Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Tính góc AHM.
Trang 1
TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng giỏ trị của biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến x
(x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
x3 – 6x2 +11x -6
Câu 2: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biết rằng x + y + z = 0
995
6 996
5 997
4 998
3 999
2 1000
1
x
Câu 3: (3 điểm):
Cho biểu thức A = 3 3 2 3
1
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên ?
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 4:(7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM
Trang 2TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
ĐÁP ÁN
1 a)(x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1)
= x4- 4x3 + 6x2 - 4x+1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x
= 1
Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho khụng phụ thuộc vào biến x
b) x3 – 6x2 +11x - 6
= x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – 6
= x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1)
= (x -1) ( x2 -5x + 6)
= (x -1)( x – 2)(x -3)
1,5
1,0
1,5
1,0
2 Ta có : x + y + z = 0 x = -(y + z)
x2= [-(y + z)]2
x2= y2+ z2 + 2xz
x2- y2- z2 = 2xz
(x2- y2- z2)2 = (2xz)2
x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2
x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
x4+ y4 + z4+ x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2
2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2
995
6 996
5 997
4 998
3 999
2 1000
1
x
0 995
1001 996
1001 997
1001 998
1001 999
1001 1000
1001
0 ) 995
1 996
1 997
1 998
1 999
1 1000
1 )(
1001
x
x=-1001
1,0
1,0 0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
3
a) A = 3 3 2 3
1
x
= 2 3( 1)
( 1) ( 1)
x
= 3( 21)
( 1)( 1)
x
= 23
1
x b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 +1 Ư(3) = {-3,-1 , 1 , 3}
Nếu x2 +1 = - 3 không có giá trị nào của x thỏa mãn
Nếu x2 +1 = -1 không có giá trị nào của x thỏa mãn
1,0
Trang 3 Nếu x2 +1 = 1 x = 0 thì A = 3
Nếu x2 +1 = 3 x2 = 2 x = 2 thì A = 1
Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là: {- 2,0 , 2}
c) A= 23 nhận giá trị lớn nhất khi x2 +1 có giá trị nhỏ nhất
1
x
Mà x2 +1 1 với mọi x R
Tức là x2 +1= 1 là nhỏ nhất khi đó A = 3 3
1 Nếu x2 +1 = 1 x = 0
Vậy khi x = 0 Thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3
1,0
1,0
Kẻ EF AH
Tứ giác HDEF là hình chữ nhật
EF = HD mà HD = AH (gt)
EF = AH
Xét HBA và FAE có : 0
AH = EF FEA BAH cùng phụ với FAE
Do đó HBA = FAE ( g –c – g)
AE = AB
b)Tính AHM
Ta có BAE vuông tại A AM = 1
2BE BDE vuông tại D DM = 1
2BE
Do đó : AM = DM
Xét AHM và DHM có :
AM = MD
AH = HD
HM là cạnh chung
Do đó AHM = DHM ( c-c-c)
AHD 900 0
Vậy AHM = 45 0
2,0
2,0
1,0
1,0
1,0
A
E F
M
