Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C 2.. Cho chóp tam giác đều SABC biết cạnh bên bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 450.. Tính thể tích khối chóp.. Tìm tọa độ các đỉnh
Trang 1TR NG CHUYÊN HQG
HÀ N I
KÌ THI 27/11/2012
K THI TH I H C L N TH I
THI MÔN: TOÁN – Kh i A+AB
Th i gian: 180 phút (không k th i gian giao đ )
thi g m 01 trang
CHÍNH
TH C
Câu I) Cho hàm số 2 1
1
x y x
−
=
− (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2 TÌm các giá trị của m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng y=mx+5
Câu II)
1 Giải phương trình: cos 3 cos 2 4 cos 1
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) (4 )5
3sin 4 cos 3sin 4 cos 1
y= x+ x x+ x+
Câu III)
1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 ( )
9 2 4+ −x =m 2− +x 2+x
2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức của (2x+1)n biết tổng các hệ số của nó
là 59049
Câu IV)
1 Cho chóp tam giác đều SABC biết cạnh bên bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng
450 Tính thể tích khối chóp
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh A(1; 2;1) và đường chéo BD có phương trình: 3
x− = =y z
− Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông
3 Trong hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) 2 2
C x +y − x+ y− = Viết phương trình đường thẳng qua A( )7;3 cắt (C) tại B,C sao cho AB−3AC=0
Câu V) Với , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn: ab bc+ +ca=3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
c c a a a b b b c
Trang 2ĐÁP ÁN:
Câu I)
1 HS tự giải
2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm A, suy ra phương trình tiếp tuyến tại A là:
( )(0 0) ( )0 ( )0 0 ( )0
y=y x x−x +y x = y x x +y x
Tức là ta có: ( )0 ( )2
0
1 '
1
m y x
x
− và −y x'( )0 x0+y x( )0 =4
Từ đó
0 0
1
1 1
x
x x
−
−
2 3
x =
Đáp số: m= −1 hoặc m= −9
Câu II)
1 Phương trình đã cho tương đương:
2
π
Suy rat a có hai trường hợp:
2
x
x kπ k
x
( )
2
k
x= − +π π k∈
ℤ
2 Đặt t =3sinx+4 cosx (1) Ta có ngay t ≤ 32+42 =5 và mỗi t ≤5 ta đều có x thỏa mãn (1) Bài toán qui về tìm min, max của hàm số ( ) 4( )5
1
f t =t t+ trên đoạn [−5;5]
9
f t = t t+ + t t+ t+ f = ⇔ = − −x
Dễ thấy f '( )x đổi dấu âm thành dương tại x=0, dương thành âm tại x= −4 suy ra x=0 là
điểm cực tiểu và 4
9
x= − là điểm cực đại
( ) 4 5 4 5 ( ) ( ) 4 5
9
miny= −5 4 , maxy=5 6
Câu III)
t= − +x +x ⇒t = + −x ⇒ ≤ ≤t
Bài toán trở thành tìm m để phương trình ( 2 )
9+ t − =4 mt (1) có nghiệm 2≤ ≤t 2 2
⇔ = + = = − = ⇔ = Ta có f t( ) nghịch biến trên
( )2; 5 , đồng biến trên ( 5; 2 2 Mà ) ( ) 9 ( ) ( ) 13 2
Từ đó 2 5 13 2
4
m
≤ ≤
Trang 32 Giả sử ( ) ( )
0
k
=
= + =∑ với a k =2k C n k Khi đó tổng các hệ số của P x( ) là P( )1
2.1 1+ n =59049=3 ⇒n=10 Với k =0,1, , 9, xét tỉ số
1
1 1
10
10
! 10 ! 2 10
k
k
+
1
3
k k
a
k a
+ > ⇔ <
Từ đó a0 < <a1 <a7 >a8 >a9 >a10
Đáp số: Hệ số lớn nhất là 7 7
7 2 10
a = C
Câu IV)
1 Kẻ SH ⊥(ABC), M là trung điểm của BC
Ta có:
2
3
AB
SH =SC −HC =a − mà 3
6
AB
SH =HM = , suy ra
a − = ⇔ AB= ⇒SH =
2
ABC
2 Phương trình tham số của
3 4 :
BD y t
z t
− +
= −
=
Mặt phẳng ( ) α qua A và vuông góc với BD có phương trình 4x− + − =y z 3 0
Suy ra tâm I của hình vuông thuộc đường thẳng BD và thuộc mặt phẳng ( ) α có tạo độ
1 1
2 2
I C
Tọa độ điểm B,D thỏa mãn phương trình 4x− + − =y z 3 0 và điều kiện 2 2 2 18
4
IB =ID =IA = nên B(3; 0; 0 ,) (D −1;1; 1− ) hoặc D(3; 0; 0 ,) (B −1;1; 1− )
3 Gọi H là trung điểm BC, (C) có tâm I(1; 1 ,− ) R=5
Có AB AC = AI2−R2 ⇔3AC2 =27⇔AC =3,AB=9⇒AH =6⇒IH =4
Lập ∆ qua A( )7;3 có ( ) 2 2
n= a b a +b ≠
cách I một đoạn bằng 4: a x( − +7) (b y− =3) 0
d I ∆ = ⇔ a+ b = a +b ⇔ =a hoặc a= −12,b=5
Phương trình ∆:y− =3 0 hoặc 12− x+5y+69=0
Câu V) Ta có:
2 2
2
c a c a c a
c c a c c a c c a
+
Tương tự
;
a a b = − b b c ≥ −
ab bc ca P
+ +
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= = =b c 1 Vậy min 3
2
P =
