – 4)x + (m – 3)y = 1 (v i m là tham s )
Xác đ nh đi u ki n c a m đ kho ng cách t O đ n (d) là l n nh t
HD:
+ m = 4 thì (d) có ph ng trình y = 1 kho ng cách t O t i (d) b ng 1 đ n v đ dài (1) + m = 3 thì (d) có ph ng trình – x = 1 kho ng cách t O t i (d) b ng 1 đ n v đ dài (2) + m 4 và m 3
(d) c t Ox t i A 1 ;0
m 4
và c t Oy t i A 0; 1
m 3
t o thành OAB vuông t i O
K OH AB t i H thì 1 2 12 12
OH OA OB
2
1
(m 4) (m 3)
OH = 2m2 – 14m + 25
2
2
OH 4m2 – 28m + 50 = (2m – 7)2 + 1 1
OH2 2 OH 2 D u “=” x y ra m = 7/2 (3)
T (1), (2), (3) OHmax = 2 m = 7/2
Câu 3 (2.0đ)
1) Gi i ph ng trình 7 x x 1 x 4 18x2 85
HD:
2 2
(1 1 ).(7 x x 1) 7 x x 1
7 x x 1 7 x x 1 4 D u “= “ x y ra x = 3 (1)
L i có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 + 4 4 D u “= “ x y ra x = 3 ho c x = - 3 (2)
T (1) và (2) ph ng trình có nghi m x = 3
2) Tìm x, y bi t r ng: 1 2 1 2
HD:
2 2
2 2 x2 y2 5 2 2x 2 3y 0
x 2 y 3 0 x 2
Trang 4N
D
H
M
O A
B C
D H
K
C B
A
Câu 4 (3 đ)
1) Cho đi m M n m ngoài (O; R) K ti p tuy n MA, MB v i (O) (A, B là các ti p
đi m v i (O) MO c t AB t i H Qua H k dây CD b t kì c a (O) (Dây CD không trùng v i dây AB, không đi qua O)
a) Ch ng minh r ng AB < CD
b) K ti p tuy n t i C, D v i (O) c t nhau t i N Ch ng minh r ng MN // AB
2) Không s d ng máy tính b túi Hãy tính chính xác cos360
HD:
1a)
K OK CD t i K thì H và K không trùng nhau
OK < OH AB < CD
1b)
CO2 = OK.ON; OB2 = OH.OM mà OB = OC
OK.ON = OH.OM
t đó ch ng minh đ c OKH ~ OMN
OMN OKH 90
NM OM mà AB OM MN // AB
2)
Gi s ABC cân t i A có A= 360, B C = 720
K CH AB, l y D trên AB sao cho HB = HD
CBD cân t i C có BCD= 360
Ch ng minh đ c ADC cân t i D K DKAC
t BC = a thì AD = DC = a
t AK = KC = x thì ta có AB = AC = 2x, BD = 2x – a
ABC có CD là phân giác DA/DB = CA/CB
a/(2x – a) = 2x/a a2 = 4x2 – 2ax 4x2 – 2ax – a2 = 0
(2x – a/2)2 = 5a2/4 x = (1 + c n 5)/4 (nghi m d ng)
cos360 = x = (1 + c n 5)/4
Câu 5 (1đ)
Cho các s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1
Ch ng minh r ng: 2a 2 b 2 c 2 9
4
1 a 1 b 1 c
HD:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
Trang 51 a 1 b 1 c
(a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
Ta có:
2a 2a 1 2a 2a
a b a c 2 a b a c
a b 2(b c) 2 a b 2(b c)
a c 2(b c) 2 a c 2(b c)
a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
2 a b a c a b 2(b c) a c 2(b c)
1 a 1 b 1 c
2 2
= 9
4
D u “ = ” x y ra a = 7b = 7c = 7
15